Структуры данных. Учебное пособие

Приведенный пример показывает, что при реализации структур данных требуется учитывать множество частных случаев. Для многих это является камнем преткновения и поводом использовать готовые реализации, применение которых не всегда оправдано.

Односвязные списки позволяют решить множество практических задач, но встречаются ситуации, когда связей, направленных только в одну сторону, недостаточно. Например, если часто требуется обращаться к предыдущему элементу, то это потребует времени O(n) , а

если бы элементы были связаны как в прямом, так и в обратном направлении, эта операция превратилась бы в обращение по прямому указателю и оценивалась бы как O(1) .

3.2.2. ДВУСВЯЗНЫЕ (ДВУНАПРАВЛЕННЫЕ) СПИСКИ

Элемент двусвязного списка имеет два указателя – на следующий элемент и на предыдущий, схема связи изображена на рис. 3.12.

Рис. 3.12. Двусвязный список

За счет наличия дополнительных возможностей алгоритмы работы с таким списком более гибкие. Рассмотрим в качестве примера алго-

ритм, представленный на рис. 3.13, символом обозначен пустой указатель.

В отличие от предыдущего случая нет необходимости запоминать элемент, после которого будет производиться удаление, так как к нему ведет прямой указатель. Глядя на подробный алгоритм, представленный на рис. 3.14, можно заметить, что частных случаев, которые скрываются в соответствующем блоке рис. 3.13, три. Кроме явно записанных в условии равенств отдельно рассматривается ситуация, когда из списка удаляется единственный существующий элемент (при этом «голова» и «хвост» равны).

23

Запись алгоритма на языке программирования является исчерпывающей: не только дает наиболее детальное представление всех операций, но и не оставляет возможности что-то оставить за кадром. Излишние подробности могут затруднить восприятие основных идей, которые представляют главную ценность, в то время как использование блок-схем, псевдокода или иных форм описания алгоритмов позволяют выбрать достаточный уровень детализации, абстрагироваться от специфики синтаксиса конкретного языка и представить алгоритм в наиболее удобном для понимания виде.

3.2.3. ЦИКЛИЧЕСКИЕ (ЗАМКНУТЫЕ, КОЛЬЦЕВЫЕ) СПИСКИ

Иногда требуется выполнять циклический сдвиг элементов, для этого наилучшим образом подходят замкнутые списки. Отличительной особенностью этих структур является то, что последний элемент указывает на первый, а для двусвязного варианта добавляется связь в обратном направлении – первого с последним. Схема циклических списков изображена на рис. 3.15.

head

Рис. 3.15. Циклические списки

Чтобы осуществить циклический сдвиг элементов, достаточно переставить указатели начала и конца на нужное количество позиций. Для двусвязного кольцевого списка не имеет смысла контролировать указатель на последний элемент, так как его всегда можно получить за

O(1) , используя первый.

3.2.4. МНОГОСВЯЗНЫЕ СПИСКОВЫЕ СТРУКТУРЫ

Если на одном и том же множестве элементов данных определено несколько списков, то такую структуру данных называют многосвязным или иерархическим списком. Забегая вперед, следует отметить, что это одна из форм реализации графов, достойная персонального внимания. Рассмотрим схему связей, представленную на рис. 3.16.

25

3.3. ДЕРЕВЬЯ

Существует множество определений дерева. Того, кто плохо знаком с математикой, может шокировать утверждение, что дерево – это связный ациклический граф. Другое распространенное в сети Интернет определение звучит так: «Дерево – множество, состоящее из элемента, называемого корнем, и конечного (возможно пустого) множества деревьев, называемых поддеревьями данного дерева». Оно чем-то похоже на определение, сформулированное в [6], однако в оригинальном тексте есть важная оговорка, что поддеревья не пересекаются. Определение, которое дано в [2] звучит примерно так: дерево – это совокупность элементов (один из которых определен как корень), называемых узлами (или вершинами), и отношений, образующих иерархическую структуру узлов. Об отношениях между вершинами дерева удобно говорить как о родительских. Корень дерева можно определить как узел, не имеющий предка. Узел, не имеющий потомков, обычно называют листом. Высотой узла дерева называется длина самого длинного пути из этого узла до какого-либо листа.

Наиболее естественным вариантом реализации древовидной структуры выглядит наличие у элемента, представляющего узел, указателей на потомков, как показано на рис. 3.18.

Рис. 3.18. Связи элементов дерева

Для упрощения реализации алгоритмов, в которых необходимо обращение к родительскому узлу, к элементу добавляют указатель на родителя. Подобная структура предполагает знание максимального количества потомков и не эффективна в ситуациях, когда это количество велико, а среднее число реально использующихся указателей мало. Для такого случая подойдет структура, представленная на рис. 3.19. Главными структурообразующими связями здесь являются указатели на младшего брата и старшего сына, таким образом, элементы, являющиеся потомками некоторого узла, объединены в список, доступ к ко-

27

торому возможен из узла-предка. Указатели на предка – вспомогательные, их добавляют только в случае необходимости.

Рис. 3.19. Связи элементов дерева с произвольным количеством потомков

Дерево может быть организовано и с помощью многосвязных списков, которые рассмотрены выше. Такой способ в контексте дерева называют списком потомков.

Тот факт, что дерево может быть представлено с помощью массива, может вызывать недоверие. Но это возможно благодаря тому, что любой элемент имеет не более одного предка. В примере, приведенном на рисунке 3.20, элемент массива содержит числовое поле, в котором записан индекс его родителя в дереве, корень дерева имеет в этом поле значение, которое недопустимо в качестве индекса.

Рис. 3.20. Реализация дерева с помощью массива

Получить всех непосредственных потомков любого узла заданного такой структурой дерева удастся только за время O(n) , где n – размер

массива или общее количество элементов в дереве. Переход в обрат-

28

ном направлении – от листа к корню – будет выполнен также за линейное время, но уже по отношению к высоте дерева.

Другие особенности работы с деревьями рассмотрены в разде-

лах 4.4–4.6 и 5.1.

3.4. ГРАФЫ

Довольно трудно говорить о графе как о структуре данных. Граф слишком широкое понятие, все рассмотренные выше структуры являются частными случаями графа. Алгоритмы на графах – область достойная отдельного внимательного изучения. Ограничимся здесь рассмотрением основных способов реализации графов.

Учитывая, что граф – это совокупность множества вершин и связей между ними, его реализация должна обеспечивать возможность связывания любых пар элементов. Таким свойством обладает одна из рассмотренных ранее структур – иерархический список, в контексте работы с графами его называют списком смежности. Пример реализации такого списка представлен на рис. 3.21, в нем в целях упрощения схемы используются курсоры.

Рис. 3.21. Реализация графа с помощью списка смежности

Для неориентированных графов все элементы списков связей будут парными, поле данных этих элементов может содержать метку соответствующей дуги.

Представление графа списками позволяет без труда реализовать добавление и удаление вершин. При применении курсоров изменение графа будет более трудоемким по сравнению с реализацией, использующей указатели, но это позволит получать доступ к вершинам, об-

ращаясь по номеру, за время O(1) .

Чтобы гарантировать константное время операции проверки существования некоторой дуги, можно использовать другой вариант представления графа – матрицу смежности. Это квадратная матрица, элемент которой с индексами i и j равен единице при наличии дуги,

29

идущей из вершины i в вершину j, в противном случае он равен нулю. На месте единиц можно хранить метки соответствующих ребер, помечая отсутствующие ребра символом, которого нет в алфавите, условно обозначим его $. Пример матрицы смежности и соответствующего ей графа приведен на рис. 3.22. Для неориентированных графов матрица будет симметричной.

Рис. 3.22. Представление графа с помощью матрицы смежности

Изменение графа, заданного матрицей, будет связано с очевидными трудностями, а при использовании статических массивов станет практически невозможным. Еще один недостаток такой реализации

состоит в том, что она требует (n2 ) памяти, где n – количество вершин; и даже если дуг значительно меньше, чем n2 , чтение такого гра-

фа будет выполняться за время O(n2 ) .

Еще один вариант представления графа с помощью матрицы – матрица инцидентности – это матрица размера n m , где n – число

вершин, а m – число ребер. Строки этой матрицы соответствуют вершинам, а столбцы – ребрам, элемент с индексами i и j может принимать значения: 1 – вершина инцидентна ребру и является его началом, 0 – вершина не инцидентна ребру, –1 – вершина инцидентна ребру и является его концом. Пример приведен на рис. 3.23.

Рис. 3.23. Представление графа с помощью матрицы инцидентности

30