Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Статистика. Общая теория статистики. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 155 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

tкоор = аi / а1

(11)

С ее помощью определяют, сколько единиц данной части целого приходится на 1, 100, 1000 и т.д. другой, принятой за базу сравнения (см. табл. 6).

Таблица 6

Пример относительных величин структуры и координации

Численность	млн. чел.	tстр	tкоор
Мужчин	125,0	46,7 %	-	чел.
Женщин	142,7	53,3 %	114	чел.
			-	чел.
Всего	267,7	100 %	-	чел.

Третья группа включает относительные величины, характеризующие степень развития какого-либо явления:

– относительная величина интенсивности (степени) – величина, характеризующая степень распространения, развития какого-либо явления в определенной среде.

Получают ее соотношением разноименных величин: в числителе величина явления, степень распространенную которого изучают, в знаменателе – объем среды, в которой происходит развитие этого явления (плотность населения – чел./км2). Может быть в виде отвлеченных чисел (коэффициент рождаемости, процент текучести) или в виде именных величин

(чел./км2).

tинт = а / qсреды;

(12)

– относительная величина уровня экономического развития – показатель, характеризующий размеры производства различных видов продукции на душу населения (можно рассматривать как наиболее распространенную разновидность относительной величины интенсивности). Для ее определения в числителе берут объем производства данного вида продукции, в знаменателе – среднегодовую численность населения за тот же пе-

риод. В ряде случаев показатель рассчитывают на 1 тыс., 1 млн. человек (например, производство сахара составляет 44 кг/чел., картофеля – 133 кг/чел., молока – 332 кг/чел. (при норме 405 кг/чел.), овощей – 103 кг/чел. (при норме 130 кг/чел.).

Четвертая группа – это величины, характеризующие сравнение различных объектов:

– относительная величина сравнения (наглядности) – соотношение одноименных абсолютных величин, относящихся к разным объектам (например, доход Попова в 5 раз больше дохода Петрова).

	tсравн = аА / аБ	(13)
Пример относительной величины сравнения представлен в
табл. 7.		Таблица 7
		Таблица 7
Относительная величина сравнения

Город	Численность, млн. чел.	tсравн
Москва	8203	–
Санкт-Петербург	4676	1,8
Киев	2248	3,6

7 СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ

ИПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ

7.1Средняя величина, ее сущность

Средняя величина – это обобщающая количественная характеристика признака в статистической совокупности, выражающая характерную, типичную величину признака в расчете на единицу совокупности. Величина, для которой исчисляется средняя (так называемый осредненный признак), обозначается Хi. Отдельные варианты этой величины – Х1, Х2, … Хn.

Средняя обозначается – Х.

Средняя величина обладает таким свойством, что в ней погашаются случайные отклонения индивидуальных величин от основного типа. И она выступает как характеристика общих черт явлений, типичных свойств.

Так как средняя величина является обобщающей характеристикой, она не может и не должна сходиться со всеми фактическими индивидуальными значениями, но ее величина лежит в пределах:


хmin ≤ х ≤ хmax.			(14)

Основным условием правильного применения средней величины является однородность совокупности (в которой составные элементы сходны между собой по существенным для данного исследования признакам, относятся к одному типу). Средняя величина, вычисленная для неоднородной совокупности, то есть такой, в которой объединены качественно различные явления, не имеет смысла. Большое значение имеет и выбор формулы средней, по которой правильно можно ее вычислить. Для правильного выбора формулы средней величины лучше всего использовать среднее исходное соотношение (СИС), то есть логическую формулу средней.

Например, чтобы определить среднюю урожайность (ср. ур.), используют формулу:

		n
		∑ валовой сбор	. (15)
Среднее исходное соотношение =		i=1
Среднее исходное соотношение =	n
	∑ посевная площадь

i=1

а) если в исходной формуле известны и числитель, и знаменатель, то в этом случае используется средняя агрегатная, то есть

	n				n
	∑вал.сб.				∑wi
ср.ур. =	i=1	=	х	=	i=1	,	(16)
ср.ур. =		=	х	=		,	(16)
(x)	n		агр.		n
	∑пос.пл.				∑fi
	i=1				i=1

где xагр. – средняя агрегатная.

б) если в исходной формуле неизвестен числитель (валовой сбор), то его выражают на основе известных значений:

ср.ур. =

(х)

∑вал.сб.

i=1

∑пос.пл.

i=1

∑ ур.сед.×пос.пл.

= i=1

∑пос.пл.

i=1

				n
				∑ xifi
=	х		=	i=1	, (17)
=	х	арм.	=	n	, (17)
				∑fi

i=1

Валовой сбор = ур. с ед. × пос. пл.,

(18)

где харм. – средняя арифметическая.

в) если в исходной формуле неизвестен знаменатель (посевная площадь), то его выражают на основе известных значений:

ср.ур. =

(х)

∑ вал.сб.

i=1

∑ пос.пл.

i=1

∑вал.сб.

=n i=1

∑вал.сб./ур.сед.

i=1

n
∑ Wi
= хгарм. = i=1n	,	(19)

∑ Wi

i=1

Посевнаяплощадь= вал. сб./ур. сед.,

(20)

где хгарм. – средняя гармоническая.

7.2 Виды средних величин

Из всего многообразия средних величин наиболее часто в экономической статистике применяются: средняя агрегатная, средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя хронологическая. Применение той или

иной формы зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее необходимо рассчитать.

1. Средняя агрегатная вычисляется по формуле:

			n
			∑wi
х		=	i=1	,	(21)
х	агр.	=	n	,	(21)
			∑fi

i=1

где wi – объемный показатель;

fi – вес признака, частота, численность.

Формула агрегатной средней используется, если известны значения числителя и знаменателя в логической формуле (СИС).

Если известны фонд оплаты труда (ФОТ) и численность в отдельных цехах (участках), то средняя заработная плата по предприятию определяется по формуле (табл. 8):

∑ ФОТ

(22)

Ср.зп =

i =1

∑ численность

i =1

Фонд оплаты труда ООО «Вымпел»

Таблица 8

№ цеха

ФОТ, тыс. руб.

Численность, чел.

5300

550

4700

450

∑ФОТ

∑ wi

5300 + 4700

тыс.руб.

i=1

= 10

Ср.зп

хагр.

550 + 450

чел.

∑ численность

∑fi

i=1

2. Средняя арифметическая и ее свойства. Средняя арифметическая – одна из наиболее распространенных форм

средней величины. Средняя арифметическая используется, если даны отдельные значения признака или в логической формуле расчета показателя неизвестен числитель. Она применяется в виде простой и взвешенной средней арифметической.

Формула простой:

∑xi

х	арм.пр. =	i=1	,	(23)
		n

где xi – отдельные значения признака;

n– число единиц совокупности, число значений признака. Часто в совокупности отдельные варианты могут прини-

мать одинаковые значения, которые можно объединить в группы, подсчитав их численность, поэтому в этом случае осуществляется переход к средней взвешенной. Ее можно определить как частное от деления суммы произведения вариантов и их численностей (частот) – Σx × f на сумму численностей (частот) – Σf.

		n
		∑ xi×fi
	арм.взв. =	i=1	,	(24)
х		i=1
х		n
		∑ fi

i=1

где xi – отдельные значения признака, значения вариантов (показателей);

fi – численность (частота, вес) каждого варианта (группы). Основой для вычисления простой арифметической служат

первичные записи результатов наблюдения, а для взвешенной – обработанный материал, сгруппированные данные по количественному признаку.

Простая средняя вычисляется в тех случаях, когда веса отсутствуют, или их очень трудно определить, или если численность отдельных групп (вариантов) не слишком отличается. В других случаях ее применение приводит к очень грубым ошибкам. Простая средняя соответствует простой совокупности объектов, в которой нет групп.

Средняя взвешенная отражает сложное строение совокупности, в ней учитывается удельный вес отдельных групп в совокупности.

Средняя арифметическая имеет ряд свойств, которые находят практическое применение:

1-е свойство. От увеличения (уменьшения) всех вариантов осредняемой величины в К раз их средняя величина соответственно увеличивается (уменьшается) в К раз.

Zi = K × Хi

		∑ n	Z	i	×	f
Z =		i =1		i		i

∑ n= f i 1 i

∑ n

K × (x

× f

)

K × ∑ n

× f

)

(25)

i =1

= K × x

∑ i =1 fi

2-е свойство. От уменьшения (увеличения) веса каждого варианта в К раз средняя не меняется.

	∑ n	x	× f /	K
x =	i =1	i	i
x =	n
	∑ i =1 fi / K


	1/ K ∑ n		x	× f
=		i=1	i	i	= x	(26)
=		1/ K ∑ n			= x	(26)
		1/ K ∑ n		f
		i =1		i

3-е свойство. Величина средней зависит не от абсолютных значений весов отдельных вариантов, а от пропорций между ними.

Отношения отдельных частот f1, f2, … fn к Σfi представляют долю отдельных вариантов в совокупности:

di =	fi	,	(27)
	∑ i=n 1 fi

где di – удельный вес, часть, доля.

Поэтому вместо абсолютного значения fi можно брать веса вариантов, выраженные в долях или процентах, тогда

∑ n

× x

= ∑ n

x =

i=1

= x

× d

+ ... + x

× d

. (28)

∑ n

i =1

4-е свойство. Если уменьшить (увеличить) все варианты осредненного признака на постоянное число (А), то средняя уменьшается (увеличивается) на то же число.

Zi = xi – А

∑ Zi ×fi

∑(xi −A)×fi

∑ xi ×fi

∑ A ×fi

Z =

i=1

−

i=1

= x − A (29)

∑fi

∑ fi

i=1

5-е свойство. Средняя, умноженная на численность всей совокупности, равна сумме произведения каждого варианта на ее численность.

∑ n

x =

i=1

∑ n

i=1

× ∑ n

∑ n

fi =

хi × fi

(30)

i=1

6-е свойство. Сумма отклонений индивидуальных значений от их средней арифметической равна нулю.

∑ n

(хi –

) × fi = 0,

i=1

∑ n

хi × fi –

× ∑ n

fi = 0,

(31)

i=1

так как ∑ n

xi × fi =

× ∑ n

fi (свойство 5).

i=1

То есть если взять отклонения каждого варианта от средней величины и взвесить по численности, а затем сложить, то получим ноль.

7-е свойство. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений от их средней арифметической меньше, чем сумма квадратов отклонений индивидуальных значений от любой другой величины:

∑ n	(хi –		)2 < ∑ n	(хi – А)2.
∑ n	(хi –	х	)2 < ∑ n	(хi – А)2.	(32)
i=1			i=1

Использование свойств средней арифметической позволяет значительно упростить ее вычисления. Упрощенный способ расчета средней арифметической, называемый способом моментов (первого порядка), состоит в следующем:

–уменьшим все значения вариантов на величину А, в качестве которой обычно принимается наиболее часто встречающееся значение признака: хi – А;

–все полученные отклонения разделим на какое-нибудь общее кратное (обычно величину интервала) число, то же и для весов, то есть

Z =	xi − A	;	f ' =	fi	;	(33)

i	K		i	m

ний

Z =

– рассчитаем среднюю арифметическую условных значе- (Zi):

∑ n

−A)

i=1

∑ i=1 zi

× fi

× m

1/ K×1/ m ∑ i=1

(xi −A)× fi

(34)

∑ fi

∑ i=1 fi

1 ∑ i=1 fi

∑ n

x × f

−A∑ n

x−A

i=1

K∑ i=1 fi

fi´ = fi / m;

– на основании свойств средней арифметической, для того чтобы ее общее значение не изменялось, нужно условную среднюю Z увеличить в К раз и на А, то есть

х = Z × К + А.

(35)

3. Средняя гармоническая используется в тех случаях, когда известны обратные значения показателя либо в логической формуле расчета показателя неизвестен знаменатель. Средняя гармоническая вычисляется из обратных значений признака и может также быть:

а) простой

	n
хгарм.пр. =	n		(36)

	n 1 ,
	n 1 ,
	∑ i=1
	∑ i=1	x
		i

где 1/хi – обратные значения вариантов признака; n – число вариантов;

б) взвешенной

			n
			∑ wi
		=	i=1		,	(37)
х	гарм.взв.		i=1
х	гарм.взв.		n	wi
			∑	wi
			∑	xi
			i=1	xi
			i=1

где wi = хi × fi – объемный показатель.

Применяется средняя гармоническая в тех случаях, когда непосредственные данные о весах отсутствуют, а известны варианты осредняемого признака (хi) и произведения значений вариантов на количество единиц, обладающих данным его значением (wi = хi × fi).

Пример. Рассчитаем среднюю гармоническую величину по данным о валовом сборе зерна, представленным в табл. 9.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 155 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]