4°. Обратное преобразование. Ядро и образ преобразования.

Определение 6. Преобразование называется обратным к , если , где – единичное преобразование.

Обратное преобразование обозначается .

Обратное преобразование не у всех. Известно, что если у матрицы A , тогда и только тогда, когда

Утверждение 4. Преобразование имеет обратное его матрица в некотором базисе имеет . Такое преобразование называется невырожденным.

Очевидно, что невырожденные преобразования являются взаимнооднозначными.

Определение 7. Взаимнооднозначное преобразование называется автоморфизмом.

Утверждение 5. Множество автоморфизмов линейного пространства образует группу, изоморфную группе невырожденных матриц.

Далее – ядро и образ линейного преобразования.

Определение 8. Совокупность всех векторов вида , где , называют образом пространства при преобразовании .

Утверждение 6. – подпространство в .

Доказательство: Пусть

Аналогично, из

Определение 9. Размерность называется рангом .

Пример: Ранг преобразования проектирования из в имеет ранг 2.

Определение 10. Совокупность векторов , называется ядром преобразования .

Утверждение 7. – подпространство в .

Доказательство: Если

Очевидно, что если не вырожденное преобразование, то его ядро состоит лишь из нуля.

Теорема 1. Пусть – произвольное линейное преобразование в . Тогда

Доказательство: Пусть . Тогда – базис в ядре , который может быть дополнен до базиса . Рассмотрим . Множество этих векторов образует подпространство, совпадающее с . Действительно, если – произвольный вектор из , то , что и требовалось доказать. ■

Покажем, что вектора – линейно независимы. От противного.

Пусть . Рассмотрим . Тогда , т.е. . Противоречие, т.к. с одной стороны x представим как линейная комбинация базисных векторов ядра, т.е. , с другой стороны . Это противоречит единственности представления вектора в базисе – линейно независимы

5°. Инвариантные подпространства линейного оператора.

Определение 11. Пусть – линейное преобразование в . Линейное подпространство называется инвариантным относительно , если .

Тривиальные инвариантные подпространства – это нулевое подпространство и всё .

Примеры:

1) , – вращение относительно некоторой прямой, проходящей через нуль. Инвариантные подпространства – ось вращения и любая плоскость, перпендикулярная оси вращения.

2) – плоскость, . инвариантные подпространства – вектора, параллельные прямой.

3) – многочлены степени . Множество многочленов степени , – инвариантное подпространство относительно дифференцирования.

4) Пусть в матрица линейного преобразования имеет вид

в базисе . Тогда – инвариантное подпространство. Если , то – тоже инвариантное подпространство.

Теорема 2. Сумма и пересечение инвариантных подпространств относительно оператора являются инвариантными подпространствами.

Доказательство: Пусть и – инвариантные подпространства относительно , т.е. если и . Рассмотрим . Пусть если пересечению, то и принадлежит пересечению.

Рассмотрим теперь , имеем , где и , сумма инвариантных подпространств – инвариантное подпространство.

Выясним, какой вид принимает матрица линейного оператора в , если и базис в состоит из базиса в и базиса в . Т.к. и – инвариантные подпространства, то .

Получилась квазидиагональная матрица, т.е. состоит из клеток, стоящих на главной диагонали, и – матрицы оператора в подпространствах и соответственно. ■