Примеры.
1) В пространстве геометрических векторов с обычным скалярным произведением неравенства Коши–Буняковского и Минковского имеют вид:
, .
Первое неравенство в силу означает, что , второе − что длина стороны треугольника не превосходят суммы длин двух других сторон.
2) В неравенства Коши–Буняковского и Минковского дают:
.
3) В с обычным скалярным произведением и имеем
неравенство Коши–Буняковского
;
неравенство Минковского
.
4) В со скалярным произведением с положительно определённой симметрической матрицей имеем
неравенство Коши–Буняковского
;
неравенство Минковского
.
Замечание. Если векторное пространство дано над полем , то аналогично строится теория унитарных (или эрмитовых) пространств. В этом случае аксиомы 1) и 4) принимают соответственно вид:
1) ;
4) и , если .
Отметим, что неравенство Коши–Буняковского в этом случае принимает вид:
.
В –мерном комплексном координатном пространстве C стандартное скалярное произведение векторов C задается формулой
.
2. Ортогональные и ортонормированные системы векторов.
Из неравенства Коши–Буняковского следует, что корректно можно ввести следующее
Определение 3. Для любых принадлежащих евклидовому пространству E определен угол между ними: .
Определение 4. Элементы E называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, то есть . Тогда .
Очевидно, что если ортогонален , то ортогонален .
Лемма 1. Нулевой вектор ортогонален любому вектору из E и является единственным вектором, обладающим этим свойством.
Доказательство самостоятельно.
Определение 5. Сумму двух ортогональных векторов назовем гипотенузой треугольника, построенного на векторах .
Лемма 2. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство: .■
Обобщение. Если E − взаимно ортогональны
.
Определение 6. Система векторов евклидова пространства E называется ортогональной, если она либо состоит из одного вектора, либо её векторы попарно ортогональны.
Теорема 3. Всякая ортогональная система ненулевых векторов евклидова пространства является линейно независимой.
Доказательство: Пусть − ортогональная система векторов и пусть
с некоторыми постоянными . Умножая это равенство скалярно на , получаем
.
Т.к.
все − линейно независимы. ■
Определение 7. Ортогональная система, состоящая из векторов единичной длины, называется ортонормированной.
Определение 8. В –мерном евклидовом пространстве E система ортонормированных векторов образует ортонормированный базис.
Теорема 4. Во всяком –мерном евклидовом пространстве E существует ортонормированный базис.
Доказательство. Т.к. пространство E − –мерное, то существуют векторов , которые линейно независимы. Покажем, что можно построить векторы , получающиеся как линейные комбинации , которые образуют ортонормированный базис. Доказательство методом математической индукции:
Если − очевидно, т.к.
Пусть удалось построить векторов , которые попарно ортогональны, их нормы равны единице, и получены как линейные комбинации . Будем искать вектор . Выберем так, чтобы был ортогонален . Умножая скалярно на , в силу ортонормированности имеем:
//т.к. // .
Очевидно, что полученный , т.к. он является линейной комбинацией система − ортонормированная и получена как линейная комбинация . ■
Замечание 1. В доказательстве теоремы 4 использовался следующий алгоритм ортогонализации системы векторов, известный как алгоритм Грамма–Шмидта:
пусть − линейно независимы. Тогда попарно ортогональные единичные вектора получаются по следующим формулам:
(4) |
Замечание 2. В любом евклидовом пространстве можно построить много ортонормированных базисов. Примером ортонормированного базиса в с обычным скалярным произведением могут служить вектора
Рассмотрим произвольный ортонормированный базис -мерного евклидова пространства E. Пусть E − произвольный вектор и
.
Умножая обе части равенства скалярно на получим:
,
т.е. координаты произвольного вектора относительно ортонормированного базиса равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие базисные векторы. Поскольку скалярное произведение на вектор , естественно назвать проекцией на , то, следовательно, координаты произвольного относительно ортонормированного базиса равны проекциям этого элемента на соответствующие базисные элементы.
Таким образом, ортонормированный базис похож на ортонормированный базис в пространстве геометрических векторов.