§9. Евклидово пространство

Евклидово пространство – это линейное пространство с некоторым образом введенной операцией «скалярного произведения».

1. Определение и простейшие свойства.

Определение 1. Линейное пространство над полем вещественных чисел R называется евклидовым пространством E, если определено правило, ставящее им в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением и , обозначаемое , и удовлетворяющее следующим аксиомам:

1) коммутативность: выполняется ;

2) дистрибутивность: выполняется ;

3) и выполняется ;

4) выполняется , причем

Примеры.

1) Множество геометрических векторов с обычным образом определенным скалярным произведением векторов (см. свойства скалярного произведения) образует евклидово пространство.

2) Множество непрерывных на отрезке функций образует евклидово пространство, если скалярное произведение задается формулой:

Свойство 1) скалярного произведения очевидно, 2) и 3) следуют из линейности интеграла, 4) следует из того, что от неотрицательной функции неотрицателен и равен нулю только если .

3) Пространство упорядоченных вещественных чисел образует евклидово пространство со скалярным произведением, задаваемым следующей формулой: если и из , то

(1)

Свойство 1) − очевидно, свойства 2) и 3) следуют из определения сложения векторов в и умножения на число, т.е.

;

.

Свойство 4) следует из того, что и равно нулю лишь тогда когда , т.е. .

4) Пусть − матрица над и пусть – симметричная, т.е. . Для любого используем для построения квадратичной формы . Будем предполагать, что такая форма положительно определена, т.е. она больше нуля и равна нулю лишь если .

Такую матрицу можно использовать для задания скалярного произведения в следующим образом: ,

. (2)

Свойство 1) следует из симметричности матрицы , 2) и 3) − из свойств вещественных чисел, 4) − из положительной определенности соответствующей квадратичной формы.

Замечание 1. Формула (1)  из (2) при − единичная матрица.

В общем виде скалярное произведение можно задать с помощью квадратичной формы, определенной в линейном пространстве. А именно, пусть – положительно определенная квадратичная форма, – её полярная форма. Тогда в силу свойств квадратичной формы имеем:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Как видно, эти аксиомы совпадают с аксиомами скалярного произведения 

Предложение 1. Скалярное произведение есть билинейная форма, соответствующая положительно определенной квадратичной форме, и любая такая форма может быть принята за скалярное произведение. 

Определение скалярного произведения может быть сформулировано как:

Определение 1'. Евклидовым пространством называется линейное пространство, в котором выбрана какая–либо фиксированная положительно определенная форма . Значение соответствующей ей билинейной формы считается при этом скалярным произведением векторов (оно ранее обозначалось как , а не ).

Теорема 1 (неравенство Коши–Буняковского). Для любых элементов евклидового пространства справедливо неравенство:

. (3)

Неравенство (3) называется неравенством Коши–Буняковского.

Доказательство. По аксиоме 4) евклидова пространства справедливо

//так как квадратный трехчлен по неотрицателен дискриминант //

■

Определение 2. Линейное пространство называется нормированным, если определено правило, по которому ставится в соответствие вещественное число, называемое нормой (или длиной) указанного элемента и обозначаемое , удовлетворяющее следующим трем аксиомам:

1) .

2) .

3) справедливо (неравенство треугольника или неравенство Минковского).

Теорема 2. Всякое евклидово пространство является нормированным, если в нем норму элемента определить равенством

Доказательство. Проверим свойства нормированного пространства: аксиома 1) следует из 4) евклидова пространства, 2) следует из аксиом 1) и 3) евклидова пространства, 3) следует из неравенства Коши–Буняковского. Действительно,

. ■