Системы управления технологическими процессами и информационные технологии. Учебное пособие

Линейная характеристика также может быть описана в форме приращения координат, что удобнее, так как отсутствует свободный член уравнения:

y = k x .

Из данного уравнения получим выражение для коэффициента передачи:

k = yx .

Коэффициент передачи представляет собой тангенс угла наклона α статической характеристики к оси x. Таким образом, коэффициент передачи показывает, насколько сильно влияет входной параметр объекта управления на выходной.

y

ymax

ymin

Рис. 1.5. Пример нелинейной статической характеристики.

Нелинейные статические характеристики описываются нелинейными алгебраическими уравнениями. Типичная нелинейная зависимость характерна для релейных устройств, широко применяемых в системах автоматизации. Реле преобразуют

11

плавное изменение входной величины в скачкообразное изменение выходной (рис 1.5).

1.6. Динамические характеристики

Динамические характеристики описывают функционирование объектов и систем управления в переходном режиме. Процесс изменения параметров объекта или системы управления во времени называется переходным, поскольку при этом объект переходит из одного устойчивого состояния в другое. Динамические характеристики могут быть представлены в виде дифференциальных уравнений динамики; передаточных функций; временных характеристик; частотных характеристик.

1.6.1. Дифференциальное уравнение динамики

Для описания объектов и систем с сосредоточенными параметрами используют обыкновенные дифференциальные уравнения с производной по времени:

где a0…an и b0…bn – коэффициенты, которые являются постоянными для стационарных объектов и переменными для нестационарных.

Обычно в системах управления переходные процессы исследуют, начиная со времени t0 =0 . При этом принимают, что

до t0 система находилась в состоянии равновесия (т.е. в стати-

ческом режиме), поэтому значение y(t) x(t), а также их производных до (п-1) включительно, равны 0, то есть принимаются нулевые начальные условия.

Как правило, система управления включает в себя много элементов. Чем больше элементов, тем выше порядок описыва-

12

ющего ее уравнения. Поэтому составление и решение такого уравнения - очень сложная задача. Чтобы ее упростить, применяют операторный метод решения, который заключается в следующем.

Посредством интегрального преобразования от дифференциального уравнения переходят к вспомогательному алгебраическому уравнению динамики и находят его решение. Затем это решение при помощи обратного преобразования преобразуют в искомое решение дифференциального уравнения.

В теории автоматического управления в качестве интегрального преобразования используют прямое и обратное преобразование Лапласа, при котором переменная ДУД x(t) замещается однозначно соответствующей ей переменной Х(s), где s

— комплексная переменная, называемая переменной Лапласа; x(t) — оригинал; Х(s) — изображение переменной x(t).

Изображение и оригинал связаны зависимостью:

∞

X ( s ) = ∫x( t )e−st dt

0

Операция перехода от x(t) к Х(s) называется прямым пре-

образованием Лапласа и записывается как:

L[ x( t )] = X ( s ) ,

или:

x( t ) X ( s )

Операция перехода от Х(s) к x(t) называют обратным пре-

образованием Лапласа и записывают как:

L−1 [ X ( s )] = x( t )

или:

X ( s ) x( t )

13

При переходе от дифференциального уравнения к алгебраическому посредством прямого преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях операция дифференцирования заменяется операцией умножения, а операция интегрирования – операцией деления. Таким образом, уравнение значительно упрощается.

Дифференциальное уравнение, преобразованное по Лапласу при нулевых начальных условиях, имеет вид:

an snY( s ) +an−1 sn−1Y( s ) +...a1 sY( s ) +a0Y( s ) = =bm sm X ( s ) +bm−1 sm−1 X ( s ) +...b1 sX ( s ) +b0 X ( s )

Решение упрощенного алгебраического уравнения переводят в пространство оригиналов, используя обратное преобразование Лапласа. При этом используют специальные таблицы оригиналов и соответствующих им изображений.

1.6.2. Передаточная функция

Отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению входной называется передаточной функцией W( s ), то есть:

W( s ) = Y( s ) Х( s )

Передаточную функцию получают из дифференциального уравнения динамики следующим образом:

-преобразуют по Лапласу дифференциальное уравнение динамики;

-в левой и правой части уравнения выносят за скобки

Y(s),Х(s), то есть:

Y( s ) (an sn + an−1sn−1 +...+ a1s + a0 )=

X ( s ) (bm sm +bm−1sm−1 +...+b1s +b0 )

14

-полученное выражение представляют в виде равенства двух дробей:

1.6.3. Временные характеристики

Временные характеристики отображают реакцию объекта (системы) управления на входное воздействие x(t). К временным характеристикам относятся: переходная, весовая, разгонная и импульсная характеристики.

Для оценки динамических свойств объекта исследуется его реакция на типовые входные воздействия. Зная эту реакцию, можно судить о том, как объект будет вести себя при сложных изменениях входного параметра. Входной сигнал x(t), имеющий сложную форму, можно разложить на сумму типовых входных воздействий и исследовать реакцию объекта на каждое из них, а затем, суммируя эти реакции, получить результирующий выходной сигнал y(t). Кроме того, многие объекты управления в процессе эксплуатации подвергаются воздействиям, которые по виду очень близки к типовым. Типовыми входными воздействиями являются единичное ступенчатое воздействие и единичное импульсное воздействие.

Единичное ступенчатое воздействие или единичная сту-

пенчатая функция):

0,t <0; 1( t ) =

1,t ≥0.

То есть единичное ступенчатое воздействие представляет собой скачкообразное изменение входного параметра x(t) с единичной амплитудой (рис. 1.6).

Изображение по Лапласу единичного ступенчатого воздействия:

15

1(t) 1s

Зависимость изменения выходного параметра y(t) от времени при подаче на ее вход единичного ступенчатого воздействия при нулевых начальных условиях называется переходной характеристикой и обозначается h(t).

1(t)

1

t

0

Рис. 1.6. График единичной ступенчатой функции

Единичное импульсное воздействие (импульсная еди-

ничная функция, дельта-функция, функция Дирака):

( ) ∞,t =0,

δ t =

0,t ≠0.

Единичное импульсное воздействие представляет собой импульс бесконечно большой высоты и бесконечно малой длительности, площадь которого равна единице (рис. 1.7.).

Между единичной ступенчатой и единичной импульсной функциями существует зависимость:

δ(t)= ddt1(t)

16

Зависимость изменения выходного параметра y(t) от времени при подаче на ее вход единичного импульсного воздействия при нулевых начальных условиях называется весовой ха-

рактеристикой или функцией веса и обозначается ω(t).

Рис. 1.7. Графические изображения единичной импульсной функции

Рис. 1.8. Пример весовой и переходной характеристики.

Между переходной функцией и функцией веса существует зависимость:

ω(t)= dhdt(t)

17

Для получения временной характеристики системы ее передаточную функцию умножают на изображение по Лапласу соответствующего входного воздействия. Тем самым получают изображение по Лапласу временной характеристики, из которого посредством обратного преобразования Лапласа получают искомую временную характеристику.

Экспериментальные временные характеристики. В

настоящее время в инженерной практике наиболее широко применяются экспериментальные методы нахождения временных характеристик. По экспериментально найденным временным характеристикам определяют структуру передаточной функции объекта управления и находят ее параметры. Таким образом, получают динамические характеристики объекта управления, без которых невозможен расчет и анализ систем автоматического управления. К экспериментальным временным характеристикам относятся разгонная и импульсная характеристики.

x

Рис. 1.9. Примеры графиков ступенчатого воздействия и разгонной характеристики: x – амплитуда ступенчатого воздействия; y – приращение выходного параметра.

18

Разгонная характеристика представляет собой реакцию объекта управления на ступенчатое воздействие. В отличие от единичного ступенчатого воздействия оно может иметь любую амплитуду. На практике ступенчатое воздействие представляет собой резкое изменение положения регулирующего органа на 15-20% хода, например, поворот регулирующего вентиля на трубопроводе теплоносителя при исследовании изменения температуры нагреваемой среды в теплообменнике. В этом примере график изменения температуры нагрева с момента поворота вентиля до момента перехода к новому установившемуся значению представляет собой разгонную характеристику теплообменника.

Импульсная характеристика представляет собой реак-

цию объекта управления на импульсное воздействие. Импульсное воздействие представляет собой прямоугольный или трапециидальный импульс любой амплитуды. Импульсную характеристику получают в той же последовательности что, и разгонную. Получение импульсной характеристики от поучения разгонной заключается в том, что после поворота регулирующего органа его оставляют в новом положении на короткий промежуток времени, равный длительности импульса, после чего возвращают регулирующий орган в исходное положение. Таким образом создается импульсное воздействие. Импульсная характеристика снимается до момента, в который исследуемый выходной параметр принимает исходное значение.

1.6.4. Частотные характеристики

Если на вход линейной непрерывной системы (или отдельного звена) подать синусоидальные (гармонические) колебания с постоянной амплитудой Aвх и частотой ω:

x( t ) = Aвх sinω t ,

то после затухания переходных процессов на выходе также возникают синусоидальные колебания выходного параметра

19

c той же частотой ω, но с другой амплитудой Aвых и сдвинутые по фазе относительно входных колебаний:

y( t ) = Aвых sin(ω t +ϕ ) ,

где ϕ - угол сдвига фаз.

При изменении частоты колебаний может изменяться величина отношения амплитуд входного и выходного параметра Авых / Авх и угла сдвига фаз.

Рис. 1.10. Синусоидальные колебания входного параметра x и выходного параметра y

Функциональная зависимость Авых/Авх от ω называется

амлитудно-частотной характеристикой (АЧХ) и обозначается

А(ω). Функциональная зависимость угла сдвига фаз от ω называ-

ется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) и обозначается ϕ (ω). Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) – это функ-

циональная зависимость от частоты колебаний как отношения

Авых/Авх , так и угла сдвига фаз.

АЧХ, ФЧХ и АФХ представляют собой частотные характеристики. Частотные характеристики можно получить экспериментально или аналитически. При экспериментальном иссле-

20