Свободные и вынужденные колебания в LC-контурах. Учебное пособие

Решение этой системы уравнений с конечным начальным значением тока в первом контуре i1 (0)≠0 и нулевым значением тока

во втором i2 (0)=0 имеет вид:

(r1 =r2 ≠0 ) определяются выражениями (23).

Из (7) видно, что свободные колебания в двухконтурной цепи представляют собой сумму двух гармоник с разными частотами, хотя контуры совершенно одинаковы. Причиной расщепления частоты ω0 на две: «быструю» (Ω1) и «медленную» (Ω2), является связь между контурами, поэтому собственные частоты называют также частотами связи.

Зависимости относительных частот связи Ω1/ω0 и Ω 2/ω0 от k приведены на рис. 9.

Вместе с тем формулы (7) при близких Ω1, и Ω2 (т. е. при малых k) указывают на наличие биений. На рис. 10 представлена зависимость напряжения на конденсаторе C2 во втором контуре. Множитель, зависящий от разностной частоты, можно трактовать как «огибающую» колебаний высокой частоты.

Такую временную характеристику можно использовать для измерения коэффициента связи k. Определим отношение периода огибающей к периоду высокой частоты:

21

Рис. 9. Графики зависимостей нормированных частот связи от коэффициента связи

UC2

Tв

Tогиб

Рис. 10. Осциллограмма напряжения на конденсаторе второго контура C2

22

Если k << 1, то возможно воспользоваться эквивалентностями

1+k ≈1+k /2 и 1−k ≈1−k /2. Тогда выражение (9) преобразуется к простому виду:

До сих пор рассматривался случай, когда собственные частоты контуров были одинаковы. Анализ свободных колебаний в двухконтурной системе при расстройке второго контура относительно первого довольно громоздок, поэтому ограничимся здесь только тем, что приведем формулу для относительных частот связи как функции относительной расстройки второго контура относитель-

но первого x = f02 и коэффициента связи k при предположении

f01

малости потерь в контурах:

называемый график Вина) при двух различных коэффициентах связи k1 = 0,6 и k2 = 0,2 изображены на рис. 11.

Из графиков видно, что взаимодействие двух контуров происходит наиболее эффективно, во-первых, при близких собственных частотах контуров x ≈1 и, во-вторых, при больших коэффициентах связи. Поэтому можно дать такое качественное объяснение: ток, протекающий в первом контуре, создает во втором вынуждающую силу, приводящую (при настройке в резонанс)

23

к появлению в нем значительного тока и к ответной реакции в первом контуре. Таким образом, для токов и напряжений имеет местоподобиеамплитудно-модулированногоколебания,т.е.фак- тически колебания двух частот Ω1, и Ω2. При больших расстройках ( x →0 и x →∞ и k ≠0 )относительныечастотысвязиасимптоти-

С энергетической точки зрения влияние второго контура приводит к тому, что наряду с перераспределением энергии между индуктивным и емкостным накопителями с высокой частотой

Ω1 +Ω2

2

контурами с низкой частотой Ω1 −2Ω2 . Причем все это сопровождается неизбежными потерями в сопротивлениях. Временные

Рис. 11. Зависимости относительных частот связи от взаимной расстройки контуров

24

i1(t)

i2(t)

Рис. 12. Токи в контурах при наличии потерь

характеристики двухконтурной системы с энергетическими потерями представляют собой затухающие колебания с биениями

(рис. 12).

В заключение отметим, что рассмотренная двухконтурная система является типичным примером связанной системы с двумя степенями свободы. Аналогичные процессы наблюдаются в механических (две струны), сверхвысокочастотных и оптических колебательных системах.

25

5.Теоретические сведения

овынужденных колебаниях в LC-контурах

5.1 Амплитудно-частотные характеристики одиночного колебательного контура

Зависимость амплитуды тока в последовательном контуре от частоты описывается выражением

Эта зависимость имеет резонансный вид, показанный на рис. 13. Аналогичный вид имеют резонансные зависимости напряже-

ний UL, и UC.

Полоса пропускаемых частот 2∆ω условно отсчитывается меж-

ду точками, в которых уровень амплитуды составляет 12 =0,707 отмаксимального,чтосоответствуетснижениюмощностив2раза

Imax

Imax

2

2∆ω

Рис. 13. Амплитудно-частотная характеристика последовательного контура

26

по сравнению с максимальным значением. Из (12) следует:

Соотношение (13) можно использовать для измерения добротности контура. Однако следует учитывать, что при выводе формулы (13)напряжениегенератораUBX предполагалосьнезависящимотчастоты. Реальный генератор обладает конечным внутренним сопротивлением RГ. Поэтому если ЭДС генератора при перестройке частоты остается постоянной, то напряжение UBX будет изменяться, так как меняется потребляемый контуром ток. В этих условиях от-

носительнаяполосапропускания 2∆ωω0 будетравнане1/Q, а 1/Q', где Q′= R +ρRГ . Формула (13) остается справедливой при условии,

что сопротивление RГ отнесено к элементам контура. Если же поддерживать постоянным не ЭДС, а напряжениеUBX, то формула (13) будет давать собственную добротность контураQ (безRГ).

Поскольку R = R0 +Rдоб, затухание контура d зависит линейно

Если построить зависимость d от Rдоб, то получим прямую линию(рис.14),котораяпересечетосьабсциссвточке Алевееначала координат. Длина отрезка OA численно равна величине R0.

Реальная катушка обладает не только сопротивлением потерь, но и собственной емкостью. Если на катушке имеется напряжение, значит, есть и электрическое поле между ее витками. Запасаемая полем энергия зависит от межвитковой емкости. Влияние этой распределенной емкости приближенно можно учесть в виде сосредоточенной емкости С0, как бы присутствующей между зажимами катушки. Резонансная частота определяется выражением

где С1 – емкость конденсатора в первом контуре.

27

d

R0

Рис. 14. Определение сопротивления потерь катушки индуктивности

1

f02

Рис. 15. Определение собственной емкости катушки индуктивности

Отсюда видно, что зависимость величины 1 f02 от С1 является линейной. Если построить этот график и продолжить прямую линию до пересечения с осью абсцисс (рис. 15), то отрезок ОВ будет равен величине С0.

28

5.2.Амплитудно-частотные характеристики двух индуктивно связанных контуров

Рассмотрим систему связанных контуров (см. рис. 8). Сделаем следующие упрощающие предположения:

–контуры одинаковые;

–добротность контуров Q высокая: Q >>1.

На основании первого предположения положим L = L1 = L2 ,

C =C1 =C2 , r = r1 = r2 , Q =Q1 =Q2 , ω0 =ω01 =ω02 .

Второе предположение означает, что резонанс наблюдается в области частот, малой по сравнению с резонансной частотой контура. Поэтому можно считать сопротивление связи Xсв практически неизменным и равным Xсв =ω0 M .

Обобщенную расстройку ξ можно записать в следующем виде:

Введем параметр связи:

где k – коэффициент связи.

При введенных выше предположениях модуль тока во втором контуре выразится формулой

Здесь U амплитуда источника напряжения в первом контуре. На частоте резонанса ω0 , т. е. при ξ=0 :

29

Экстремальные значения токов во втором контуре

Исследуя выражение (18) на экстремум, по ξ найдем три значения расстройки:

При p ≤ 1 имеется один экстремум – максимум при ξ=ξ0 =0. Значениетокавэтоммаксимумеопределяетсяформулой(19)идостигает при p = 1 максимально возможного значения (максимум

Приp > 1имеетсятриэкстремума:минимумпри ξ=ξ0 =0 идва максимума при ξ = ξI, II.

Значение тока в минимуме по-прежнему определяется по фор-

муле (19).

Подставляя значения ξ = ξI, II в формулу (18), находим, что токи в максимумах равны между собой и совпадают с максимальным

током I2mm.

Коэффициент связи, соответствующий p = 1, носит название

Частоты связи

Частоты,накоторыхдостигаютсямаксимумытока,называются

Для больших p можно воспользоваться приближенными выражениями (совпадают с выражениями (8)), полученными при отсутствии потерь в контурах:

30