Свободные и вынужденные колебания в LC-контурах. Учебное пособие

1.Изучитьсхемулабораторногомакетаивключитьизмерительные приборы.

2.Установитьминимальнуюсвязьмеждупервымивторымкон-

турами. Связь между контурами минимальна в положении L2 перпендикулярно L1.

3.В двухканальном режиме работы осциллографа снять одновременно осциллограмму возбуждающего импульса (с выхода

импульсного генератора) и осциллограмму напряжения на С1 при Rдоб=0.Обратитьвнимание,чтоосциллограммунапряжениянаС1 возможнорассматриватькакимпульснуюхарактеристикуодиночного колебательного контура.

4.Снять осциллограммы возбуждающего импульса и напряже-

нияна С1 приразличныхзначенияхRдоб (взять3–4значения,конт- ролировать колебательный характер процесса).

5.Изменяя Rдоб, определить значение R*доб, соответствующее моменту перехода от колебательного режима к апериодическому. Снять осциллограммы возбуждающего импульса и напряжения на С1 для этого случая.

6.Определить зависимость частоты собственных колебаний кон-

тура от величины С1, (взять 8–10 значений С1, равномерно распределенных по всему диапазону изменения). Для измерения частоты использоватьспектроанализатор,подключенныйкпервомуконтуру.

2.2. Свободные колебания в двух индуктивно связанных колебательных контурах

Для исследования свободных колебаний в двух индуктивно связанных колебательных контурах необходимо выполнить следующее:

1. Подключить второй канал осциллографа и вход спектроанализатора к конденсатору С2 второго контура. Установить малую связь между первым и вторым контурами. Изменяя величину емкости С2 настроить второй контур на собственную частоту первого контура f01 по максимуму амплитуды напряжения на С2. Отноше-

ние x = f02 при такой настройке равно 1.

f01

11

2. Снять в двухканальном режиме осциллограммы возбуждающегоимпульсаe(t)(податьнапервыйканал)инапряжениянакон-

денсаторе второго контура uC 2 (t)(подать на второй канал). По осциллограмме uC 2 (t) определить отношение периода огибающей к

периоду высокой частоты при 3–4 значениях коэффициента связи k. Рассчитать k по формуле

k = 2Tв ,

Tогиб

где Тв – период колебаний высокой частоты, Тогиб – период огибающей (рис. 10).

Сравнить эти значения с соответствующими значениями k, определенными из градуировочного графика.

3.Измерить зависимость частот связи F1 и F2 от коэффициента связи k при x = 1. Измерения частот связи проводить с помощью спектроанализатора.

4.Измерить зависимость частот связи F1 и F2 от расстройки ре-

Для построения зависимости задайте 5–7 значений x.

2.3. Вынужденные колебания в одиночном контуре

Соберите схему экспериментальной установки согласно рис. 3. СигналкачающейсячастотысвыходаGENOUTPUT50Ωспектроанализатора подайте на вход цепи. На спектроанализаторе включите кнопку TG (Tracking Generator). Вход спектроанализатора RF

12

INPUT подключите к С1. Установите минимальный коэффициент связиисобственнуючастотупервогоконтураf01 такойже,каквп.1, при исследовании свободных колебаний. Получите изображение АЧХ одиночного контура при 3-х различных сопротивлениях Rдоб1, включая Rдоб1 = 0. Зарисуйте АЧХ, определите полосу пропускания по уровню 0,707 и добротность контуров во всех трех случаях.

2.4.Вынужденные колебания

вдвух индуктивно связанных контурах

Дляисследованиявынужденныхколебанийвдвухиндуктивносвязанныхколебательныхконтурахнеобходимовыполнитьследующее:

1.УстановитьRдоб= 0.ВходспектроанализатораRF INPUT подключите к С2.

2.Установить малый коэффициент связи k и собственную ча-

стоту первого контура f01 такими же, как в п. 1, при исследовании свободных колебаний. Изменяя величину емкости С2, настроить второй контур на собственную частоту первого контура f01 по максимуму амплитуды напряжения на С2. Для настройки используйте спектроанализатор.

3.Наблюдая АЧХ двух связанных контуров на экране спектроанализатора, установить последовательно значения коэффициен-

та связи k < kкр, k = kкр, k = kопт. Значение kопт соответствует самой широкой полосе пропускания, когда провал АЧХ достигает 0,707 от максимума. Зарисуйте АЧХ, определите полосу пропускания по уровню 0,707 и частоты максимумов (частоты связи).

4.Провести измерения полосы пропускания по уровню 0,707 и

частот максимум по АЧХ для Rдоб = 0 и двух ближайших к Rдоб = 0 значениях, задаваемых положением переключателя Rдоб.

3. Обработка результатов измерений и содержание отчета

После выполнения работы проведите обработку результатов измерений и составьте отчет, в котором требуется:

1. Используя осциллограммы (импульсные характеристики), полученные в пп. 3, 4 при исследовании свободных колебаний

13

водиночномконтуре,определитьдляразныхRдоб логарифмический декрементзатуханияθ,периодсвободныхколебанийконтураT,постоянную времени цепи α, затухание контураdи добротностьQ.

2.Построитьграфикd =f (Rдоб)иизнегонайтисобственноесопротивление контура R0.

3.Найти теоретическое значение добавочного сопротивления, обеспечивающего критический режим (d = 2) согласно выраже-

ментально в п. 5 раздела 2.1 при исследовании свободных колебаний в одиночном контуре.

4.Используя данные п. 6 при исследовании свободных колеба-

ний в одиночном контуре, построить график f0-2 = φ(С1) и из него найти емкость катушки индуктивности контура С0. Рассчитать величину индуктивности L.

5.Рассчитать коэффициент связи через отношение периода огибающей к периоду высокой частоты и сравнить его со значением, полученным по градуировочному графику.

6.Построить графики зависимости частот связи F1 и F2 от значения коэффициента связи k (данные п. 3 раздела 2.2 при исследованиисвободныхколебанийвдвухиндуктивносвязанныхколебательных контурах).

7.Построить графики зависимости частот связи F1 и F2 от рас-

стройки резонансных частот контуров x = f02 относительно друг

f01

друга при двух фиксированных значениях k (данные п. 4 раздела 2.2 при исследовании свободных колебаний в двух индуктивно связанных колебательных контурах).

8. Построить графики АЧХ одиночного контура (данные раздела 2.3) при различных Rдоб, определить значения добротности, затухания и полосы пропускания контура. Сравнить значения добротности контура, определенной в режиме свободных и вынужденных колебаний.

14

9. Определить значения kкр и kопт. Привести графики АЧХ двух связанных контуров при k < kкр, k = kкр, k = kопт при Rдоб = 0.

10.Привести графики АЧХ двух связанных контуров при двух

других значениях Rдоб, отличных от Rдоб = 0 (данные п. 4 раздела

2.4).

11.Измерить относительные полосы пропускания связанных контуров для всех проведенных измерений.

12.Сравнитьизмеренныеполосыпропусканиястеоретическими значениями. Результат сравнения представить в виде таблицы.

13.Провести анализ полученных результатов, сравнить теоретические расчеты с экспериментом, сделать выводы.

4.Теоретические сведения о свободных колебаниях

вLC-контурах

4.1. Импульсные характеристики одиночного колебательного контура

Рассмотрим процессы, протекающие в электрической цепи, состоящей из последовательно соединенных элементов r, L, С (рис. 5).

Пусть в момент времени t = 0 действие внешней электродействующей силы (ЭДС) прекращается: e(t) = 0 при t ≥ 0, после чего в цепи происходят свободные колебания. Если длительность импульсовмногоменьшевремениреакциицепинавходноеимпульсноевоздействиеиукорочениедлительностиимпульсанеприводит

t

Рис. 5. Последовательный колебательный контур

15

кизменению формы выходного сигнала, снимаемого с конденсатора, то можно считать выходной сигнал импульсной характеристикой исследуемой цепи, а импульс на входе – приближением

кдельта-функции.

Напряжение на емкости uC(t) подчиняется однородному дифференциальному уравнению:

Решение этого уравнения содержит две константы, зависящие от начальных значений напряжения uC(0) и тока в цепи i(0). Если, например, uC(0) = 0, i(0) ≠ 0, то решение при t ≥ 0 имеет вид:

где α = 2rL , β=α2 −ω02 , ω0 = LC1 .

Такие начальные условия реализуются, когда контур возбуждается достаточно коротким импульсом ЭДС, поскольку напряжение uC за очень малый промежуток времени практически не изменяется.

Из (2) ясно, что характер процессов в этой цепи существенным образомзависитотпараметровконтура.Всвязисэтимрассматриваются три возможных случая.

1. Колебательный режим. Пусть α<ω0 , тогда β – мнимая величина и (2) запишется так:

где ω1 =ω02 −α2 .

Таким образом, временная зависимость для напряжения и для тока i =C dudtC вслучаеколебательногорежимапредставляетсобой

16

uC (t)

t

iC (t)

Рис. 6. Колебательный режим в последовательном контуре

произведение экспоненциально убывающего и синусоидального множителей. Степень убывания определяется коэффициентом затухания α.

Графики для i(t) и uC (t) изображены на рис. 6.

Так как колебания затухающие, то, строго говоря, они не являются периодическими. Вместе с тем нулевые значения, например,

для uC (t), определяемые из условия sin(ω1t)=0, реализуются через равные промежутки времени.

ω02 −α2

Взяв отношение двух значений напряжения для моментов вре-

мени tm и t(m+1) = tm + T, получим uuCm =eαT , т. е. это отношение

C(m+1)

является величиной, не зависящей от времени и определяемой

17

параметрами контура. Параметр

называетсялогарифмическимдекрементомколебания,иеголегко выразить через добротность контура:

где Q – добротность контура, d – затухание.

В заключение проанализируем рис. 6 с энергетической точки зрения. В начальный момент времени энергия импульса генератора оказывается сконцентрированной в катушке индуктивности и

описывается формулой WL = Li22 . Затем происходит перераспределение энергии и через четверть периода становится максималь-

ной энергия, сосредоточенная в конденсаторе WC =Cu22 . Такой

процесс, сопровождающийся неизбежными потерями в резисторе, продолжается до тех пор, пока вся электромагнитная энергия не перейдет в тепловую. Осцилляции следует трактовать как свободныеколебанияпослеокончанияпоступленияэнергиивконтур от внешнего источника, т. е. после окончания спадающего фронта возбуждающего импульса e(t). Длительность реакции цепи в колебательном режиме много больше длительности входного импульсного воздействия, поэтому выходной сигнал можно считать импульсной характеристикой исследуемой цепи, а импульс на входе – приближением к дельта-функции.

2. Апериодический (нециклический) режим.

В этом случае α > ω0. Подстановка в это неравенство значений

18

UC(t) !

e(t)

Рис. 7. Сигналы при апериодическом режиме в последовательном контуре

Из(2) видно,чтоколебанийвконтуренет,такчтоUC(t)носитапериодический характер (рис. 7). Нижний график рис. 7 – возбуждающая ЭДС e(t), верхний график – мгновенное значение напряжения наконденсатореUC(t).

Длительность реакции цепи в апериодическом режиме сравнима с длительностью входного импульсного воздействия, поэтому выходнойсигналнеследуетсчитатьимпульснойхарактеристикойцепи. Выходной сигнал следует рассматривать как сумму двух сдвинутых во времени переходных характеристик цепи от воздействия возрастающего и спадающего фронтов входного импульса. Переход от колебательного режима к апериодическому возможно определить по отсутствию положительного выброса на переходной характеристике цепи от спадающего фронта (см. рис. 7). Апериодический характер колебаний объясняется большим значением сопротивления потерь, вся запасенная в контуре электромагнитная энергия преобразуется в тепловуювтечениеполовиныпериодасвободныхколебанийконтура.

3. Критический режим. Режим перехода от апериодического режима к колебательному. Этому режиму соответствуют значения

α =ω0 , β=0 , r =2CL , Q = 12 , d =2 .

19

Тогда если раскрыть неопределенность типа 0/0 в (2) или (3), то получим uC = i(C0)te−αt.

На практике этот режим можно осуществить, наблюдая осциллограммы uC(t) и переходя от колебательного режима к апериодическомуприувеличениивцепиRдоб.ЗначениеRдоб,прикоторомна осциллограмме наблюдается исчезновение колебаний, свидетельствует о реализации критического режима. В действительности резкой границы между колебательным и апериодическим режимаминет,поэтомувизуальнопоосциллограммеопределитькритический режим можно лишь приближенно.

4.2. Импульсные характеристики двух индуктивно связанных контуров

Рассмотрим режим свободных колебаний в системе с двумя степенями свободы – в двух индуктивно связанных между собой колебательныхконтурах.Пустьвкороткийинтервалвремени,длящийся до момента времени t = 0, система подвергается ударному возбуждению импульсом ЭДС, которая вводится в первый контур (рис. 8).

Будем для простоты считать контуры одинаковыми и не име-

ющими потерь: L1 = L2 = L, С1 = С 2 = С, r1 = r 2 = 0. Используя второй закон Кирхгофа, запишем следующую систему уравнений

для токов при t ≥0:

где М – взаимная индуктивность между контурами.

t

Рис. 8. Система двух индуктивно связанных контуров

20