Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ряды Фурье. Интегральные преобразования Фурье и Радона. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

847 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Рис. 2. График суммы ряда Фурье из примера 2

																															0, π x 0,
Пример 3. Написать ряд Фурье для функции f (x)
																															x, 0 x π.
Определим коэффициенты Фурье
												1			0				π								π
										a		1					odx			xdx							π	,
										a		π					odx			xdx						2		,
										0		π														2
															π				0
					π																					2			, m нечетное,
am			1		xcos mxdx								1			( 1)m 1
			1										1													πm2
			π											2												πm2
			π		0						πm																	0,		m четное,
					0																							0,		m четное,

								π														1			,		m нечетное,
							1		xsin mxdx cos mπ

		b																			m
				m			π										m							1		, m четное.
								0
								0															m
																							m
Таким образом, ряд Фурье будет иметь вид
f (x)	π		2			cos x				cos3x					cos5x							sin x								sin 2x	sin3x
							12			32							52	...														... .
	4			π														...								1				2	3	... .
	4			π																						1				2	3

Сумма этого ряда показана на рис. 3.

В примерах 1–3 рассмотрены разложения в ряд Фурье функций общего вида в смысле их четности-нечетности.

Рис. 3. Сумма ряда Фурье из примера 3

РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ

По свойствам определенного интеграла, если f (x) – четная функция, то

a						a	(21)
	f (x)dx 2 f (x)dx,						(21)
a				0
а если f (x) нечетная функция, то
	a						(22)
				f (x)dx 0.			(22)
	a
Поэтому коэффициенты Фурье для четной функции будут равны
					2	π	(23)
	a0				2	f (x)dx,
	a0				π	f (x)dx,
				0
		2		π			(24)
	am	2		f (x)cos mxdx,
	am		π	f (x)cos mxdx,
				0
а для нечетной функции			bm 0,				(25)
а для нечетной функции			a0 am 0,				(26)
			a0 am 0,				(26)
			2	π			(27)
	bm		2	f (x)sin mxdx.
	bm		π	f (x)sin mxdx.
				0
				12

Таким образом, ряд Фурье для четной функции с периодом 2π выглядит следующим образом:


		f (x) a0 am cos mx,			(28)
2				m 1
				m 1
а для нечетной

		f (x) bm sin mx.			(29)
			m 1
Пример 4. Разложить в ряд Фурье заданную на отрезке π, π
функцию f (x)	x	, период которой равен 2π.
функцию f (x)	x	, период которой равен 2π.
Очевидно, f x – четная				функция, поэтому в силу	фор-
мул (23)–(25), (28)				π
			2	π
		a0	2	xdx π,
		a0	π	xdx π,
				0

		π		( 1)m 1	4			m нечетное,
	2		2				,
	2		2			2	,
am		xcos mxdx		m2	πm
am	π	xcos mxdx	π	m2	πm			m четное.
		0			0,			m четное.

Искомое разложение есть

x	π	4	cos x		cos3x	cos5x			x π, π .
				12	32	52	...	,
	2	π

Сумма ряда Фурье является функцией 2π – периодической и совпадает с f (x) на промежутке π, π .

Пример 5. Написать ряд Фурье для функции, заданной на промежутке (–π, π) формулой f (x) x, период которой равен 2π (рис. 4).

π	π	x

Рис. 4. График функции f (x), рассмотренной в примере 5

Эта функция нечетная на промежутке π, π , поэтому a0 am 0,

	2	π	2	( 1)m 1.
bm		xsin mxdx
bm	π	xsin mxdx	m
		0

Таким образом, получаем ряд Фурье

f (x) 2	sin x		sin 2x	sin3x
		1	2	3	... .

Сумма ряда Фурье является функцией 2π – периодической и

совпадает с		f (x) в точках ее непрерывности; в					точках разрыва
x π 2πn (n Z ) сумма ряда равна						f (xn 0) f (xn 0)	0 .
x π 2πn (n Z ) сумма ряда равна							0 .
n			2
			2
			РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ
			С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ПЕРИОДОМ
Пусть	f (x) функция с произвольным периодом 2l							(где l – по-
лупериод). Полагая x at, получим функцию с периодом								2l	. Выберем
лупериод). Полагая x at, получим функцию с периодом									. Выберем
		2l						a
a так, чтобы		2l	2π, т. е. a	l	. Тогда подстановка x lt приводит нас
		a		π			π
к функции f	lt		с периодом 2π.
	π

Предполагаем, что f (x) имеет на отрезке l, l не более конечно-

го числа точек разрыва первого рода и абсолютно интегрируема на этом отрезке. Тогда в точках непрерывности имеем

lt		a		(30)
f		0	am cos mt bm sin mt ,	(30)
	π	2	m 1

где

1 π

(31)

π π

dt,

cos mtdt,

sin mtdt.

Переходя в формулах (30) и (31) от переменной t

к переменной

x, получим

f (x)

mπx

bm sin

mπx

(32)

am cos

где

m 1

1 l

f (x)dx,

1 l

f (x)cos mπx dx,

1 l

f (x)sin mπx dx,

(33)

l l

m 1, 2, 3, ... .

В случае четной функции с периодом 2l							все bm 0 ; тогда в точ-
ках непрерывности f (x) получим
	f (x) a0
	f (x) a0	am cos mπx				,			(34)
	2		m 1		l
где			m 1
где
a	2 l f (x)dx,	a		2 l	f (x)cos	mπx		dx.	(35)
a	2 l f (x)dx,	a		l	f (x)cos			dx.	(35)
0	l		m	l			l
0			m
	0			0

Если f (x) нечетная функция с периодом 2l , то получаем в точках непрерывности

				mπx
f (x) bm sin				mπx		,
f (x) bm sin				l		,
		m 1		l
где		m 1
где	2 l
b	2 l	f (x)sin	mπx		dx.
b	l	f (x)sin			dx.
m	l			l
m
	0

Пример 6. Записать ряд Фурье заданной на интервале функции f (x) ex , период которой есть T 2a.

Получим

		a		1	a		exdx ea e a	,
		0		a			a
					a
1	a	ex cos	mπx			dx a ea e a
am a		ex cos		a		dx a ea e a
	a

( 1)m ,

a2 π2m2

ex sin

mπx

dx π ea e a

( 1)m 1 m

(36)

(37)

( a, a)

и ряд Фурье в виде

cos

πx

cos

2πx

cos

3πx

a(ea e a )

...

a2 π2

a2 π2 22

a2 π2 32

sin

πx

2sin

2πx

3sin

3πx

π(ea e a )

... .

Пример 7. Разложить в ряд Фурье функцию

sin x

Эта функция четная с периодом π 2l π,

. Тогда

π 2

sin xdx

π 2

sin xcos2mxdx

bm 0.

4m2 1

Отсюда получаем

cos2mx

cos 2x

cos 4x

cos6x

sin x

4m2 1

... .

πm 1

Во всех точках данный ряд сходится к самой функции.

Пример 8. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную на интерва-

ле (–1, 1) формулой f (x) x3,						период которой T 2.
Это нечетная функция,					T 2l 2 , т. е. l 1. Тогда
				1				2				6				1	m
			a0 am 0,	bm 2 x3 sin mπxdx				2				6					m
															1			.
											2		m	2	1			.
				0				πm			π		m
				0
Следовательно, ряд Фурье данной функции имеет вид
	2	6		2	6					2					6
			1 sin πx				1 sin 2πx									1 sin3πx ...
	π		1 sin πx			22	1 sin 2πx		π 3						32	1 sin3πx ...
	π	π2		π 2 π2		22			π 3			π2			32

На рис. 5 приведен график суммы этого ряда.

Рис. 5. График суммы ряда, рассмотренного в примере 8

Таким образом, в примерах 6–8 рассмотрены разложения в ряд Фурье функций с произвольным периодом.

(0, l).

f (x)

ложение функции

0, l .

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ НА ОТРЕЗКЕ [0, l]

Пусть функция f (x) задана на промежутке Найдем соот-

ветствующий ей ряд Фурье на данном промежутке. Для этого дополним определение этой функции каким-либо образом на промежуткеl, 0 . Получим, таким образом, новую функцию F(x), совпадающую

на отрезке 0, l с функцией f (x). Эту функцию F(x), заданную наl, l , можно разложить в ряд Фурье, который для x 0, l дает раз- f (x). Обычно используются два продолжения f (x)

на промежуток l x 0 : четное и нечетное. В первом случае получим разложение в ряд по косинусам, во втором – по синусам.

Функция f (x), заданная на отрезке 0, l , может быть продолже-

на единственным образом на всю числовую прямую так, что получится четная функция с периодом 2l. Для четного продолжения f (x)

на промежуток l, 0 возьмем график заданной на отрезке 0, l функции f (x) и присоединим к нему график, симметричный с ним

относительно оси ординат. Тогда получится график четной функции, совпадающий с графиком заданной функции на отрезке 0, l .

Отсюда и из сказанного ранее о разложении четных функций в ряды Фурье следует, что если f (x) на отрезке 0, l удовлетворяет

условиям Дирихле, то внутри этого отрезка в точках непрерывности имеем разложение в ряд косинусов

		f (x) a0
		f (x) a0		am cos mπx			,		(38)
где			2	m 1		l
				m 1

a	2 l		f (x)dx,	a	2 l	f (x)cos		mπx		dx.
a	l		f (x)dx,	a	l	f (x)cos				dx.
0	l			m	l				l
0				m
		0			0

Аналогичным образом функция f (x) может быть продолжена нечетным образом. Возьмем график заданной на интервале (0, l) функции

и присоединим к нему график, симметричный заданному относительно начала координат. Тогда получится график нечетной функции, совпадающий с графиком заданной функции на интервале

Отсюда следует, что внутри отрезка 0, l в точках непрерывности функции f (x) имеем разложение в ряд синусов

	mπx		2 l		mπx
f (x) bm sin		,	bm l	f (x)sin		dx.	(39)
f (x) bm sin	l	,	bm l	f (x)sin	l	dx.	(39)
m 1			17	0
			17

Пример 9.	Разложить заданную на интервале (0,1) функцию
f (x) 1 x а) в ряд косинусов; б) в ряд синусов.
В случае а)	f (x) продолжим четным образом и используем разло-
жение(38), где

am 2 (1

a0 2 (1 x)dx 1,

	2(1 ( 1)m )					4			,

x)cos mπxdx					π	2	m	2
x)cos mπxdx	π	2	m	2	π		m
		2		2		0,
						0,

m нечетное,

m четное.

Тогда искомое разложение имеет вид

	1	4		cos(2k 1)πx
f x			k 0	(2k 1)2	,	x 0;1 .
	2	π2

Сумма ряда Фурье является функцией периодической с периодом T 2 и совпадает с четным продолжением f (x) на промежутке 1; 1

(рис. 6).

В случае б) f (x) продолжим нечетным образом и используем разложение(39), где

1	2
bm 2 (1 x)sin mπxdx		.

0	πm

1	1	x

Рис. 6. Сумма ряда Фурье для четного продолжения функции

При этом искомый ряд Фурье запишется так:

	2
f x	2	sinmmπx ,	x 0; 1 .
f x	π	sinmmπx ,	x 0; 1 .
		m 1

Сумма ряда Фурье является функцией периодической с периодом T 2 и совпадает с нечетным продолжением f (x) на промежутке

1; 1 (рис. 7).

Рис. 7. Сумма ряда Фурье для нечетного продолжения функции

Данный пример показывает, что разложения одной и той же функции в ряд Фурье могут коренным образом отличаться друг от друга при различных продолжениях функции на вторую половину периода.

РЯД ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ

Возьмем для удобства T 2π, т. е. l π. Тогда

f (x) a0

(ak cos kx bk sin kx),

(40)

k 1

где при k 1, 2, 3...

a0 1π f (x)dx, ak

1π f (x)cos kxdx, bk 1π

f (x)sin kxdx.

(41)

Воспользуемся формулами Эйлера:

eikx

cos kx i sin kx,

e ikx cos kx i sin kx,

(42)

откуда получим

cos kx 1 (eikx

e ikx ), sin kx

(eikx

e ikx )

(eikx e ikx ).

(43)

Подставляя (43) в ряд (40), запишем

f (x)

(eikx e ikx )

(eikx

e ikx ) ,

k 1

или

f x a0 ck eikx c k e ikx ,

(44)

k 1

где

ak ibk

, c k

ak ibk

(45)

Во второй сумме в соотношении (44) заменим k на « k », тогда

a k ib k

f (x) a0 ak

ibk eikx

eikx

ck eikx .

(46)

k 1

Здесь

k 0: c

ibk

f (x)(coskx isin kx)dx

f (x)e ikxdx,

2π

k 0: c

f (x)dx,

(47)

2π

k 0: c

a k ib k

f (x)(cos( kx) isin( kx))dx

f (x)e ikxdx.

2π

Таким образом, для любых целых k справедлива формула

f (x)e ikxdx.

(48)

2π

Итак, для периодической функции с периодом T 2π комплекс-

ная форма ряда Фурье имеет вид

f (x)

ck eikx ,

(49)

где ck

определяется

формулой

(48). Для

периодической

функции

с произвольным периодом T 2l

kπx

f (x)e i

kπx

f (x)

ck ei

, где ck

dx.

(50)

Отметим, что комплексная форма ряда Фурье наиболее удобна для перехода к интегральному преобразованию Фурье.

ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

Рассмотрим функцию f (x), определенную на бесконечном интервале ( , ) и абсолютно интегрируемую на нем; последнее означает, что существует несобственный интеграл

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.08.2026870 Кб0Рынок ценных бумаг. Учебное пособие-1.pdf
#
15.08.2026896 Кб0Рынок ценных бумаг. Учебное пособие.pdf
#
15.08.20261 Мб0Рыночная экономика. Market Economy. Учебное пособие.pdf
#
15.08.2026892 Кб0Рыночные циклы как выявлять и использовать закономерности для успешного инвестирования.pdf
#
15.08.2026951 Кб0Ряды и дифференциальные уравнения числовые и функциональные ряды. Учебное пособие.pdf
#
15.08.2026847 Кб0Ряды Фурье. Интегральные преобразования Фурье и Радона. Учебно-методическое пособие.pdf
#
15.08.2026740 Кб0Ряды. Учебное пособие-1.pdf
#
15.08.2026762 Кб0Ряды. Учебное пособие.pdf
#
11.08.2026623 Кб0С английским языком в дорогу. Справочник.pdf
#
09.08.2026356 Кб0С того берега. Эссе.pdf
#
09.08.2026431 Кб0Сalorimetric measurements of thermal effects of chemical reactions and physicochemical processes. Laboratory training guidance.pdf