Механика вращательного движения. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Для упрощения записей введём обозначение

и перепишем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

R	1		R		1	h R4 04	1

I 2 h r3dr 2 h		r4						R4h.

0	4		0	2			2

С учётом выражения для массы диска m V R2h получаем формулу момента инерции однородного диска (цилиндра) относительно оси вращения, совпадающей с его осью симметрии:

Iдиска Iцилиндра 1mR2.

11. Момент инерции однородного кольца относительно оси

Рис. П.11

вращения ОО’, совпадающей с его осью симметрии.

Разбиваем кольцо на элементарные области в виде элементарных колец толщиной dr и высотой h (рис. П.11). Объём такого элементарного кольца равен

dV 2 rhdr,

а его масса

dm dV ,

где mV – плотность кольца, m – масса кольца, V – его объём.

Момент инерции элементарного кольца относительно оси вращения равен

dI r2dm

или с учётом выражения для dm

dI r2dV 2 hr3dr .

Запишем интеграл по радиальному направлению r в пределах от R1

до R2

I 2 hr3dr.

Выносим постоянные 2 h за знак интегрирования и находим

интеграл

R2	1		R2		1	h R24 R14	1	R22 R12	h R22 R12	.

I 2 h r3dr 2 h		r4

R	4		R	2			2

1	1
С учётом выражения				для массы кольца				m V R22 R12 h

получаем формулу момента инерции однородного кольца относительно оси вращения, совпадающей с его осью симметрии

			Iкольца		1	m R22 R12	.
			Iкольца			m R22 R12	.
				2
12. Момент инерции однородного параллелепипеда и куба
относительно		оси	ОО’,
проходящей	через	центр	масс
параллельно ребру.
Разбиваем параллелепипед
на элементарные		вертикальные
пластинки	объёмом		dV
(рис. П.12)

dV acdx

и массой

dm dV ,

Рис. П.12

где m V – плотность

параллелепипеда, m – масса параллелепипеда, V – его объём.

Момент инерции выделенной пластинки относительно вертикальной оси вращения, проходящей через её центр масс, можно определить на основе формулы момента инерции однородного стержня относительно оси вращения, проходящей перпендикулярно стержню через его центр масс:

dI 1 a2dm. 12

Тогда момент инерции относительно оси вращения ОО’ в

соответствии с теоремой Штейнера можно записать как

	1	2			2				1		2		2
dI		a	dm	x		dm				a		x	dm
dI	12	a	dm	x		dm				a		x	dm
	12							12
или с учётом выражения для массы dm
		dI		1	a	2	x	2	acdx.

				12
				12

Запишем интеграл по направлению оси x в пределах от -b/2 до b/2

b 2		1		2		2	ahdx.
I			a		x

b	2	12

Выносим постоянные ac за знак интегрирования и интегрируем

		b 2		1			2		2		1			2				x3	b 2
		b 2		1			2		2		1			2				x3	b 2
I ac		b				a		x	dx ac				a		x
I ac				12		a		x	dx ac			12	a		x		3
			2	12								12					3		b 2
			2																b 2
		1		2 b					b	1 b		3				b	3			1		2		2
		1		2 b					b	1 b						b				1	abc a	2		2	.
ac			a																				b
ac	12		a		2					3	2									12			b
	12				2				2	3	2				2					12

С учётом выражения для массы параллелепипеда m V abc

получаем формулу момента инерции однородного параллелепипеда относительно оси, проходящей через центр масс параллельно ребру

Iпараллелепипеда 121 m a2 b2 .

Для куба a b с, и тогда момент инерции куба

Iкуб 1ma2.

13.	Момент		инерции
однородного	конуса	относительно
оси вращения ОО’, совпадающей с
осью симметрии.
Разбиваем		конус	на
элементарные горизонтальные тонкие

диски малой толщины dz объёмом dV
(рис. П.13)
dV r2dz	Рис. П.13

и массой dm dV ,

где mV – плотность конуса, m – масса конуса, V – его объём.

Момент инерции выделенного диска относительно оси ОО’ равен

dI 1r2dm

или с учётом выражения для массы dm

dI 1 r2dV 1 r4dz.

2 2

Радиус элементарного тонкого диска r равен радиусу поверхности конуса на высоте сечения и изменяется от координаты z в соответствии с формулой

	z
r R 1		.

	h

Запишем интеграл по оси z в пределах от 0 до h, подставив выражение для радиуса:

	h	1		z 4
I	0		R 1		dz.
		2
				h

Выносим постоянные за знак интегрирования

						1					4 h		z 4
					I					R	1				dz .
					I					R	1				dz .
						2					0		h
Введём	замену				переменной					x 1 z h.					Продифференцируем							это
выражение
					dx dz h dz hdx.
Определим пределы интегрирования по x:
									x1 1 0 h 1,
									x2 1 h h 0.
Тогда
		1			0		1					x	5	0		1			5	5
					0								5	0					5	5
I				R4 h x4dx				R4 h									R4	h	0		1
I				R4 h x4dx		2		R4 h									R4	h	5
	2				1	2					5			1	2				5	5
	1		R4h.		1						5			1
	1

С учётом выражения для массы конуса m Vконуса 13 R2h получаем формулу момента инерции однородного конуса относительно оси вращения, совпадающей с осью симметрии

Iконуса 3 mR2.

14. Момент инерции однородной пирамиды относительно оси ОО’,

проходящей через её центр масс и вершину.

Разбиваем пирамиду на элементарные области в виде горизонтальных пластинок малой толщины dz объёмом dV (рис. П.14)

dV 4xydz

и массой

dm dV ,

где m V – плотность пирамиды,
m – масса пирамиды,V – её объём.			Рис. П.14
Момент	инерции	выделенной

пластинки относительно оси вращения, проходящей через её центр масс,

в соответствии с формулой момента инерции для параллелепипеда равен

dI 121 2x 2 2y 2 dm 13 x2 y2 dm

или с учётом выражения для массы dm

dI 13 x2 y2 dV 43 x2 y2 xydz.

Запишем интеграл по z в пределах от 0 до h

I 4 xy x2 y2 dz.

0 3

Координаты x и y задают размеры выделяемых тонких пластин и определяются в зависимости от значения координаты z в соответствии с выражениями

x z	a		z		y z	b		z
		1		,			1		.
	2					2
			h					h

x z a ,

приведённые выше формулы в виде

y z b .

Произведём замену переменной z на Продифференцируем выражение

1		z	и определим пределы изменения
	1
2	1
2		h					1
					d		1		dz dz 2hd ,
					d				dz dz 2hd ,
							2h
				1		0		1		,		1		h	0.
			z 0		1						z h		1
			z 0	2	1			2			z h	2	1
				2		h		2				2		h

Запишем интеграл по в пределах интегрирования от 0 до 1/2, поменяв местами эти пределы с учетом знака «минус» в дифференциале и подставив значения функций x(z) и y(z).

1 2

I 4 a 2 b 2 a b

0 3

1 2

2hd 8 abh a2 b2 4d .

0 3

Выносим постоянные за знаки интегрирования и определяем значение момента инерции

			8		1 2					8							5	1 2
					1 2													1 2
I				abh a2 b2	4d							abh a2 b2
I				abh a2 b2	4d							abh a2 b2
		3				0		3								5		0
						0										5		0
	8					1 2	5		0		5			1
											5
		abh a2 b2													abh a2			b2 .
		abh a2 b2				5									abh a2			b2 .
3						5		5						3 20

С учётом				выражения	для		массы						пирамиды				m Vпирамиды

13Sоснh 13 abh получаем формулу момента инерции однородной пирамиды относительно оси, проходящей через её центр масс и вершину:

Iпирамиды 201 m a2 b2 .

15. Момент инерции однородного шара относительно оси ОО’,

проходящей через его центр масс.

Разбиваем шар на элементарные диски толщиной dz, объёмом dV (рис. П.15)

dV r2dz

и массой

dm dV ,

где mV – плотность шара, m – масса шара,

V – его объём.

Рис. П.15

Момент инерции выделенного диска относительно оси ОО’ равен

dI 1r2dm

или с учётом выражения для массы dm

dI r2dV r4dz.

Радиус элементарного тонкого диска r изменяется от координаты z

в соответствии с выражением

r R2 z2 .

Запишем интеграл по оси z от -R до R, подставив выражение для радиуса:

R	1					4	R	1					2
		R	2		2				R	2		2
I				z			dz				z		dz.
	2							2
R							R

Выносим постоянные за знак интегрирования и определяем значение момента инерции

		1	R												1			R
I		1	R R2 z2 2 dz												1	R R4 2R2z2 z4 dz
I		2	R R2 z2 2 dz												2	R R4 2R2z2 z4 dz
	1			4		R					2	R		2				R	4					1				4				R		2	z3	R		z5		R
						R						R						R

		R				dz 2R						z			dz z						dz				R					z		R	2R
	2	R				dz 2R						z			dz z						dz			2	R					z		R	2R		3			5
	2																							2											3			5
	1				R							R			2			R									1									R				R
	1				4										2		2			3						3	1				5			5
		R				R R										R		R					R						R				R
	2	R				R R									3	R		R					R						R				R
	2														3												5
	1					5	4		5			2		5				8				5
		2R						R					R						R				.
	2	2R					3	R				5	R				3 5		R				.
	2						3					5					3 5
			С		учётом					выражения									для				массы						шара				m V				4		3 R3
																																			шара

получаем формулу момента инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр масс:

Iшара 2mR2.

Оглавление

1. Элементы теории……………………………………..……...……....……3

1.1.Динамика вращательного движения………….………….………..........3

1.2.Момент силы. Момент импульса…………………............……..….…..3

1.3.Момент инерции материальной точки и твердого тела………….....…5

1.4.Момент инерции тела относительно произвольной оси,

не проходящей через центр масс. Теорема Штейнера……………...…..….9

1.5. Вывод основного закона динамики вращательного

движения твердого тела……………………………………..…….……….11

1.6.Закон сохранения момента импульса…………………………………12

1.7.Гироскоп……………………….………….………….………...……….15

1.8.Кинетическая энергия вращающегося тела……….………………….19

2. Лабораторный практикум…………..…...………….……….….………..22

2.1.Лабораторная работа 1-4………………...………………..……………22

2.2.Лабораторная работа 1-5 ……………………….……..…….…………30

2.3.Лабораторная работа 1-6………………………………....…………….34

2.4.Лабораторная работа 1-20…………………………………..………….41

Библиографический список………………………………………...............53

Приложение………………………………………………………………….54

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]