Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Механика вращательного движения. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

		61
c b 2		a 2

I			x2 y2 dx dy dz

0	b 2	a 2
0	b 2	a 2

и находим внутренний интеграл по переменной x, считая переменную y в

формуле постоянной величиной:

a 2										x3						a 2	a 2	3		2 a	a 2	3		a
a 2																a 2		3				3
		x		2	y		2	dx				y		2	x				y			y	2


											3						3			2	3			2
a 2											3					a 2	3			2	3			2
a 2																a 2
	a3					2		a2					2
			ay				a				y		.
			ay				a		12		y		.
12									12

Полученный результат подставляем в интеграл по переменной y,

выносим постоянную a за знак интеграла и определяем его значение

b 2

dy a

b 2 12

b 2

b 2 3

12 2

ab a2 b2 .

Результат подставляем в интеграл по переменной z, выносим постоянные за знак интеграла и находим значение момента инерции

I 121 ab a2 b2 dz 121 ab a2 b2 z с0 121 ab a2 b2 с 0

121 abc a2 b2 .

Сучётом выражения для массы параллелепипеда m V abc

получаем формулу момента инерции однородного параллелепипеда

относительно оси, проходящей через центр масс параллельно ребру:

Iпараллелепипеда 121 m a2 b2 .

Для куба a b с и тогда момент инерции куба

Iкуб 1ma2.

6. Момент инерции однородного конуса относительно оси

вращения ОО’, совпадающей с осью симметрии.
Разбиваем	конус	на
элементарные области объёмом
dV (рис. П.6). В цилиндрической
системе координат объём такой
элементарной области равен
dV rdrd dz,
а её масса
dm dV ,
где m V – плотность конуса,
m – масса конуса, V – его объём.			Рис. П.6

Момент инерции элементарной области относительно оси вращения равен

dI r2dm

или с учётом выражения для массы dm

dI r2dV r3drd dz.
Радиус поверхности конуса зависит от координаты z в
соответствии с формулой
		z
R z R	1		.

		h

Запишем тройной интеграл: один по радиальному направлению r

от 0 до R(z), второй по углу от 0 до 2 третий по оси z от 0 до h.

h 2 R z

I r3drd dz.

0 0 0

Выносим постоянную за знаки интегрирования

I	h 2 R z
			r3dr d dz

		0
	0 0

и находим внутренний интеграл по переменной r

R z		r4	R z		1	R4 z 04	1	R4 z .

	r3dr
							4
0	4		0	4

Полученный результат подставляем в интеграл по переменной . С

учётом того, что R(z) не зависит от функцию R(z) выносим за знак искомого интеграла и определяем его значение

				1		2					1								1											1
					R4 z d							R4 z				02					R4 z 2 0											R4 z .

			4																4
			4			0		4											4										2
Результат с учетом выражения R z R 1 z h																									подставляем в интеграл
по переменной z, выносим постоянные за знак интеграла
						1				h				z 4									1		4 h		z 4
					I			R					1					dz						R		1				dz.
					I			R					1					dz					2	R		1	h			dz.
							2 0							h									2		0		h
Введём			замену				переменной										x 1 z h.									Продифференцируем
dx dz h dz hdx. Определим																		пределы							интегрирования по x:
x1 1 0 h 1, x2 1 h h 0.
		Тогда искомое значение момента инерции
	1		0						1						x	5		0		1							0	5	5					1
			0													5		0										5	5
I		R4 h x4dx								R4 h												R4 h									1				R4h.
I		R4 h x4dx						2		R4 h												R4 h													R4h.
2			1					2						5				1	2								5 5						10
			1											5				1

Рис. П.7

С учётом выражения для массы конуса m Vконуса 13 R2h

получаем формулу момент инерции однородного конуса относительно оси вращения, совпадающей с осью симметрии:

Iконуса 3 mR2.

7. Момент инерции однородной пирамиды относительно оси ОО’,

проходящей через её центр масс и вершину.

Разбиваем пирамиду на элементарные области объёмом dV

(рис. П.7). В декартовой системе координат элементарный объём

dV dxdydz,

а его масса dm dV ,

где mV – плотность пирамиды, m – масса пирамиды, V – её объём.

Квадрат расстояния от оси вращения ОО’ до элементарной

области, центр масс которой имеет координаты (x,y,z), может быть найден по теореме Пифагора

r2 x2 y2 .

Момент инерции элементарной области относительно оси вращения равен

dI r2dm x2 y2 dm

или с учётом выражения для массы dm

dI x2 y2 dV x2 y2 dxdydz.

Расстояния от оси z до наклонных поверхностей пирамиды зависят от координаты z в соответствии с формулами

x z	a		z		y z	b				z
		1		,			1				.
	2	1		,		2	1				.
	2		h			2				h
Для упрощения записей введём обозначение								1			z	и перепишем
									1
							2		1		h
							2				h
приведенные выше формулы в виде
x z a ,					y z b .

Произведём замену переменной z на Продифференцируем выражение

1		z	и определим пределы изменения
	1
2	1
2		h
			d	1	dz dz 2hd ,
			d		dz dz 2hd ,
				2h
						1		0			1	,
			z 0				1
			z 0			2	1				2
						2		h			2
						1			h	0.
			z h				1
			z h			2	1
						2			h

Запишем тройной интеграл: один по направлению оси ox от a

до a , второй по оси oy от b до b , третий по от 0 до 1/2, поменяв местами пределы интегрирования с учетом знака «минус» в

дифференциале.

1 2 b		a	2 h x2 y2 dxdyd .
I
0	b a

Выносим постоянные за знаки интегрирования

1 2	b		a
I 2 h
					x2 y2 dx dy d
0
		b		a

и находим внутренний интеграл по переменной x, считая переменную y в

формуле постоянной величиной:

a				3
x2 y2 dx			x
x2 y2 dx
a		3
a 3
2	y2a
3

y2x

a2 2 2a

a 3

y2 .

		a 3
y2 a		3
		3

y2 a

Полученный результат подставляем в интеграл по переменной y,

выносим постоянные 2a и за знак интеграла и определяем его значение

b a2 2				2	a2 2								y3	b
b a2 2				2	a2 2								y3	b
2a			y	dy 2a					y
2a	3		y	dy 2a		3			y
b	3					3					3			b
b														b
	2	2		3				2		2						3		4
2a	a		b b				a					b b						4	ab 4	a2 b2	.
2a	3		b b									b b							ab 4	a2 b2	.
	3			3				3							3		3

Результат подставляем в интеграл по переменной , выносим постоянные за знак интеграла и определяем значение момента инерции

			8		1 2					8							5	1 2
					1 2													1 2
I				abh a2 b2	4d							abh a2 b2
I				abh a2 b2	4d							abh a2 b2
		3				0		3								5		0
						0										5		0
	8					1 2	5		0		5			1
											5
		abh a2 b2													abh a2			b2 .
		abh a2 b2				5									abh a2			b2 .
3						5		5						3 20

С учётом				выражения	для		массы						пирамиды				m Vпирамиды

13Sоснh 13 abh получаем формулу момента инерции однородной пирамиды относительно оси, проходящей через её центр масс и вершину:

Iпирамиды 201 m a2 b2 .

8. Момент инерции однородного шара относительно оси ОО’,

проходящей через его центр масс.

Разбиваем шар на элементарные области объёмом dV. (рис. П.8). В цилиндрической системе координат элементарный объём

dV rdrd dz,

а его масса

dm dV ,

Рис. П.8 где mV – плотность шара, m –

масса шара, V – его объём.

Момент инерции выделенной элементарной области относительно оси вращения равен

dI r2dm

или с учётом выражения для массы dm

dI r2dV r3drd dz.

Радиус поверхности шара зависит от координаты z в соответствии с формулой

R z R2 z2 .

Запишем тройной интеграл: один по радиальному направлению r от 0 до

R(z), второй по углу от 0 до 2 третий по оси z от -R до R.

R 2 R z

I r3drd dz.

R 0 0

Выносим постоянную за знаки интегрирования

I	R 2 R z
				r3dr d dz

		0	0
	R

и находим внутренний интеграл по переменной r

R z		r4	R z		1	R4 z 04	1	R4 z .

	r3dr
							4
0	4		0	4

Полученный результат подставляем в интеграл по переменной . С

учётом того, что R(z) не зависит от дробь и функцию R(z) выносим за знак искомого интеграла как постоянные, не зависящие от угла, и

определяем его значение

1	2	1			1		1
	R4 z d		R4 z	02		R4 z 2 0		R4 z .

4		4			4		2

	0

Результат с учетом выражения R z R2 z2 подставляем в интеграл

по переменной z, выносим постоянные за знак интеграла и определяем значение момента инерции

			1		R															4					1								R						2
			1		R							2			2					4					1								R			2		2	2
I										R			z								dz								R								z			dz
I			2							R			z								dz				2				R								z			dz
			2		R																				2							R
	1			R
	1	R R4 2R2z2 z4 dz
	2	R R4 2R2z2 z4 dz
	1					4			R						2			R			2							R		4
			R				dz 2R										z					dz z											dz
	2		R				dz 2R										z					dz z											dz
	2							R									R										R
	1					4				R		2R				2				z3			R					z5			R


			R						z
	2		R						z	R										3							5



																							R								R
	1						4															2			2							3					3			1		5			5
				R					R R															R			R								R						R		R
	2			R					R R													3		R			R								R					5	R		R
	2																					3																		5
	1								5		4			5			2				5						8							5
				2R								R							R											R					.
	2			2R							3	R					5		R						3 5					R					.
	2										3						5								3 5
С учётом							выражения													для						массы									шара					m V				4		3 R3
																																											шара

получаем формулу момента инерции однородного шара относительно оси, проходящей через его центр масс:

Iшара 2mR2.

Рис. П.9

Альтернативные способы оценки моментов инерции

9. Момент инерции однородного стержня относительно оси ОО’,

проходящей перпендикулярно стержню через один из его концов.

Допустим нам известен момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через центр масс

Iстержня,ц.м. 1 ml2.

Тогда момент инерции относительно края можно определить на основе теоремы Штейнера, приняв

расстояние от оси вращения до оси, проходящей через центр масс,

равным l/2 (рис. П.9). То есть

	1		2	l		2	1		2	.
Iстержня		ml		m				ml
	12				2		3

10. Момент инерции однородного диска (цилиндра) относительно

Рис. П.10

оси вращения ОО’, совпадающей с его осью симметрии.

Разбиваем диск на элементарные области в виде элементарных колец толщиной dr и высотой h (рис. П.10). Объём такого элементарного кольца равен

dV 2 rhdr,

а его масса

dm dV ,

где mV – плотность диска, m – масса диска, V – его объём.

Момент инерции элементарного кольца относительно оси вращения равен

dI r2dm

или с учётом выражения для dm

dI r2dV 2 hr3dr .

Запишем интеграл по радиальному направлению r в пределах от 0

до R

I 2 hr3dr.

Выносим постоянные 2 h за знак интегрирования и интегрируем

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

a 2										x3						a 2	a 2	3		2 a	a 2	3		a
a 2																a 2		3				3
		x		2	y		2	dx				y		2	x				y			y	2


											3						3			2	3			2
a 2											3					a 2	3			2	3			2
a 2																a 2
	a3					2		a2					2
			ay				a				y		.
			ay				a		12		y		.
12									12

a 2										x3						a 2	a 2	3		2 a	a 2	3		a
a 2																a 2		3				3
		x		2	y		2	dx				y		2	x				y			y	2


											3						3			2	3			2
a 2											3					a 2	3			2	3			2
a 2																a 2
	a3					2		a2					2
			ay				a				y		.
			ay				a		12		y		.
12									12

a 2										x3						a 2	a 2	3		2 a	a 2	3		a
a 2																a 2		3				3
		x		2	y		2	dx				y		2	x				y			y	2


											3						3			2	3			2
a 2											3					a 2	3			2	3			2
a 2																a 2
	a3					2		a2					2
			ay				a				y		.
			ay				a		12		y		.
12									12