Методы оптимизации и принятие проектных решений. Учебное пособие для магистрантов по направлению 11.04.03

В ходе экспертизы каждый эксперт заполняет таблицу, в неё он заносит результаты парных сравнений, образующие (n ×n) -матрицу

Z = z(h, p) n×n ,

где

1, если vh f vp ; z(h, p)= 0, если vh pvp ;

−, если vh ≈ vp .

Для j-го эксперта матрицу Z будем обозначать Z(j). Общий вид та-

кой матрицы, характеризующей результаты парных сравнений, представлен в табл. 3.5.

3.5. Матрица Z(j) парных сравнений j-го эксперта

51

Например, для четырёх вариантов (n = 4) заполненная одним экспер-

том табл. 3.5 может иметь вид, представленный табл. 3.6, ей соответствует матрица Z , равная

Элементы данной матрицы означают, что эксперт при сравнении вариантов v1 и v2 отдал предпочтение первому варианту ( v1 f v2 ), поэтому

z(1, 2)=1 , при сравнении v1 с v3 – третьему ( v1 p v3 ) и z(1,3)= 0 , при сравнении v1 с v4 – первому и z(1, 4)=1 и т.д.

Матрицы Z(j) обладают следующими свойствами:

1) по главной диагонали стоят знаки «–» (прочерк); 2) если элемент z(h, p)=1, то z(p,h)= 0, h ≠ p ;

3) так как число парных сравнений вариантов равно числу сочетаний из n по 2, т.е.

C(2n)= n(n −1)2,

то матрица Z содержит Cn2 единиц и Cn2 нулей.

Свойство третье используется для проверки правильности заполнения матрицы экспертом, т.е.

n n

∑ ∑z(h, p)= n(n −1)2 .

h=1 p=1

Эксперту рекомендуется следующий порядок заполнения Z(j). Сначала следует попарно сравнивать вариант v1 с v2 , ... , vn , т.е. за-

полнять первую строку матрицы Z(j). Далее вариант v2 с v3 , ... , vn и т.д. То есть достаточно записать значение z(h, p; j) лишь выше главной

диагонали. Другая часть матрицы заполняется на основе второго свойства

(если z(h, p)=1, то z( p, h) = 0, h ≠ p ).

При сравнении вариантов vh и vp по векторному критерию необхо-

димо учитывать важность показателей и число показателей, по которым vh превосходит vp .

52

3.7. Обобщённая матрица Г при парных сравнениях

В результате работы m экспертов заполняется m таблиц Z(j), j =1, 2, ..., m парных сравнений. Обработка результатов экспертизы на-

чинается с объединения этих таблиц в одну обобщённую табл. 3.7, содержащую (n ×n) -матрицу

Г = g(h, p) n×n ,

элементы которой получаются суммированием соответствующих значений матриц Z(j), т.е.

m

g(h, p)= ∑z(h, p; j).

j=1

Дополнительно табл. 3.7 содержит столбец ∑1 и строку ∑2 .

Элементы H1, ..., Hn столбца ∑1 равны суммам элементов строк матрицы Г, т.е.

n

Hh = ∑g(h, p), h =1, 2, ..., n,

p=1

53

а элементы P1, ..., Pn строки ∑2 равны суммам элементов столбцов матрицы Г, т.е.

n

Pp = ∑g(h, p), p =1, 2, ..., n.

h=1

Матрица Г и компоненты табл. 3.7 должны удовлетворять следующим свойствам.

1. Сумма элементов матрицы Г равна

nn

∑3 = ∑ ∑g(h, p)= mCn2 = mn(n −1)2 .

h=1 p=1

2. При полном согласии мнений экспертов в Cn2 ячейках g (h, p)= m , в остальных g(h, p)= 0, h ≠ p .

3. При минимальном согласии каждая ячейка табл. 3.7 содержит g = m2 , если m – чётное, и g = (m +1)2 или g = (m −1)2 , если m – не-

чётное.

4. Сумма из элементов j-го столбца и i-й строки постоянна для всех i, т.е.

или

H1 + P1 = H2 + P2 =... = Hn + Pn .

5. Суммы элементов векторов ∑1 = (H1, ..., Hn ) и ∑2 = (P1, ..., Pn ) равны, т.е.

С помощью табл. 3.5 и 3.7 вычисляется средняя частота предпочтения каждого варианта каждым экспертом и средний ранг фактора, полученный от всех экспертов.

Пример 3. В качестве примера рассмотрим случай парных сравнений для n = 4 и m = 3 . Результаты сравнений экспертами приведены в табл. 3.8 – 3.10.

54

3.8. Матрица парных сравнений 1-го эксперта ( j = 1)

В этих таблицах содержатся также значения частот (чисел) предпочтения варианта υh j-м экспертом f (h; j) и нормированных частот пред-

почтения варианта υh j-м экспертом w(h; j), которые рассчитываются по формулам:

55

Обобщённая матрица Г для рассматриваемого примера содержится в табл. 3.11. Здесь выполнены все свойства матрицы Г, т.е.

Последний столбец табл. 3.11 содержит значения нормированных средних частот (рейтингов) w(h), h =1, K, n с учётом мнения всех

экспертов, которые вычисляются по формуле

56

3.11. Обобщённая матрица Г парных сравнений для n = 4 и m = 3

Заметим, что частоты w(h), h =1, K, n, можно рассчитывать также непосредственно по табл. 3.11 или по формуле

w(h)= ∑Hh3 .

Чем больше значение w(h), тем предпочтительнее вариант vh .

При последующей обработке табл. 3.11 преобразуется в таблицу, где варианты располагаются в порядке убывания значений Hh . При равенст-

ве значений Hh на первое место ставится вариант vh , в строке матрицы Г которого содержится g(max) и нет нулей, на 2-е место с g(max) и нулями, на 3-е без g(max) и т.д. Покажем это на примере преобразований табл. 3.11 в табл. 3.12.

57

3.12.Преобразованная обобщённая матрица Г парных сравнений

сn = 4 и m = 3

Здесь на первом месте записан четвёртый вариант, так как v4 содержит g(max)= 3 и в строке нет нулей. Далее вариант v3 с g(max) и одним

нулём, затем v2 с двумя g = 2 и, наконец, v1 с g = 2 и нулём.

Таким образом, в табл. 3.12 варианты располагаются в порядке предпочтения по результатам опроса экспертов, отмеченное преобразование позволяет разделить варианты даже с одинаковыми рангами.

Далее рассчитывается коэффициент согласия Wп , характеризующий

насколько согласованы мнения экспертов при парных сравнениях. Расчёт Wп производится по формуле

58

Коэффициент Wп может находиться в пределах от Wп(min) (при

минимальном согласии экспертов) до 1 (их полное согласие), т.е.

Wп [Wп(min); 1].

Значение Wп(min) рассчитывается из соотношения

Таким образом, Wп = 0,55 принадлежит отрезку [0,33; 1].

Оценка значимости коэффициента Wп , т.е. существенно ли он отличается от Wп(min) при больших m и n , производится с использованием

критерия «Хи-квадрат» ( χ2 ).

Дляэтого рассчитываетсяоценка критерия порезультатамэкспертизы

и число степеней свободы

ν = C 2 m(m −1) . n (m − 2)2

В нашем случае

59

3.13. Значения χ2т(ν,α)

Значение χˆ 2 сравнивается с табличным χ2т(ν, α), определяемым по числу ν и уровню значимости α (обычно 100α% = 1% или 100α% = 5%

(табл. 3.13). Более полная таблица значений χ2т(ν, α) дана в табл. П1 приложения.

Если χˆ 2 > χ2т(ν, α), то гипотеза о значимости Wп (согласованности

мненийэкспертов) принимается, впротивном случае( χˆ 2 ≤ χ2т(v, α)) – отвергается.

χ2т (36; 0,05) / 36 = 1,414, а, следовательно, χ2т (36; 0,05) = 50,9.

Так как

χ2 = 40 и χ2 < χ2т (36; 0,05) =50,9,

то гипотеза о значимости Wп отвергается и мнения экспертов не являются согласованными.

60