Математическая обработка результатов экспериментов. Методические указания к практическим работам по курсу «Основы научных исследований»

Остаточная дисперсия характеризует рассеяние наблюдений относитель-

но полученного уравнения регрессии

где – значение величины, полученное из уравнения регрессии.

Очевидно, что .

Чем ближе корреляционное отношение к коэффициенту парной корреля-

ции, тем более линейной является связь между зависимой и независимой величинами.

В случае нелинейной связи между величинами форма ее устанавливается методом наименьших квадратов в виде полинома

Алгоритм метода наименьших квадратов основан на поиске уравнения,

минимизирующего выражение

Задание 2. Рассчитать коэффициент парной корреляции режима работы и показателей работы доменной печи, оценить его значение, вывести уравнение регрессии, определить доверительные интервалы констант.

Матрица заданий приведена в табл. 1, исходные данные к заданиям – прил. 6, критические значения коэффициента парной корреляции – прил. 7,

значения критерия Стьюдента – прил. 8.

3. Статическая обработка данных пассивного эксперимента. Множественный линейный регрессионный анализ

На практике для обработки результатов наблюдений статистическими ме-

тодами чаще используют множественный линейный регрессионный анализ.

Однако из-за сложности расчета результатов исследований при действии на функцию нескольких факторов , задачу упрощают и сводят ее к парной ре-

грессии.

11

Вообще, при множественном линейном регрессионном анализе задача формируется как отыскание коэффициентов и в уравнении вида

(1.8)

Коэффициенты уравнения регрессии определяют методом наименьших квадратов, который заключается в подборе коэффициентов уравнения регрессии при которых соблюдается условие

где и – фактическое и расчетное значение функции в -ом опыте.

При большом объеме данных множественный линейный регрессионный анализ проводят с помощью ЭВМ. В случае, когда функция зависит от двух пе-

12

ременных, задача поиска уравнения регрессии упрощается. В этом случае пред-

варительно определяют среднеквадратические отклонения и средние арифме-

тические значения функции и переменных и , а также парные коэффици-

енты корреляции для всех возможных комбинаций между переменными , и : , , . Уравнение регрессии имеет следующий вид

где коэффициенты и определяются по формулам:

Свободный член уравнения регрессии (1.8) может быть определен по формуле . Полученные коэффициенты необходимо подста-

вить в формулу 1.8.

Адекватность уравнения регрессии проверяется по критерию Фишера по методике, описанной для парного линейного регрессионного анализа.

Задание 3. Получить уравнение множественной линейной регрессии ре-

жима работы и показателей работы доменной печи.

Матрица заданий приведена в табл. 1 (принять: – 1 столбец, – 2, – 3), исходные данные к заданиям – приложение 6, критические значения коэф-

фициента парной корреляции – приложение 7, значения критерия Стьюдента – приложение 8.

4. Методы планирования эксперимента. Планы первого порядка

Если проводятся представленные эксперименты или априори известна прямолинейная зависимость между исследуемыми параметрами, то при плани-

ровании экспериментов используют планы первого порядка.

13

Для каждого переменного выбирается шаг варьирования . Если из-

вестны максимальное и минимальное значения переменной, тогда шаг варьирования равен

Причем большее значение переменной (верхний ряд) обозначается +1.

Аналогично нижний уровень -1, средний (нулевой) уровень .

Исследования проводятся по плану-матрице планирования эксперимен-

тов. Она представляет собой возможные комбинации уровней. Все возможные комбинации уровней называются полным факторным экспериментом.

Если уровней 2 (верхний и нижний), а число переменных , то количе-

ство опытов при полном факторном эксперименте составляет: , то есть при двух переменных необходимо провести 4 активных опыта, при трех –

8, при четырех – 16 и т.д.

План-матрица при двух и трех переменных приведена в табл. 2 и 3.

Таблица 2

Матрица планирования для двух факторов

После построения матрицы, приступают к проведению экспериментов.

Причем каждый из опытов матрицы проводят не менее 2 раз. Это будут парал-

лельные опыты. Эксперименты следует проводить в случайном порядке. Ре-

зультатом эксперимента будет служить модель вида Для получения модели необходимо определить коэффициенты, показы-

вающие влияние каждого фактора на параметр оптимизации, по формуле

14

Библиографический список

1. Кухаркина Т.В. Основы построения кинетических моделей: учебное пособие / Т.В. Кухаркина, Н.Г. Дигуров. – Москва: РХТУ им. Д.И. Менделеева,

1999. – 48 с.

2. Румшинский Л.З. Математическая обработка результатов эксперимен-

тов / Л.З. Румшинский. – Москва: Наука, 1971. – 192 с.

3. Тимофеев А.А. Методика исследования и обработки данных в литей-

ном производстве: учебное пособие / А.А. Тимофеев. – Воронеж: Изд-во Воро-

нежского политехнического института, 1981. – 80 с.

4. Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических формул: учеб. пособие для вузов / Е.Н. Львовский. – Москва: Высшая школа,

1988. – 239 с.

5. Кнотек М. Анализ металлургических процессов методами математиче-

ской статистики / М. Кнотек, Р. Войта, И. Шефц. – Москва: Металлургия,

1968. – 212 с.

6.Новик Ф.С. Планирование эксперимента на симплексе при изучении математических систем / Ф.С. Новик. – Москва: Металлургия, 1985. – 256 с.

7.Новик Ф.С. Математические методы планирования эксперимента в ме-

талловедении / Ф.С. Новик. – Москва: МИСиС, 1970. – 79 с.

8. Ковшов В.Н. Постановка инженерного эксперимента / В.Н. Ковшов. –

Киев: Вища школа, 1982. – 120 с.

16

Приложение 1

Термодинамические характеристики веществ

Приложение 2

Интегралы Темкина-Шварцмана

Приложение 3

Реакции для домашнего задания

17