Математика. Вводный курс. Учебное пособие

ЗАДАНИЯ

Задание 1. Прочитайте слова и словосочетания и переведите незнакомые по словарю.

Задание 2. Подберите определения к существительному дробь. Задание 3. Заполните таблицу характеристик дробей.

61

Задание 6. Составьте предложения, используя данные задания 5 по модели.

М о д е л ь: 34 (три четвёртых) – это правильная дробь, три –

числитель дроби; четыре – знаменатель дроби.

Задание 7. Прочитайте и запишите в виде дроби: две трети, три четверти, четыре пятых, семь десятых, восемь восьмых, двенадцать десятых.

Задание 8. Найдите соответствия в левой и правой частях таблицы. Запишите правильный вариант.

Задание 9. Закончите предложения.

1.Действие деления 1 : 2 …

2.Чтобы найти частное 1 : 2, нужно …

3.Число, которое можно записать в виде qp , – это …

4.Знаменатель дроби показывает …

5.Числитель дроби показывает …

6.Любое натуральное число – это …

7.Сумма натурального числа и правильной дроби – это …

8.Чтобы записать смешанную дробь как неправильную, надо … Задание 10. Определите, сколько минут составляет:

62

Занятие 17

ДЕЙСТВИЯ С ОБЫКНОВЕННЫМИ ДРОБЯМИ

СЛОВА И СЛОВОСОЧЕТАНИЯ

ТЕКСТ ДЛЯ ЧТЕНИЯ

Для любой дроби можно записать сколько угодно дробей, которые ей равны.

Например, 12 = 24 = 63 = 84 ... или 13 = 62 = 93 = 124 ...

Дроби 12 и 24 определяют одно и то же число, которое записано в

разных формах.

Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, которая равна данной дроби:

qp = qp nn .

Это основное свойство дроби.

Основное свойство дроби можно записать в обратном порядке: qp nn = qp .

63

Если n > 1, то дробь можно сократить.

Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель, который не равен 1, то дробь можно сократить на этот множитель. При этом получится дробь, которая равна данной дроби.

Если числитель и знаменатель дроби qp не имеют общих простых делителей, то дробь qp – это несократимая дробь.

Дроби 257 и 1325 имеют одинаковые знаменатели, то есть они

имеют общий знаменатель. Дроби 78 и 13 имеют разные знаменатели,

но их можно привести к общему знаменателю с помощью основного свойства дроби. Для этого надо найти число, которое делится на 8 и на 3. Например, 24. Приведём дроби к общему знаменателю 24. Для этого

надо умножить числитель и знаменатель дроби 78 на дополнительный

множитель 3 (24 : 8 = 3). Дополнительный множитель для дроби 78

равен 8 (24 : 3 = 8). Получим:

78 = 78 33 = 2421 и 13 = 13 88 = 248 .

Чаще всего дроби приводят к наименьшему общему знаменателю.

Наименьший общий знаменатель равен наименьшему общему кратному знаменателей данных дробей.

Дроби, как и натуральные числа, можно сравнивать.

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.

Чтобы сравнить две дроби, надо привести их к общемузнаменателю, азатемприменитьправилосравнениядробейсобщимзнаменателем.

Правильная дробь меньше 1 (единицы), а неправильная дробь больше или равна 1 (единице).

Рассмотрим, как выполнить арифметические операции с дробями.

Чтобы сложить (вычесть) дроби с общим знаменателем, надо сложить (вычесть) их числители, а знаменатель оставить без изменений.

Например,

15 + 52 = 1+5 2 = 53 .

64

Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо сначала привести дроби к общему знаменателю, а затем сложить (вычесть) их числители и записать общий знаменатель.

Например, 15 + 23 = 153 +1015 = 3 15+10 = 1513 .

Сложение и вычитание смешанных дробей выполняют с помощью законов сложения. Чтобы сложить (вычесть) смешанные дроби, надо сложить (вычесть) целые части, затем сложить (вычесть) дробные части и полученные результаты сложить.

Например,

Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменате-

лей этих дробей: qp rs = qp sr .

Например, 15 23 = 15 23 = 152 .

Чтобы умножить натуральное число на дробь, надо числитель дроби умножить на это натуральное число, а знаменатель оставить без изменения.

Например, 3 52 = 352 = 65 =1 15 .

Дробь qp – это число, обратное для дроби qp . Числа qp и qp –

это взаимно обратные числа (здесь p и q – натуральные числа). Произведение взаимно обратных чисел равно 1.

Например, 52 52 = 52 25 = 1010 =1 .

Частное двух дробей равно дроби, которая при умножении на делитель даёт делимое.

Чтобы разделить дробь на дробь, надо делимое умножить на дробь, обратную делителю.

Например, 12 : 23 = 12 32 = 21 32 = 34 .

65

При умножении и делении смешанных дробей удобно сначала записать их в виде неправильных дробей.

Например, 2 12 1 23 = 52 53 = 52 53 = 256 = 4 16 ; 2 12 :1 23 = 52 : 53 = 52 53 = 52 35 = 32 =1 12 .

Все законы сложения (коммутативный и ассоциативный) и умножения (коммутативный, ассоциативный, дистрибутивный) выполняются и для дробей.

ЗАДАНИЯ

Задание 1. Прочитайте слова и словосочетания и переведите незнакомые по словарю.

Задание 2. Подберите однокоренные слова к данным существительным: сокращение, умножение, дробь.

Задание 3. Подберите прилагательные к существительным: дробь, дроби, знаменатель, множитель, части, числа.

Задание 4. Прочитайте предложения. Обратите внимание на употребление выделенных конструкций.

1.Умножим числитель и знаменатель на одно и то же число.

2.Надо умножить числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель.

3.Дробь можно сократить на множитель, если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель, который не равен 1.

4.Чтобы разделить дробь на дробь, надо делимое умножить на дробь, обратную делителю.

Задание 5. Поставьте вместо точек словосочетания с глаголами

умножить на…, разделить на…, сократить на… , данные под чертой.

1.Если числитель и знаменатель дроби …, то получится дробь, которая равна данной дроби.

2.Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель, который не равен 1, то дробь можно …

3.Чтобы … натуральное число …, надо числитель дроби …, а знаменатель оставить без изменения.

4.Чтобы… дробь…, надоделимое…, обратнуюделителю.

Умножить на одно и то же натуральное число; умножить на дробь; разделить на дробь; сократить на этот множитель; умножить на это натуральное число.

Задание 6. Найдите в тексте конструкции с выражением «привести к общему знаменателю» и запишите их.

66

Задание 7. Ответьте на вопросы, используя словосочетание «привести к общему знаменателю».

1.Что можно сделать с дробями 53 и 18 ?

2.К какому знаменателю чаще всего приводят дроби?

3.Как сравнить две дроби с разными знаменателями?

4.Как сложить дроби 15 и 72 ?

Задание 8. Прочитайте текст и ответьте на вопросы.

1.Сколько равных дробей можно записать для любой дроби?

2.Какая дробь получится, если числитель и знаменатель умножить на одно и то же натуральное число?

3.Когда дробь можно сократить на общий множитель?

4.Какая дробь называется несократимой?

5.Как привести дроби к общему знаменателю?

6.К какому знаменателю чаще всего приводят дроби?

7.Чему равен наименьший общий знаменатель двух дробей?

8.Какая из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше?

9.Как сложить (вычесть) дроби с общим знаменателем?

10.Как сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями?

11.Как сложить (вычесть) смешанные дроби?

12.Чему равно произведение двух дробей?

13.Как умножить натуральное число на дробь?

14.Какие числа qp и qp ? Чему равно их произведение?

15.Чему равно частное двух дробей?

16.Как разделить дробь на дробь?

17.Какие законы выполняются для дробей?

Задание 9. Выполните действия с обыкновенными дробями.

67

Занятие 18

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

СЛОВА И СЛОВОСОЧЕТАНИЯ

ТЕКСТ ДЛЯ ЧТЕНИЯ

Положительные дробные числа – это положительные обыкновенные дроби. Если перед положительной дробью поставить знак плюс (+), то дробь не изменится:

12 = + 12 ; 87 = + 87 ; 71 = + 71 .

Если перед положительной дробью поставить знак минус (–), то получится новое число – отрицательное дробное число, или отрица-

тельная дробь. Например, числа − 12 , − 87 , − 71 – это отрицательные дроби.

Число, которое можно записать в виде qp , где p, q – целые числа

Дроби, которые отличаются только знаком, – это противоположные дроби. У противоположных дробей модули одинаковые. Все свойства модуля выполняются и для рациональных чисел.

Основное свойство дроби верно не только для положительных дробей, но и для всех рациональных чисел. С помощью основного свойства дроби можно привести дроби к новому знаменателю и сократить дробь.

Рациональное число – это:

а) положительная дробь, если p, q имеют одинаковый знак; б) отрицательная дробь, если p, q имеют разный знак;

в) число 0, если p = 0.

68

Для любого целого числа p верно равенство: 1p = p . Оно означа-

ет, что любое целое число является рациональным числом.

Чтобы сравнить две любые дроби, сначала надо привести их к

общему положительному знаменателю.

Из двух дробей с общим положительным знаменателем больше та, у которой числитель больше.

–6 < –5, то 16−6 < 16−5 и − 83 < −516 .

Из общего правила сравнения целых чисел следует, что положительная дробь больше отрицательной дроби и больше нуля, отрицательная дробь меньше нуля.

Все арифметические действия с рациональными числами выполняются так же, как и с положительными дробями. Для рациональных чисел выполняются все законы сложения и умножения.

ЗАДАНИЯ

Задание 1. Прочитайте слова и словосочетания и переведите незнакомые по словарю.

Задание 2. Подберите прилагательные к существительным.

Задание 3. Поставьте вместо точек подходящие по смыслу прилагательные.

1. … дробные числа – это положительные … дроби.

69

2.Если перед положительной дробью поставить знак минус, то получится новое число – отрицательное … число или … дробь.

3.23 , −56 , −−77 – это … числа.

4.… число – это … дробь, если p, q имеют … знак; … дробь, если p, q имеют … знак.

5.Равенство 1p = p означает, что любое … число является ра-

циональным числом.

6.Чтобы сравнить две любые дроби, сначала надо привести их к общему … знаменателю.

7.Из двух дробей с … положительным знаменателем больше та,

укоторой числитель больше.

8.… дробь больше отрицательной дроби и больше нуля, … дробь меньше нуля.

Запомните!

=Что? – это что?

Что? является чем? (-ым, -им, -ой, -ей, -ыми, -ими, -ом,

-ем, -ой, -ей, -ью, -ами, -ями)

Положительные дробные числа – это положительные обыкно-

=венные дроби.

Положительные дробные числа являются обыкновенными дробями

Задание 4. Замените данные предложения синонимичными.

1. Число, которое можно записать в виде qp , где p, q – целые числа и q ≠ 0, – это рациональное число и дробь.

2.Равенство 1p = p означает, что любое целое число является рациональным числом.

3.Числа − 12 , − 87 , − 71 являются отрицательными дробями.

4.12 – это положительная дробь.

5.Число 0 является рациональным числом.

6.Отрицательная дробь является рациональным числом.

Задание 5. Закончите предложения.

1.Положительные дробные числа – это … .

70