Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика функции нескольких переменных, интегральное исчисление. Практикум

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

837 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

3.2. Таблица неопределенных интегралов

1. ³xadx

xa 1

c a ζ 1 .

2. ³

c x ζ 0 .

a x

c a ! 0; a ζ 1 .

3. ³a xdx

ln a

4. ³exdx

ex c .

5. ³sin xdx

cos x c .

6. ³cos xdx

sin x c.

7. ³

tgx c .

cos2 x

8. ³

ctgx c .

sin

↑

arcsin x c

→

1 x2

↓ arccosx c

↑

°arcsin

10.

→

a2 x2

° arccos

↑

↓

11.

arctgx c

→

³1 x2

↓ arcctgx c

↑1

arctg

→a

³a2 x

arcctg

↓

13. ³

x2 ρ a2

c .

x2 ρ a2

a x

14. ³

c .

a2 x2

a x

Так как интегрирование есть операция обратная дифференцированию, то прочитав таблицу интегралов справа налево, получим таблицу производных.

Интегралы, содержащиеся в таблице, называются табличными. Вычисление интеграла сводится к последовательным операциям, результатом

которых является приведение заданного интеграла к табличному (если это возможно).

3.3. Основные свойства неопределенного интеграла

1. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

³Af x dx A³ f x dx .

2. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или

ескольких функций равен сумме неопределенных интегралов от слагаемых:

³>f x g x dx ³ f x dx ³g x dx

(верно для любого конечного числа слагаемых).

3.Если ³ f x dx

F x C , то

³ f x b dx

F x b C ;

³ f ax dx

1 F ax C ;

³ f ax b dx

1 F ax b C .

Примеры. Вычислить неопределенные интегралы:

x x 1

♣

∙

1. ³

♦

2 ÷

³xdx ³dx

♦ x

1 x

2 x

÷dx

♦

♥

≠

x 1

x 2

³x

2 dx ³x

2dx

x 2 x

C .

2 1 dx

2. ³

³xdx ³

C .

3. ³

x 5

C .

x 5

4. ³

1 tg3x C .

cos2 3x 3

5. ³sin(2x 1)dx

cos(2x 1) C.

3.4. Интегрирование с помощью замены переменной

Одним из самых распространенных методов интегрирования является метод замены переменной.

Пусть надо вычислить интеграл ³ f (x)dx , который не является

табличным.

Часто его можно упростить, введя вместо х новую переменную t, положив

x Μ(t)	χ
x Μ(t)	и dx Μ (t)dt .
	22

Предположим, что f (x) непрерывна на некотором промежутке оси Ох, а функции Μ(t) и Μχ(t) непрерывны на соответствующем промежутке изменения t. Тогда

³ f x dx

(3.1)

f >Μ t @Μ

t dt .

Функцию x Μ(t)

следует выбирать так,

чтобы можно было вычислить

неопределенный интеграл, стоящий в правой части равенства (2.1).

Однако чаще употребляют обратную замену x

t ; x dx dt , то

есть заменяют

ту функцию,

стоящую

под

интегралом,

дифференциал

(производную) от которой, мы видим стоящим под этим интегралом:

f χ x

χ f (x) t

³dt

c ln

f x

C .

f x

(x)dx dt

Примеры.

sin x

1. ³(sin x)

cosxdx

sin x

³t

cosxdx

2. ³ex sin ex dx

³sin tdt

cost c

cos ex C .

3. ³

2xe x

³et dt e x

2xdx

sin x

(sin x)

4. ³

sin x cosxdx

³t 2 dt

cos xdx

5. ³

xdx

x2 1

ln x2 1 C .

x2 1

2xdx

6. ³

xdx

4 t2

4 x4

xdx

4 t2

3.5. Формула интегрирования по частям

Пусть функции

u(x) и v

v(x) имеют непрерывные производные.

Тогда по правилу дифференцирования произведения имеем: d>uv

vdu udv .

Интегрировав обе части равенства по х, имеем

³d>uv

³vdu ³udv,

³udv

uv ³vdu.

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Формула сводит вычисление интеграла ³udv к вычислению интеграла ³vdu , который

может оказаться проще исходного.

С помощью интегрирования по частям вычисляются интегралы следующих видов.

а)	³	eaxP x dx,	P x sin xdx;		³	P x cos xdx .
		n	³ n			n	Pn x	умножается на		функцию,
Во		всех этих	интегралах	многочлен
интеграл от которой является табличным. В этом случае за									u(x)	выбирают
Pn x .		³ln xPn x dx , ³Pn x arcsin xdx; ³Pn x arctgxdx .
б)
Во всех этих интегралах многочлен							Pn x	умножается на функцию,
интеграла от которой в таблице нет. В этом случае за u(x)									выбирают ln x ,
arcsin x ,		arccosx , arctgx и т.д.

в) ³eax sin bxdx, ³eax cosbxdx.

Такого вида интегралы берутся по частям два раза.

Примеры. Вычислить неопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям.

1. xexdx	§ u		x;		du	dx·			xex	³	exdx xex ex C.
	¨		x				x	¸
³	¨	e		dx;	v	e		¸
	©dv							¹

³	§	u x;	du	dx ·
³	¨			¸
2. xcosxdx	¨	cosxdx;	v	¸
	©dv	cosxdx;	v	sin x¹

	2		x		§	x	2	2x 3;
3.³(x		2x 3)e		dx	¨u
					¨	dv		e	x	dx;
					©

(x2 2x 3)ex ³(2x 2)ex dx

xsin x ³sin xdx xsin x cosx C.

du (2x		·
du (2x		2)dx¸
v e	x	¸
v e		¹

Применим ко второму интегралу еще раз формулу интегрирования по частям

§u	2x 2;			du	2dx·			(x2 2x 3)ex (2x 2)ex
¨		x				x	¸
¨	e		dx;	v	e		¸
©dv							¹

2³exdx (x2 2x 3)ex (2x 2)ex 2ex C.

¨u

ln x, du

x5 ln xdx

ln x

C .

¨dv x5dx, v

6 ¹

5.³

¨u

arctgx,

xarctgxdx

xdx

/ 2

arctgx

1 1

1 x2

arctgx

)dx

arctgx

arctgx C.

1 x

§u

ex , du

exdx

6.³e

sin xdx

cosx

sin xdx, v cosx

©dv

§u

ex , du

exdx

³e

cosxdx

cosx e

sin x

³e

sin xdx.

cosx

©v

Получили интеграл равный данному. Обозначив его за J, получим

равенство

ex sin x cos x J. Перенеся J в левую часть равенства, имеем

2J ex sin x cos x .

ex sin x cosx

В результате ³ex sin xdx

C .

3.6. Рациональные дроби.

Простейшие рациональные дроби и их интегрирование

Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной

дроби, т.е. в виде отношения двух многочленов:

P x

a x a

x2 ... a

b x b x2

... b

Если степень числителя меньше степени знаменателя, то дробь правильная. В противном случае дробь называется неправильной. Неправильную дробь путем деления числителя на знаменатель всегда можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:

Pn x			N x	Pk	x	k m .
Q	m	x	N x	P	x	k m .
Q		x		P	x
				m
				25

Пример. Вычислить интеграл ³ x2x5 1 dx.

Решение. Подынтегральная функция представляет собой неправильную дробь. Разделив числитель на знаменатель, выделим целую

часть:	x5	x3 x	x	, Тогда
	x2 1		x2 1

ln x2

1 C.

dx ³¨x3

¸dx

Таким образом, интегрирование неправильной рациональной дроби всегда может быть сведено к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби. Интегрирование многочлена не представляет труда, поэтому рассмотрим интегрирование правильной рациональной дроби.

Определение. Правильные рациональные дроби вида

I.	A	;	II.	A	;	III.	Ax B	;	IV.	Ax B	;
	x a			x a k			x2 px q			x2 px q k
где A, B, p, q –			действительные числа, а трехчлен x2 px q не имеет

действительных корней, т.е. D = p2 4q 0 называются простейшими дробями

I, II, III и IV типов.

Проинтегрируем простейшие дроби I, II, III:

I. ³

dx A³d x a

Aln

x a

C .

x a

A x a k 1

II. ³

A³ x a k d x a

x a k

k 1 x a k 1

k 1

III.Рассмотрим интеграл I3

Ax B

dx .

px q

Выделим в числителе производную знаменателя

♣

p ∙

2x p

2♦ x

÷.

♥

≠

2x p B

A 2x p dx

♣

Ap ∙

♦ B

x2 px q

2 ³x2 px q

♥

≠³x2 px

♣

Ap ∙

px q

♦ B

÷³

♥

2 ≠

x2 px q

Рассмотрим отдельно второй интеграл ³

px q

R x

Выделим в знаменателе полный квадрат

p ·

d¨x

2 ¹

x2 px q

p2 ·

p ·

¨x 2

¨x

¨q

2 ¹

♣

∙

arctg

♦

; q

2 ÷

C. ♦ z

÷.

♥

≠

Окончательно получим:

♣

Ap ∙

C ,

px q

♦ B

arctg

♥

2 ≠

Пример. Вычислить неопределенный интеграл:

♣			p	2	∙
♦	2	q	p		÷
♦	2	q			÷
♦			4		÷
♥			4		≠

	x 3		1	2x 2 2	dx	1		2x 2 dx	2³	dx
³		dx ³	2				³
	x2 2x 2					2				x 1 2 1
			x2 2x 2					x2 2x 2

12 ln x2 2x 2 2arctg x 1 C.

IV. Интеграл от дроби этого типа выражается через сумму дробно – рациональных функций и арктангенс.

3.7. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей. Интегрирование правильных рациональных дробей

Пусть имеется правильная дробно-рациональная функция:

Pn x (3.2)

Qm x

(m>n) и знаменатель ее разложен на действительные множители:

Qm x am x x1 k x x2 l ... x2 p1x q1 s x2 p2 x q2 p ...

Тогда дробь (3.2) можно представить и притом единственным образом в

виде следующей суммы простейших дробей:
	Pn x	A1	A2		...	Ak	B1	B2			...	Bl
	Qm x	x x1	x x	2	...	x x k	x x2	x x	2	2	...	x x	2	l
			1			1			2				2

M1x N1

M 2 x N2

...

M S NS

x2 p1x q1

x2 p1x q1 2

x2 p1x q1

P1x Q1

P2 x Q2

PP QP

...

x2 p2 x q2

x2 p2 x q2 2

x2 p2 x q2

Здесь

A1, A2 ,...Ak ; B1, B2 ,..,Be ,...M1, N1, M2 , N2 и т.д.

некоторые

коэффициенты.

Число простейших дробей, соответствующих каждому множителю знаменателя, равно кратности соответствующего корня.

Пример. Вычислить интеграл³	x 2	dx .
	(x 2)2 (x 1)

Подынтегральная функция представляет собой рациональную дробь. Разложим ее на сумму простейших дробей:

x 2	A	B	C	.
x 2 2 x 1	x 2 2	x 2	x 1

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители.

A x 1 B x 2 x 1 C x 2 2

x 2 2

x 2

x 1

x 2 2 x 1

Bx2

2Bx

4Cx

x 2 2 x 1

B C x2 A B 4C x A 2B 4C x 2.

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые степени и коэффициенты при одинаковых степенях равны. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, имеем

x2 x1 x0

B C 0

C B

4 .

A B 4C 1

A 3B 1

; 9B 1;

;

; 3A 4; A

A 2B 4C

A 6B 2

Подставим найденные коэффициенты в разложение

x 2	4 1	1 1	1 1	.

x-2 2 x 1	3 x 2 2	9 x 2	9 x 1

Окончательно получим:

x 2

x-2 2 x

x 2 2

x 1

x 2 9

4 1

x 2

x 1

3 x 2

Пример. Вычислить интеграл³(x 1)(x 1) (x2 1) . Разложим дробь на простейшие

											1											A				B				Cx D
						x 1 x 1 x2 1
						x 1 x 1 x2 1															x 1					x 1					x2 1
								A x 1 x2 1 B x 1 x2 1 Cx D x2 1
																			x2 1 x							2 1														.
			Приравняем числители:																																					.
			Приравняем числители:
A x3 x2 x 1 B x3 x2 x 1 C x3 x D x2 1 1.
x3		A B C 0							4A 1 A							1		,
																1
																4
x	2	A B D					°					1
x		A B D			0°				B			1	; C			0,
		A B C			0
x1												4
x1							°					4
		A B D 1					°					1
x0									D				.
x0									D			2	.
												2
												1					1			1				1		1			1			1		.
											x4 1						4 x					1		4 x 1										.
			В результате								x4 1						4 x					1		4 x 1					2 x2 1
			В результате																																		x 1
	³		1	dx	1		³		1		dx			1	³			1				dx			1	³		1					dx	1							1	arctgx C.
			1		1				1					1				1							1			1						1	ln						1
			x4 1		4				x 1									x 1									x2							4	ln	x 1
			x4 1		4				x 1				4					x 1					2				x2				1			4		x 1			2
									3.8. Интегрирование некоторых классов
										тригонометрических функций
			I.Универсальная тригонометрическая подстановка
			Пусть надо вычислить интеграл от тригонометрической функции,
рациональной относительно sin x и cosx :
																³R cos x,sin x dx .																					x
			С	помощью									замены											переменной											tg		x	t (универсальная
			С	помощью									замены											переменной											tg		2	t (универсальная
																																					2

тригонометрическая подстановка) вычисление данного интеграла сводится к вычислению интеграла от дробно – рациональной функции относительно t, при этом функции sin x , cosx и dx выражаются через t и dt:

2tg

1 tg

1 t2

2dt

sin x

cos x

;

1 t2 ; x

2arctgt; dx

2 x

1 t 2

1 tg

1 t2

1 tg

Примеры.

2dt

sin x

t 2

♣

∙

♦tg

2dt

♦

3sin x 2cosx 2

♦

2dt

♠3

2≡

♦dx

1 t 2

♥

1 t

≠

↔

t 2

≈

↔ 1

≈

←

…

2dt

3t 2

3tg

6t 2 2t 2 2 2t2

6t 4

3t 2

Однако пользоваться универсальной тригонометрической подстановкой не всегда целесообразно, так как часто она приводит к громоздким выкладкам. Поэтому в некоторых частных случаях используют другие подстановки.

II. Частные случаи интегрирования тригонометрических выражений.

Если интеграл

имеет вид≥ R sin x cos xdx ,

то

подстановка

sin x

t ;

cosxdx

dt приводит этот интеграл к виду ≥ R t dt.

Если интеграл имеет вид³R cosx sin xdx ,

то подстановка

c o xs

t ,

sin xdx

dt приводит интеграл к интегралу от рациональной функции.

Пример.

sin xcosxdx

♣cosx t

∙

tdt

♦

2cos2 t 1

♦

2t2 1

♥sin xdx

dt ≠

4tdt

2t 2 1

2cos2 x 1

C .

2t 2 1

Если подынтегральная функция зависит только от tgx , то замена

tgx t ,

x arctgt,

приводит интеграл к интегралу от рациональной

функции.

4) Если интеграл имеет вид³R(sin x,cosx)dx , но sinx и cosx входят только

в четных степенях, то применяется подстановка tgx = t,

dt ,так как

cos2 x

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]