Лекции по общим теоремам динамики механических систем. Учебное пособие
.pdf
Решение. Механическая система состоит из двух тел – диска и стержня. Поэтому T = T1 + T2 . Кинетическую энергию диска
T |
вычислим по формуле Кенига (4.5) T = m v 2 / 2 + J |
0 |
ω2 / 2 . |
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
||
|
|
Условие |
|
отсутствия проскальзывания |
дает соотношение |
||||||||||||||
v |
0 |
= ωR . Для однородного диска J |
0 |
= m R 2 |
/ 2 . Следовательно, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
T = 3m R 2 / 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стержень АВ совершает мгновенное вращение вокруг точки |
|||||||||||||||||
P (рис. 4.2), являющейся его МЦС. Поэтому кинетическая энер- |
|||||||||||||||||||
гия |
стержня |
|
Т2 |
может быть вычислена по формуле (4.3): |
|||||||||||||||
T2 = J pω2 / 2. |
По |
формуле |
Гюйгенса |
J p |
= Jc + m2 PC2 , где С – |
||||||||||||||
центр |
масс |
стержня. |
Для |
|
|
однородного |
|
стержня |
|||||||||||
BC = AC = R |
|
|
|
|
|
= m (R |
|
)2 |
/12 = m R2 / 6. Так как точка |
||||||||||
2 / 2 |
и J |
c |
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
D является МЦС диска, то vВ направлено перпендикулярно BD и
так как АВ = BD, то АВ перпендикулярно РВ и PB = R |
|
|
||||||||||
2. Следо- |
||||||||||||
вательно, |
из |
|
прямоугольного |
треугольника |
|
РВС, |
||||||
PC2 |
= BC2 + PB2 = 5R2 / 2. Тогда |
J p = m2 R2 / 6 + m2 ×5R2 / 2 = |
||||||||||
= 8m R2 |
/ 3, |
ω |
AB |
= v |
B |
/ PB = ω × BD / PB = ω = v |
0 |
/ R. |
|
Значит, |
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
T = 4m v2 / 3. |
Следовательно, T = (3m / 4 + 4m / 3)v2 . |
|
|
|||||||||
2 |
2 |
0 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
0 |
|
|
4.2. Работа силы
Перейдем теперь к понятию работы сил, с помощью которой мы получим теорему об изменении кинетической энергии. Сначала вспомним, что в школьном курсе физики понятие работы силы уже определялось, только для случая постоянной по модулю и по направлению силы F, приложенной к точке М, движу-
щейся прямолинейно. А именно, если точка за время |
t |
= t2 − t1 |
переместилась на расстояние M 2 M 1 = s , то работа |
A12 |
силы F |
на этом перемещении определялась формулой |
|
|
A12 = Fs cosα , |
|
(4.6) |
где α – угол между вектором силы F и перемещением точки
(рис. 4.3).
81
Конечно, равенство (8.6) можно записать в виде скалярного произведения
A12 = F × s ,
где s – вектор перемещения точки.
|
|
F |
|
M |
α |
M1 |
S |
M |
|
2 |
Рис. 4.3
(4.7)
M2
v α
M
F
M1 
Рис. 4.4
Перейдем теперь к общему определению работы, когда сила F может изменяться по величине и по направлению, а точка М приложения силы перемещается за время Dt = t2 - t1 по любой криволинейной траектории (рис. 4.4). Разобьем отрезок кривой M 2 M 1 на n произвольных, но малых участков, обозначив длину участка с номером k через Dsk . Заменяя теперь каждый малый
участок прямолинейным отрезком и считая, что при перемещении по этому отрезку сила остается постоянной по величине и по направлению, получим, что работа на k-м участке, согласно (4.6), будет приблизительно равна Fk Dsk cosαk (см. рис. 4.4), а на всем
пути от M 1 до M 2 – сумме работ на отдельных участках
A12 » ∑Fk Dsk cosαk |
= ∑F × Dsk . |
k |
k |
Точное значение работы получим, переходя к пределу, когда число участков неограниченно возрастает, а длина каждого из них неограниченно убывает. Такой предел выражается криволинейным интегралом
82
A12 = ∫ F(s) × ds = ∫ (Fx dx + Fy dy + Fz )dz =
M1M 2 |
M1M 2 |
(4.8) |
|
= ∫ |
F (s) cosα (s)ds = ∫ Fτ (s)ds, |
||
|
|||
M1M2 |
M1M2 |
|
где Fτ – проекция силы F на направление перемещения точки М, а интегрирование ведется вдоль траектории точки М. Величина
δA = F(s) × ds = F (s) cosα (s)ds = Fτ (s)ds |
(4.9) |
выражает работу силы на элементарном перемещении ds и называется элементарной работой. Формула (4.8) тогда означает,
что работа силы на перемещении равна интегралу от элементарной работы, взятому вдоль этого перемещения.
Единицей измерения работы является 1 джоуль (1 Н·м). Если сила F задана как функция положения точки, т.е.
F = F(x, y, z) , то в соответствии с (4.8)
x2 |
y2 |
z2 |
|
A12 = ∫ Fx dx + ∫ Fy dy + ∫ Fz dz , |
(4.10) |
||
x1 |
y1 |
z1 |
|
где ( x1 , y1 , z1 ) и ( x2 , y2 , z2 ) – |
координаты точки М в моменты вре- |
||
мени t1 и t2. |
|
|
|
При естественном задании движения точки работа силы на |
|||
конечном перемещении точки из положения s1 |
в положение s2 , |
||
согласно (4.8), выразится формулой |
|
||
s2 |
|
s2 |
|
A12 = ∫ F (s) cosα (s)ds =∫ Fτ (s)ds. |
(4.11) |
||
s1 |
|
s1 |
|
Если известен график функции Fτ (s), s Î[s1 , s2 ] , то, соглас-
но геометрическому смыслу интеграла, работа A12 численно равна площади криволинейной трапеции, изображенной на рис. 4.5.
83
Fτ
A12
s1 |
s2 |
s |
Рис. 4.5
Если сила F известна как функция времени, то формулу (4.8) удобно преобразовать, используя равенство ds = vdt , к виду
t2 |
|
|
|
|
|
A12 = ∫F(t) × v(t)dt. |
|
|
|
|
(4.12) |
t1 |
|
|
|
|
|
В этой формуле величина |
|
|
|
|
|
N (t) = F(t) × v(t) = F (s)v(s) = F (s) |
ds |
= |
dA |
(4.13) |
|
|
|
||||
τ |
τ |
dt dt |
|
||
|
|
|
|||
характеризует работу силы, совершенную в единицу времени, и называется мощностью силы. Мощность силы измеряется в ваттах (джоуль/сек). Из равенства N = Fτ v видно, например, что у
двигателя, имеющего данную мощность N, сила тяги тем больше, чем меньше скорость. Поэтому на подъеме или на плохом участке дороги у автомобиля включают низшие передачи, позволяющие при полной мощности двигателя с меньшей скоростью развивать большую тягу.
Согласно формуле (4.12) работа силы за время t = t2 − t1 равна
|
t2 |
|
A12 |
= ∫ N (t)dt. |
(4.14) |
|
t1 |
|
Если мощность постоянная N (t) = N , то |
|
|
A12 |
= N × (t2 - t1 ), |
(4.15) |
84
т.е. работу можно измерять произведением мощности на время. Отсюда возникла употребительная в технике единица измерения киловатт-час (1 кВт/ч = 3,6·106 Дж).
Перейдем теперь к примерам вычисления работы сил, при-
ложенных к механической системе. |
|
||
1. Работа силы тяжести. |
На каждую точку M k |
системы |
|
действует сила тяжести |
mk g , |
элементарная работа |
которой |
δAk = mk gdsk , где dsk – |
элементарное перемещение точки M k . |
||
Так как вектор g направлен вертикально вниз, то его проекции на оси x, y, z , соответственно, будут равны g = (0,0,−g) (если ось z направлена вертикально вверх). Поэтому δAk = −mk gdz k .
Найдем теперь сумму элементарных работ всех сил тяжести, приложенных к системе
δ A = ∑δ Ak = −g ∑mk dzk = −gd (∑mk zk ) = −gd (MzC ) = −gMdzC ,
|
|
k |
k |
k |
|
где |
М – |
масса всей системы, а zC – аппликата ее центра тяжести. |
|||
|
Следовательно, |
полная работа сил тяжести |
за время |
||
t |
= t2 |
− t1 |
определится равенством |
|
|
|
|
|
|
zC 2 |
|
|
|
|
A12 = −Mg ∫ dzC = −Mg(zC 2 − zC1 ) = −MghC . |
(4.16) |
|
|
|
|
|
zC1 |
|
|
Работа силы тяжести механической системы равна ее весу |
||||
Mg , умноженному на вертикальное перемещение hC |
ее центра |
||||
тяжести (при этом работа положительная, если ее центр тяже-
сти опускается, hC |
< 0 и отрицательная – |
С2 |
||
если поднимается, |
hC > 0 ). |
|||
|
|
|||
|
|
|||
Задача 16. Оконную штору массы 1 кг |
|
|
||
и длины 2 м свертывают в тонкий валик над |
|
м |
||
окном (рис. 4.6). Считая штору гибкой и |
С1 |
2 |
||
|
||||
пренебрегая трением, определить затрачи- |
|
|
||
ваемую при этом работу. |
Рис. 4.6 |
|||
|
|
|||
85
Решение. По условиям задачи затрачиваемая работа при свертывании шторы равна работе по преодолению силы тяжести шторы. Так как ее центр тяжести поднимается из положения C1 в
положение C2 (см. рис. 4.6), т.е. на один метр, то, согласно фор-
муле (4.16), работа A12 = −MghC ≈ −9,8 Дж. Таким образом, рабо-
та, затраченная на поднятие шторы, равна ≈ 9,8 Дж.
2. Работа силы упругости. Вычислим работу силы упругости пружины АВ жесткости c при перемещении груза В из положения B1 , l = l1 в положение B2 , l = l2 . Так как сила упругости
F = cλ , где λ = l − l0 – |
деформация пружины, то согласно фор- |
муле (4.8) |
|
l2 |
l2 |
A12 = ∫cλcos180 dl = −∫c(l −l0 )dl = c(λ12 − λ22 ) / 2. (4.17) |
|
l1 |
l1 |
Работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начального и конечного удлинений пружины.
3. Работа силы трения скольжения. Так как сила трения Ff
при скольжении тела всегда направлена против его движения, то Ff ds = −Ff ds и, согласно формуле (4.8), получаем
s2 |
s2 |
|
A12 = −∫Ff |
ds = − f ∫N (s)ds. |
(4.18) |
s1 |
s1 |
|
Если нормальная реакция N (s) = N численно постоянная (например, при движении тела по горизонтальной поверхности
N = mg = const ), то
A12 = − fN (s2 − s1 ). |
(4.19) |
Работа силы трения всегда отрицательная и зависит от длины |
|
дуги M 1 M 2 и тем самым от формы траектории, по которой тело |
|
(точка) пришла из положения M 1 в положение M 2 |
(рис. 4.7). |
86
N |
M2 |
Ff |
ds |
|
|
M1 |
M |
|
|
|
Рис. 4.7 |
Заметим, что работа силы тяжести и силы упругости (см. формулы (4.16) и (4.18)) полностью определялись начальным и конечным положениями механической системы и не зависели от пути перехода системы из начального в конечное положение. На это обстоятельство мы обратим особое внимание в п. 4.5.
4. Работа сил, приложенных к твердому телу. Прежде всего, заметим, что для твердого тела сумма работ всех его внут-
ренних сил равна нулю. Действительно, для любых двух его точек M1 и M2, согласно третьему закону Ньютона, F1 = −F2 (рис. 4.8). Причем ds1 cosα1 = ds2 cosα2 , так как для твердого тела проекции скоростей двух его точек на прямую, их соединяющую, равны
v1 cosα1 = v2 cosα2 , и при этом ds1 = v1dt, |
ds2 = v2 dt . Следова- |
тельно, δ A1 + δ A2 = F1ds1 cosα1 + F2 ds2 cosα2 |
= 0 . Так как все внут- |
ренние силы входят попарно, то отсюда и следует сформулированное выше свойство.
|
M2 |
ds1 α1 |
α2 |
F2 ds2 |
M1 
F1
Рис. 4.8
Отметим, что аналогично можно показать, что работа внутренних сил абсолютно гибкой и нерастяжимой нити также равна нулю (докажите это самостоятельно).
87
Разберемся теперь с работой внешних сил F1e , F2e ,..., Fne , дей-
ствующих на твердое тело (рис. 4.9). Если твердое тело движется
поступательно, то |
перемещения |
всех |
его точек |
одинаковы |
|
ds1 = ds 2 = ... = ds n |
и элементарная работа всех внешних сил |
||||
равна |
|
|
|
|
|
δ Ae = ∑δ Ake = ∑Fke dsk |
= (∑Fke )ds = Re ds. |
(4.19) |
|||
k |
|
k |
k |
|
|
|
Fe |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
e |
ds1 |
F2e |
ds2 |
|
|
Fn |
dsn |
|
|
|
Рис. 4.9
Равенство (4.19) показывает, что при поступательном дви-
жении твердого тела сумма работ всех действующих на него внешних сил равна работе главного вектора этих сил.
При вращательном движении тела вокруг неподвижной оси z
(рис. 4.10)
δ Ae = ∑δ Ake = ∑Fke × drk = ∑Fke × vk dt = ∑Fke × (ω´ rk )dt = k k k
= ∑(rk ´ Fke ) ×ωdt = Me0 ×ωdt
k
(мы воспользовались свойством смешанного произведения трех векторов a × (b ´ c) = -a × (c ´ b) = -(a ´ c) ×b = (c ´ a) ×b ). Сле-
довательно, при вращательном движении
δ Ae = M0e × ωdt = M zeωdt = M ze dϕ, |
(4.20) |
где M ze = ∑M z (Fke ). k
88
vk
Mk
rk
ω 
O
Рис. 4.10
То есть элементарная работа внешних сил при вращательном движении твердого тела равна произведению главного момента внешних сил относительно оси вращения на приращение угла поворота.
Если угол поворота твердого тела меняется от ϕ1 до ϕ 2 , то
сумма работ внешних сил будет равна
ϕ2
A12e = ∫ M ze (ϕ)dϕ. |
|
|
|
|
(4.21) |
|
ϕ1 |
|
|
|
|
|
|
В частности, если M e = const , то |
Ae |
= M e (ϕ |
2 |
− ϕ |
1 |
) . |
z |
12 |
z |
|
|
||
Теперь рассмотрим произвольное движение твердого тела. Как мы знаем из кинематики, его можно представить как сумму поступательного движения вместе с полюсом О и вращательного движения вокруг оси вращения, проходящей через этот полюс О (рис. 4.11). Тогда сумма элементарных работ внешних сил на поступательном перемещении определится по формуле (4.19) как
элементарная работа главного вектора внешних сил Re , приложенного в полюсе О. А сумма элементарных работ всех сил на перемещении при повороте вокруг мгновенной оси Ω определится по формуле (4.20) как произведение главного момента
89
внешних сил M e |
относительно этой оси на угол поворота dϕ |
||
Ω |
|
|
|
вокруг нее. Следовательно, |
|
|
|
|
δ Ae = Re dr + M e dϕ. |
(4.22) |
|
|
0 |
Ω |
|
Ω
MeΩ Re
O 
dr0
Рис. 4.11
Элементарная работа внешних сил, приложенных к твердому телу, равна сумме элементарных их работ главного вектора на перемещении точки его приложения – полюса, и главного момента этих сил относительно мгновенной оси вращения, проходящей через этот полюс, на приращении угла поворота.
Для того чтобы осмыслить формулу (4.21), вспомним основную теорему статики о приведении системы сил к заданному центру О. Согласно этой теореме любую систему сил
( Fe , Fe ,..., Fe ), действующую на твердое тело можно привести к |
|||
1 2 |
n |
|
|
главному |
вектору |
Re = ∑Fke |
и главному моменту |
|
|
k |
|
Me0 = ∑M0 (Fke ). Полученный же нами результат (4.22) означает,
k
что все равно, как считать сумму работ всех внешних сил: либо сначала посчитать работы всех сил и сложить их, либо, наоборот, сначала сложить все силы (точнее, привести их к центру), а затем посчитать работу их главного вектора и их главного момента.
В частности, если система сил имеет равнодействующую, то
работа равнодействующей равна сумме работ составляющих ее сил.
90