Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Кратные интегралы. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

984 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

: − 2 ≤ ≤ 1; −3 ≤ ≤ 2; 1 ≤ ≤ 3;

. . = 2; ≥ 0; 2 = 2 ; =											7	2 + 2 ; −?
. . = 2; ≥ 0; 2 = 2 ; =												2 + 2 ; −?
									8
. . : = 2 + 2; = 3;										.
									Variant 20
	1	3					2			2−
. . ∫ ∫ ( ; ) + ∫ ∫ ( ; ) ;
	0	0					1		0
. .	( − 2 ) ; : = 2 − 1; ≥ 0; ≤ 0;
				0
	3			0
. .	∫			∫				;

						2 + 2
	−3	−√9− 2
. .	5 2 ;							: − 2 ≤ ≤ 3; 2 ≤ ≤ 5; −1 ≤ ≤ 2;

. . : = 4 − 2; = 2 − 2 ; ( )−?

. . : = 2√ 2 + 2;							= 2; .
									Variant 21
	1	4
. .	∫ ∫ ( ; ) ;
	−2	2
. .	(2 + ) ;						: = 1 − 2; ≥ 0;

	2	√4− 2

. .	∫		∫		cos √ 2		+ 2 ;
	0	0

. . ( − 2 ) ;

: − 2 ≤ ≤ 1; −3 ≤ ≤ 2; 1 ≤ ≤ 5;

. . : + = 6; = √3 ; = 0; = 4 ; −?

. . : = 2 + 2;	= 2;	.
	Variant 22
1		1

. . ∫ ∫ ( ; ) + ∫ ∫ ( ; ) ;

0 0 1

. .	(1 − ) ; = 3;					= ;

	2	√4− 2

. . ∫ ∫					;
. . ∫ ∫				1 − 2 − 2	;
	0	0
. . (2 2			+ − ) ;

	:	1 ≤ ≤ 3; −2 ≤ ≤ 4; −1 ≤ ≤ 5;

. . : = 1; ≥ 0; 2 = 4 ; = + 3 2; −?

. . : 2		= 2 + 2;		= 3; .
				Variant 23
	1
. . ∫ ∫ ( ; ) ;
	0	−√

. .	∙ 3 ;			: = 1 − 2; ≥ 0;

	5	0
. . ∫			∫ (1 + 2 + 2) ;
	0
		−√25− 2

. . (2 − 3 2 + ) ;

2 ≤ ≤ 3; −2 ≤ ≤ 3; −1 ≤ ≤ 1;

. . : 2 − 4 + 2 = 0; 2 − 6 + 2 = 0; = 0;

= √3; ( )−?

. . : = 2 + 2;

= 3;

Variant 24

2−

. . ∫ ∫ ( ; ) + ∫ ∫ ( ; ) ;

. .

( + 3) ; : = + 3; = −3 − ;

≤ 0;

√1− 2

cos(1 + √ 2 + 2)

. .

∫ ∫

;

−1

√ 2 + 2

. .

;

: = ; = 2; = 0; = ;

= 0;

. . : 2 + 2 = 4;

+ 2 = 16; ≥ 0; ≥ 0;

2 − 3= 2 + 2 ; −?

. . : 2 = 2 + 2; 2 + 2 = 1; = 0; .

					Variant 25
	1	2−2
. . ∫ ∫ ( ; ) ;
	0	1−
. .	( − ) ;			: = 2 − 1;			= 3;

	0	0
	0	0	cos √ 2		+ 2
			cos √ 2		+ 2
. .	∫ ∫					;
. .	∫ ∫					;
	−4		√ 2 + 2
	−4	−√16− 2

. . ( − 4 3) ;

: 2 ≤ ≤ 3; −2 ≤ ≤ 4; −1 ≤ ≤ 2;

. . : 2 = 1; ≥ 0; 2 = 2 ; = 4 + 9 2; −?

. . : = 2 + 2;				2	+ 2 = 1; = 0;				.
						Variant 26
	1	0			2		0
. . ∫ ∫ ( ; ) + ∫							∫ ( ; ) ;
	0				1
	0	−√			1		−√2−
. .	( + 1) ∙ ;				: = 3 2;			= 3;

	3	√9− 2
. .	∫ ∫							;


	−3		√ 2 + 2 √ 2 + 2
	−3	−√9− 2

. . (2 + 3 2) ;

: − 3 ≤ ≤ 1; 2 ≤ ≤ 4; −2 ≤ ≤ 3;. . : = 2 + 2; = 2; = 1; = 0; −?. . : = 2 + 2; = 3; .

Variant 27

0 2 +1

. . ∫ ∫ ( ; ) ;

−1 −2−

. . ∙ 2 ; : = ; = 0; = 1;

	1	0

. .	∫		∫		;
. .	∫		∫		;
	−1			√ 2 + 2 cos √ 2 + 2
	−1	−√1− 2

. . (3 + 4 ) ;

: = ; = 0; = 1; = 0; = 5( 2 + 2);. . : 2 + 2 = 4 ; 2 = 4 − ; −?

. . : 2 = 2 + 2; 2 + 2 = 1; = 0; .

		Variant 28

1	√	2 √2−

. . ∫ ∫ ( ; ) + ∫ ∫ ( ; ) ;

0 0 1 0

. . (3 2 + ) ; : + = 1; + = 2;= 0; = 1;


	0	√9− 2

. .	∫		∫			;
. .	∫		∫			;
	−3	0		√ 2	+ 2 √ 2 + 2
	−3	0

. . ( 2 + 2 ) ;

: − 1 ≤ ≤ 3; 2 ≤ ≤ 5; 3 ≤ ≤ 4;

. . : 2 + 2 = 4; + = 2; = 0; −?

. . : 2		= 2 + 2;	= 3;	.
			Variant 29
	1	4
. .	∫ ∫ ( ; ) ;
	−2	2

. .	3 ;			: = 3;		= 4 ;	≥ 0;

	2	√4− 2
. .	∫ ∫				;

			2 + 2
	−2	0

. . (3 2 + 2) ;

: = 10 ; = 0; = 1; = ; = 0;

− 4. . : 2 + 2 = 4; 2 + 2 = 9; ≥ 0; ≥ 0; = 2 + 2 ; −?

. . : = 1 − 2 − 2; = 0; .

Variant 30

2−

√

. . ∫ ∫ ( ; ) + ∫ ∫ ( ; ) ;

. .

( + 2 ) ; : + = 1;

= 2 − 1;

≥ 0;

√4− 2

. .

∫ ∫

;

2 + 2

−2

−√4− 2

. . (3 2 − 2 ) ;

: − 2 ≤ ≤ 4; 2 ≤ ≤ 3; −3 ≤ ≤ −2;

. . : 2

− 2 + 2 = 0; 2

− 8 + 2 = 0; = √3;

= ⁄√3;

( )−?

. . = 4 − 2 − 2; = 0;

REFERENCES

1.Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д. Т. Письменный. – 9-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2009. – 608 с.: ил. – (высшее образование).

2.Рябушко, А. П. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: Учеб. пособие. В 3 ч. Ч.3 / А. П. Рябушко, В. В. Бархатов, В. В. Державец, И. Е. Юруть; Под общ. ред. А. П.

Рябушко. – Мн.: Выш. шк., 1991. – 288 с.: ил.

3.Демидович, Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб. пособие для вузов / Б. П. Демидович. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО

«Издательство АСТ», 2005. – 558, [2] c.: ил.

4.Гавдзинский, В. Н. Integral over Figure: учебное пособие / В.Н. Гавдзинский, Л. Н. Коробова. – Одесса, 2014. – 57 с.: ил.

5.Дюкарева В.И. Кратные и криволинейные интегралы: методические указания к выполнению расчетно-графического задания для студентов направлений бакалавриата всех специальностей/ В.И. Дюкарева, Э.И. Малышева, Е.В. Селиванова.–Белгород: Изд-во БГТУ, 2015.–41 с. Режим доступа: https://elib.bstu.ru/Reader/Book/20150603161129520000 00655409

6.Феоктистов Ю.А. Математика: практикум: учеб.пособие / Ю.А. Феоктистов. - Белгород: Изд-во БГТУ, 2017. – 86 с.

CONTENTS

Introduction……………………………………………………...……. 3

1.The Double Integral….……………….………………………….. 4

1.1.The Basic Concepts and Definitions …………………………….. 4

1.2.The Geometrical Meaning of the Double Integral..…………….... 6

1.3.	The Physical Meaning of the Double Integral……………………	7
1.4.	The Main Properties of the Double Integral………………………	8

1.5.The Calculation of the Double Integral in the Cartesian

Coordinates……………………………………………………….. 9

1.6.The Calculation of the Double Integral in the Polar Coordinates... 15

1.7.The Applications of the Double Integral…………………………. 18

2.The Triple Integral……………………………………………….. 28

2.1.The Basic Concepts and Definitions……………………………... 28

2.2.The Calculation of the Triple Integral in the Cartesian

Coordinates…………………………….......................................... 30

2.3.The Calculation of the Triple Integral in the Cylindrical

Coordinates and in the Spherical Coordinates……………………	32
2.4. The Applications of the Triple Integral…………………………...	36
3. The Individual Tasks……………….....…....……………..............	40
References……………………………………….........……………......	57

Учебное издание

Дюкарева Валерия Игоревна Дуганова Оксана Сергеевна Некрасова Юлия Сергеевна Рябцева Светлана Васильевна

Кратные интегралы

Учебное пособие

На английском языке

Подписаноintoпечать 16.04.18 Formsат 60x84/16. Усл. печ. л. 7,2. Уч.-изд. л. 7,8 Тираж 100 экз. Заказ № Цена

ОтпечатаноintoБелгородском государственном технологическом университете им. В.Г. Шухова

308012, г. Белгород, ул. Костюкова, 46

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]