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Башкирский Государственный Аграрный Университет

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[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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Кратные интегралы. Учебное пособие

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√3

√3− 2

sin √ 2

+ 2

. .

∫ ∫

;

√ 2 + 2

−√3

. .

(2 2 − ) ;

: − 1 ≤ ≤ 2; 3 ≤ ≤ 4; −2 ≤ ≤ 5;

. . = 2; ≥ 0; ≥ 0; + = 2; −?

. . : = 3 − 2 − 2;

= 0;

Variant 2

cos

. .

∫ ∫ ( ; ) + ∫ ∫ ( ; ) ;

−2

−1

. . ( + + 3) ; : + = 2; = 0; = 0;

2 √4− 2


. .	∫	∫ √4 − 2 − 2 ∙ ;

−2 −√4− 2

. . ( 2 − ) ;

: − 1 ≤ ≤ 0; 1 ≤ ≤ 2; −1 ≤ ≤ 1;. . : = 2 − 2; + = 0; ( )−?

. . : = 3( 2 + 2); = 3; .

Variant 3

1 2

. . ∫ ∫ ( ; ) ;

0 3

. .	;			: = ln ;	= 0;	= 2;


	0	√2− 2
. .	∫		∫		;


		0		√1 + 2 + 2
	−√2	0
. .	(3 + 2) ;

: 2 ≤ ≤ 4; −1 ≤ ≤ 2; −1 ≤ ≤ 3 ;. . : 2 = 4 ; + = 3; ≥ 0; ( )−?. . : 2 = 2 + 2; 2 + 2 = 4; = 0; .

			Variant 4

	√		√2−
1	√	2	√2−

. . ∫ ∫ ( ; ) + ∫ ∫								( ; ) ;
	0	0			1		0
. .	∙ 2 ;				: = 2;		= 2 ;


	2	√4− 2		∙
. . ∫ ∫				∙		;
. . ∫ ∫						;
	0	0	√ 2		+ 2
	0	0

. . (2 − + 3 ) ;

: − 2 ≤ ≤ 1; 2 ≤ ≤ 4; 1 ≤ ≤ 3;. . : = 1; ≥ 0; 2 = 4 ; = 6 + 3 2; −?. . : 2 = 2 + 2; 2 + 2 = 4; ≥ 0;

Variant 5

. . ∫ ∫ ( ; ) ;

1 0

. .	( + ) ;				: = 2;		= ;

	1	√1− 2

. .	∫		∫			;
. .	∫		∫			;
	0	0		1 + √ 2 + 2
	0	0
. .	(2 − 2) ;

	: 1 ≤ ≤ 2; −2 ≤ ≤ −1;						2 ≤ ≤ 3;

. . : = √ ; = 2√ ; + = 4; = 0; −?

. . : = 2√ 2 + 2;

= 2;

Variant 6

√2+

√

−1

−

. .

∫ ∫ ( ; ) + ∫ ∫ ( ; ) ;

−2

−1

. .

∙ ;

: = 2 − ; = ;

≥ 0;


	2		√4− 2
. .	∫ ∫				cos( 2 + 2) ;
	−2
	−2	−√4− 2
. .	(3 − 2) ;

	: − 2 ≤ ≤ 2; −1 ≤ ≤ 3 ; 2 ≤ ≤ 3 ;
. . : = 2; 2 = 2; ≥ 0; =							7	2	+	; −?
. . : = 2; 2 = 2; ≥ 0; =								2	+	; −?
				4					2
. . : = 3( 2 + 2); = 3; .
						Variant 7
	1	3
. . ∫ ∫ ( ; ) ;
	0	2
. .	2 (1 + 2 ) ; : = 2 − 2; = 0;

	0	√1− 2

. .	∫ ∫			√1 + 2 + 2 ;
	−1	0
. .	2 ∙ 2			∙ ;

: − 1 ≤ ≤ 2; 1 ≤ ≤ 3; 2 ≤ ≤ 4;. . : = 2 + 4 ; = 4 + ; ( )−?

. . : = 3( 2 + 2); = 3; .

				Variant 8
1	0			−
. . ∫ ∫ ( ; ) + ∫ ∫ ( ; ) ;
0	−√		1	−1
0	−√		1	−1
	2
. .		;	: = ;	= 1; = 2;
. .	2	;	: = ;	= 1; = 2;

3	√9− 2

. . ∫ ∫ √9 − 2 − 2 ;
0	0
. . ( + 2 − 3 ) ;

: 1 ≤ ≤ 3; −1 ≤ ≤ 1; 2 ≤ ≤ 5 ;

. . : = 2; ≥ 0; 2 2 = ; = 4 + 9 2; −?

. . : = 9 − 2

− 2; = 0;

Variant 9

2 −3

. . ∫

∫ ( ; ) ;

2 −3

. .

;

: = √ ;

= 0;

+ = 2;

√9− 2

sin √ 2 + 2

. .

∫ ∫

;

−3

√ 2 + 2

. .

(3 − 3) ;

: − 2 ≤ ≤ 2; −1 ≤ ≤ 0; 2 ≤ ≤ 3;

. . : 2

= 4 − ; = 2 + ; = 2; = −2; −?

. . : = 4 − 2 − 2;						= 0;		.
							Variant 10
	1	1						1
. . ∫ ∫ ( ; ) + ∫ ∫ ( ; ) ;
	0	1− 2				1
. .	2 ∙ ; : = 2 3; = 0; = 1;

	2	√4− 2

. . ∫ ∫ √ 2 + 2 ;
	0	0
. . ( + 2 − 2 ) ;

	: − 2 ≤ ≤ 1; 2 ≤ ≤ 3 ; −3 ≤ ≤ 2 ;
. . : =			1	; ≥ 0; 2		= 8 ; = 7 + 3 2; −?
. . : =		2		; ≥ 0; 2		= 8 ; = 7 + 3 2; −?
		2
. . : 2			= 2 + 2; = 4; .
							Variant 11
	1	2−
. . ∫ ∫ ( ; ) ;
	0	2
. .	( 2 + 2) ;					: = 2; = 1;
		0
	2	0
. .	∫				∫ sin( 2	+ 2) ;
	0
	0	−√4− 2

. . (2 − 2 − ) ;

: 1 ≤ ≤ 5; −1 ≤ ≤ 2 ; −1 ≤ ≤ 3;

. . : = √ ; = 2 ; = 3; = 0; = 0; −?

. . : = 4√ 2 + 2; = 2; .

		Variant 12
	3		2−
1		2
	√

. . ∫ ∫ ( ; ) + ∫ ∫ ( ; ) ;

	0	0		1	0
. .	∙ ;			: = 3;	= 0;	≤ 2;

	2	√4− 2

. .	∫		∫ cos √ 2 + 2;
	0	0

. . 2 2 ; : − 2 ≤ ≤ 1; −1 ≤ ≤ 2; 1 ≤ ≤ 3;

. . : = 1; ≥ 0; = 2; = 3 + 2; −?. . : = 1 − 2 − 2; = 0; .

Variant 13

1−

. . ∫

∫ ( ; ) ;

−√1− 2

. .

( + ) ;

: = 3;

= 8; = 0;

= 3;

√9− 2

. .

∫ ∫

;

−3

√1 + 2 + 2

. . (3 + 2 − 2) ;

: − 2 ≤ ≤ 0; 1 ≤ ≤ 2; 1 ≤ ≤ 3 ;

. . : = 2; = 1; + + = 4; ≥ 0; −?

. . : 2 = 2 + 2; = 2; .

					Variant 14
	−1		0		0	0
. .	∫			∫ ( ; ) + ∫ ∫ ( ; ) ;
	−2		−2−		−1	3√
	−2		−2−		−1	3√
. .	( − 2) ;				: = 2;	= 1;

	0	√25− 2
. .	∫			∫ (1 − 2 − 2) ;
	−5		0

. . (3 − 2 + 2 ) ;

: 3 ≤ ≤ 4 ; −2 ≤ ≤ 3; 1 ≤ ≤ 5;. . : = 2; = 34 2 + 1; ( )−?

. . : = 2 + 2; = 2; .

					Variant 15
	0	1+
. .	∫	∫ ( ; ) ;
	−1	−1−
. .	( − 2) ;				: = ;		= 2 ;	= 2;

	3	√9− 2
				√ 2 + 2
. .	∫		∫			;
. .	∫		∫			;

√ 2 + 2

0 −√9− 2

. . (5 − 2) ;

: − 2 ≤ ≤ 3; 1 ≤ ≤ 4 ; −1 ≤ ≤ 5;

. . : = 2; + 2 = 2 ; + = 7; ≥ 0; −?

. . : 2		= 2 + 2;			= 2;		.
						Variant 16
		√
	1	√					1
. . ∫ ∫ ( ; ) + ∫ ∫ ( ; ) ;
	0	0			1
. .	( − 1) ;				: = 5 ; = ; = 3;

	0	√4− 2
. .	∫ ∫							;


	−2	0	√ 2	+ 2 √ 2 + 2
	−2	0

. . (4 − 2) ;

: 2 ≤ ≤ 4; −1 ≤ ≤ 3; 1 ≤ ≤ 5 ;. . : = 1; ≥ 0; 2 = 4 ; = 7 2 + ; −?. . : 2 = 2 + 2; = 2; .

				Variant 17
	1	2
. . ∫ ∫ ( ; ) − 1 ;
	0	− 2
. .	( + ) ;			: = 2 − 1;	= 1 − 2;

		√2− 2
	√2	√2− 2
. .	∫ ∫		−( 2+ 2) ;

	−√2	−√2− 2

. . 2 2 ; : 2 ≤ ≤ 3; −1 ≤ ≤ 2; 1 ≤ ≤ 5;

. . : 2 = √; + = 5; ≥ 0; ( )−? . . : = 2 + 2; = 9; .

					Variant 18
	1		0		2	0
. .	∫		∫ ( ; ) + ∫			∫ ( ; ) ;
	0	−√			1
	0	−√			1	−√2−
. .	(1 + );				: = 2; = 5 ;

	3		√9− 2
. .	∫			∫ (1 + 2 + 2);
	−3
	−3		−√9− 2

. . (3 + − 2) ;

: − 2 ≤ ≤ 0; 1 ≤ ≤ 3; −2 ≤ ≤ 1;

. . : = 2 + 22; = ;					≥ 0; = 1; ≥ 0; −?
. . : 2 = 2 + 2;				= 2;	.
				Variant 19
	2	+2
. .	∫	∫ ( ; ) ;
	−1	2
. .	( − );			: = ; = 2;

	0	√1− 2

. .	∫		∫ √1 + 2 + 2;
	−1	0

. . (2 − 2) ;

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