Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Имитационное моделирование. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

804 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

имеем следующие соотношения:

1 A11 1 a1 ,

2 A21 1 A22 2 a2 ,

...

n An1 1 An2 2 ... Ann n an .

На основе этих соотношений последовательно получим

R11 M{( 1 a1 )2 } A112 M{ 12 } A11 ,

R21 M{( 1 a1 )( 2 a2 )} M{A11 1 (A21 1 A22 2 )}

A11 A21 , ...,

Rnn M{( n an )2} M{(An1 1 ... Ann n )2} An21 ... Ann2 .

Окончательно формулы для определения Aij получатся в следующем виде:

	j	1
	Rij Aik Ajk
Aij	k	1	,	1 j i n ,
Aij		j 1	,	1 j i n ,
	R jj A2jk
		k 1
	0
причем считается, что Aik Ajk			0 .
	k 1

Задание для самостоятельной работы

1) Написать подпрограмму генерирования одной реализации нормального случайного вектора ( 1 ,..., n ) с известны-

ми средними значениями компонент и матрицей ковариаций.

2)Сгенерировать выборку объема N=1000 реализаций нормального случайного вектора. Вектор средних и матрицу ковариаций задать самостоятельно.

3)По 2–критерию проверить нормальность всех компо-

нент полученного вектора при уровне значимости =0.05. Сравнить выборочные средние и матрицу ковариаций с теоретическими.

2.3.Генерирование случайных векторов

сзаданными одномерными распределениями

иматрицей корреляции компонент

Пусть необходимо генерировать n -мерный случайный вектор ( 1 ,..., n ) , у которого одномерные плотности вероят-

ностей компонент i имеют заданный вид pi (z), i 1, n , а

также известны величины rij M{ i j }, i, j 1, n . Эта задача решается с помощью нелинейного преобразования компонент n -мерного нормального случайного вектора ( 1 ,..., n )

с математическими ожиданиями M{ i } 0				и ковариациями
M{ i j } ij ,	i, j		(генерирование	такого векто-
		1, n
ра( 1 ,..., n ) см.	в п. 2.2).		Предположим,	что компоненты

вектора ( 1 ,..., n ) и стандартные нормальные компоненты вектора ( 1 ,..., n ) связаны соотношениями

i i ( i ), i 1, n .

Пусть нам удалось обратить эти соотношения и найти функ-


ции i ( i ) ,	такие, что i i ( i ), i						1, n	. Тогда одномерная
плотность вероятностей величин i						должна иметь вид
	pi (z)		1		i2 (z) d i (z)
				exp					.
			2		2			dz

Но функции	pi (z)	нам известны, поэтому последнее равен-

ство можно рассматривать как дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции i (z) . Разделяя в нем переменные, получим уравнение

	2
exp		i	d i	2 pi (z) dz
exp	2		d i	2 pi (z) dz
	2

или после интегрирования

1	i ( z)	exp(	u 2	) du	z	pi (u) du .
			2
2

Наличие в последней формуле искомой функции в качестве верхнего предела интеграла Лапласа делает нахождение функции i (z) по этой формуле весьма проблематичным.

Определим величины ij . Так как M{zi z j } rij , то относи-

тельно ij мы имеем уравнение

		i (u) j (v)				1


							2 (1 ij2 )
		1			2			2
		1			2			2
exp				(u		2 ij uv v			) dudv rij ,
exp		2	)	(u		2 ij uv v			) dudv rij ,
	2(1 ij		)

из которого можно найти ij , по крайней мере, численно.

Пример. Пусть необходимо генерировать вектор

( 1 ,..., n ) с логарифмически нормальным распределени-

ем компонент с известными математическими ожиданиями M{ i } mi , и парными корреляциями M{ i j } Kij , i, j 1, n. Заметим, что плотность логарифмически нормального распределения имеет вид

pi (z)		1		(ln z ai )2	,
			exp
	z i	2		2 i2

а стандартная нормальная величина i

связана с логарифми-

чески нормальной величиной i

соотношениями

ln i ai

exp(a

, так как

1, n

( y) p

(eai i y )

d i

Найдем величины ai , i , ij .

Так как m M{eai i i } eai

ln m a

Kii M{e2ai 2 i i } e2ai 2 i2

и ln Kii 2ai

2 i2 ,

и при i j

Kij

M{eai i i ea j j j } eai a j e 2

ij i

2 , полу-

чим

Kij

, i2 ln

mi m j

ai ln

mi2

Kii

K jj

mi2

Таким образом, для генерирования случайного вектора с логарифмически нормальным распределением компонент необходимо сначала по известным значениям Kij , mi , i, j 1, n, найти величины ai , i , ij , затем генерировать случайный вектор ( 1 ,..., n ) со стандартными нормаль-

ными компонентами и ковариациями M{ i j } ij , и, нако-

нец, получить искомый вектор
с помощью преобразования i	eai i i ,	i 1, n.

Задание для самостоятельной работы

Написать программу генерирования одной реализации случайного вектора (z1 , z2 , z3 ) с логарифмически нормаль-

ным распределением компонент, если математические ожидания компонент m1 1, m2 0,7, m3 1,5, а ковариационная

матрица имеет вид

	2	0,5	1
	0,5	1	0,5
K				.
	1	0,5	4

2.4. Генерирование случайных векторов, равномерно распределенных в произвольной n-мерной области и на сфере

Равномерное распределение в n-мерной односвязной об-

ласти (G) генерируется методом исключения так:
1)	область (G)		заключается		в параллелепипед
{(x1,..., xn ) : ai xi bi ,		i		} ;
			1,n
2)	генерируются 1 ,..., n – реализации случайной вели-
чины, равномерно распределенной в интервале (0, 1);
3)	вычисляются значения i ai (bi				ai ) i ,	i		;
							1, n
4)	проверяется, принадлежит ли полученный вектор обла-

сти (G) . Если ( 1 ,..., n ) (G) , то это и есть искомая реализация случайного вектора, равномерно распределенного в ( G ). В противном случае, все повторяется, начиная с пункта 2), т.е. с генерирования значений 1 ,..., n .

Пример 1.
	n	x	i	a	i	2
Пусть (G) – эллипсоид {(x1	,..., xn ) :		i		i	1 }
Пусть (G) – эллипсоид {(x1	,..., xn ) :			b		1 }
	i 1			b
				i

центром в точке (a1 ,..., an ) и полуосями bi , i 1, n . Для гене-

рирования случайного вектора ( 1 ,..., n ) , равномерно распределенного в данном эллипсоиде, необходимо:

а) получить n реализаций 1 ,..., n	случайной величины,
равномерно распределенной в интервале (0, 1);
б) вычислить значения i 2 i 1,	i		,	равномерно
б) вычислить значения i 2 i 1,	i	1, n	,	равномерно
распределенные в интервале (-1,1);
n
в) если i2 1, то величины i ai bi i , i				1, n, соста-
i 1

вят искомую реализацию случайного вектора.

В противном случае следует повторять шаги а) – в) до получения этой реализации.

Задание для самостоятельной работы

Получить выборку объема 1000 реализаций случайного вектора (x, y, z) , имеющего равномерное распределение в

эллипсоиде

(x 1)	2	y2	(z 2)	2	1.
4		9	16

Пример 2.

Если (G) – плоский круг, (G) (x, y) : x2 y 2 1 , то можно генерировать случайный вектор, равномерно распределенный в (G) , иначе, чем в общем случае. Будем задавать точки круга в полярных координатах (r, ) , где r и независимые случайные величины с плотностями вероятностей

p(r) 2 r, 0 r 1 и p( )

, 0 2 .

Тогда

декартовы

координаты

точки

круга

(G)

x r cos ,

y r sin

– это также случайные величины с

совместной плотностью вероятностей

p(x, y)

p(r(x, y)) p(r(x, y))

(r, )

, (x, y) (G) .

(x, y)

Но –

это площадь единичного круга и,

следовательно,

случайный вектор (x, y) равномерно распределен в единичном круге. Исходя из этого, вектор (x, y) генерируют так:

1) генерируют пару равномерных в интервале (0,1) значений 1 , 2 ;

2) вычисляют значения компонент вектора (x, y) по фор-

мулам x 1 cos(2 2 ), y 1 sin(2 2 ) .

Сложнее обстоит дело с генерированием равномерного распределения на поверхности. Рассмотрим генерирование равномерного распределения на N -мерной сфере утверждение: если 1 ,..., N независимые стандартные нормальные случайные величины, то случайный вектор ( 1 ,..., N ) с ком-

	i
понентами i	i	,	i 1, N имеет равномерное распре-
понентами i	N	,	i 1, N имеет равномерное распре-
	i2
	i 1

деление на единичной сфере (S) . Это утверждение определяет алгоритм генерирования, согласно которому для получения реализации случайного вектора, равномерно распределенного

на	N – мерной единичной сфере, необходимо генерировать
N	независимых реализаций 1 ,..., N стандартной нормаль-

ной случайной величины, после чего вычислять значения компонент i искомого случайного вектора по формулам

	i
i	i	,	i 1, N .
i	N	,	i 1, N .
	i2
	i 1

2.5. Генерирование случайных векторов других типов

2.5.1. Полиномиальное распределение

Случайный вектор ( 1 ,..., n ) имеет полиномиальное распределение с параметрами N, p1 ,..., pn , если совместная плотность вероятностей его компонент имеет вид

p( y

,..., y

)

p y1 ...p yn , где целые y

1, n

y1!...yn !

y1 ... yn N,

p1 ... pn 1.

Алгоритм генерирования реализации вектора :

а) генерируем значения

1 ,..., n случайной

величины,

имеющей равномерное распределение в интервале (0,1);

б) затемдлякаждого i находимвектор (i) с n компонентами

если p

p ...p

j 1

... p

(ji)

в противном случае,

(i)

в) наконец, получаем вектор

i 1

Задание для самостоятельной работы

Написать программу генерирования одной реализации случайного вектора (y1 , y2 , y3 ) , имеющего полиномиальное

распределение с параметрами

N y1 y2 y3 100, p1 0,2, p2 0,3, p3 0,5 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]