Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Имитационное моделирование. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

804 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Покажем, что любая случайная пара ( , ) , равномерно распределенная в (G1 ) , будет также равномерно распределена и в (G) . Для этого рассмотрим произвольную область (S), (S) (G) (G1 ) . Тогда согласно геометрическому определению вероятности и в силу равномерности распределения случайной пары ( , ) в (G1 ) получим

P{( , ) (S)	( , ) (G) }	P{( , ) (S) ( , ) (G)}	S / G1	S	,
		P{( , ) (S) ( , ) (G)}	S / G1	S

		P{( , ) (G)}	G / G G
		P{( , ) (G)}	G / G G
			1

откуда и следует, что случайная пара ( , ) равномерно распределена в ( G ) . Общий алгоритм генерирования случайной величины с плотностью вероятностей p (x) g(x) / G

выглядит так: генерирование случайных пар (x, y) , равномерно распределенных в области (G1 ) , продолжается до тех пор, пока не получится пара, принадлежащая (G) . Значение x из этой пары и есть искомая реализация случайной величины .

Пример. Пусть функция g(x) 0 на [a,b] и g(x)dx 1.

Обозначим M max g(x) и рассмотрим в качестве области

a x b

(G1 ) прямоугольник [a,b ; 0, M ] . Пусть случайные величины

1 и 2 независимы и равномерно распределены в интервале

(0,1).	Тогда случайная пара ( , ) ,	где a (b a) 1 ,
2	M , равномерно распределена в прямоугольнике (G1 ) .

Блок-схема алгоритма метода исключения для генерирования

случайной	величины с плотностью вероятностей
p (x) g(x)	приведена на рис. 7.

Генерирование
1, 2
x = a + (b-a) 1,
y = M 2
нет	да
y < g(x)	= x
Рис. 7

1.6. Генерирование значений нормальных случайных величин

Рассмотрим методы генерирования случайной величины, имеющей стандартное нормальное распределение, т.е. нормальное распределение с нулевым средним и единичной дисперсией.

Метод суммирования.

Этот метод основан на центральной предельной теореме теории вероятностей, согласно которой, если случайные величины 1 , 2 ,..., n независимы и одинаково распределены со

средними M{ i } a и дисперсиями D{ i } 2 , то величина

n	1 2 ... n n a
	n

при n сходится по распределению к стандартной нормальной случайной величине . Возьмем в качестве величин1 , 2 ,... n равномерно распределенные в интервале (0,1) случайные величины, генерируемые базовым датчиком. По-

сколькуM{ i }	1	, D{ i }		1	, то в качестве статистики,
	2		12

имеющей приближенно стандартное нормальное распределение, берут величину

n		12	n		12	n	n
n		n	( i 0.5)		n	i	.
		n	i 1		n	i 1	2
Обычно полагают n = 12, тогда n						имеет особенно про-
стой вид 12		12
стой вид 12	i 6 .			Для большей точности вводят по-
		i 1

правки. Чаще всего при n 12 используют статистику

n* n 201n n3 3 n , реже – статистику

n* n 1344041 n2 n5 10 n3 15 n .

Метод обратной функции.

Стандартная нормальная случайная величина имеет функ-

цию распределения
		1		x	t	2
	(x)	1			t

		2		exp	2		dt
		2			2
и обладает свойством ( x)			1 (x) . Согласно методу об-

ратной функции стандартная нормальная случайная величина может быть получена по формуле 1 ( ) , где – случайная величина, равномерно распределенная в интервале

(0,1). То,	что		функция		1 (x)	обладает	свойством
1 (1 ) 1 ( ) ,				упрощает генерацию			стандартных
нормальных случайных величин, которая идёт по правилу
		( 1) ( ) ,			если	1 2 1,

			( 1)
				(1 ) ,	если	0 1 2.

Значение 1 ( )		точно считать очень трудно,					поэтому для

него найдены хорошие аппроксимации. Пусть удовлетворяет условию 0.5 1.

Введем переменную						2 ln , тогда
		( 1)	( )		2.30753		0.27061

				1	0.99229		0.04481 2
				1	0.99229		0.04481 2
или
( 1)	( )		2.515517 0.802853					0.010328	.
( 1)	( )	1 1.432788 0.189269 2						0.001308 3	.
		1 1.432788 0.189269 2						0.001308 3

Первая из этих формул имеет погрешность, не превосходящую 0,003., погрешность второй формулы составляет не бо-

лее 0,00045.

Метод генерирования стандартных нормальных случайных величин парами.

Пусть 1 , 2 независимые, равномерно распределённые в интервале (0,1) случайные величины с двумерной совместной плотностью вероятностей

		1,	если	0		1	,	2	1,
	p( 1					1		2
	p( 1	, 2 )	в противном случае.
		0,	в противном случае.
Рассмотрим случайные величины
1	2 ln ( 1 ) cos (2 2 ) , 2				2 ln ( 1 ) sin (2 2 )

и найдём их совместную плотность вероятностей p( 1 , 2 ) . Выражая 1 , 2 через 1 , 2 , получим

							2	2
2	2	2 ln	1	,	1	exp	1	2	,
2	2	2 ln		,		exp			,
1	2							2
								2

				tg (2 2 )						2		,					2				1			arctg						2			.
				tg (2 2 )						1		,					2				2			arctg						1			.
										1											2									1
Находим якобиан перехода J																	( 1 , 2 )							.
Находим якобиан перехода J																								.
																	( 1 , 2 )
																																						2	2
																																						2	2
	1				1										2				2												2			2				1	2
															2				2												2			2
															1			2													1		2						2


									1 exp													2
		1					2									2						2			exp								2
J		1					2																										2
J	2				2
	2				2					1			2			12												1				1 1
	1				2					1			2			12												1				1 1
										2 1 22							22										2 1 22								12
										2 1 22							22										2 1 22								12
				2		2																														22
	1			1			2		1							22 12										1								12
	1					2			1							22 12										1								12
J			e																										exp											.
J	2		e					1	2					1		2									2				exp							2				.
	2							1	2		2			1		2				2					2											2
									2		1					2			1
Отсюда, по формулам теории вероятностей, получаем
			p ( 1, 2 ) p ( 1 ( 1, 2 ), 2 ( 1 , 2 )																										J
			p ( 1, 2 ) p ( 1 ( 1, 2 ), 2 ( 1 , 2 )																										J
								1						2		2							1						12				1			22
								1	exp					1	2								1					e		2			1		e		2	,
									exp					1	2													e		2					e		2	,
								2							2								2									2
								2							2								2									2

откуда и следует, что 1, 2 – это независимые стандартные нормальные случайные величины. Таким образом, пара реализаций стандартных нормальных случайных величин получается указанным выше преобразованием пары реализаций равномерных на интервале (0,1) случайных величин.

После получения реализации стандартной нормальной случайной величины , мы сможем найти реализацию случайной величины , имеющей нормальное распределение со

средним M{ } a и дисперсией D{ } 2 как линейное преобразование a .

Задание для самостоятельной работы

1) Написать подпрограммы генерирования одной реализации случайной величины , имеющей нормальное распреде-

ление со средним M{ } a и дисперсией D{ } 2 , мето-

дами суммирования, обратной функции и парного генерирования.

2) Сформировать выборки объема 1000 значений нормальной случайной величины указанными тремя методами

генерирования. По 2 -критерию при заданном 5%-ном

уровне значимости проверить гипотезу о нормальности. Сравнить теоретические и выборочные среднее и дисперсию. По результатам статистической обработки выборок выбрать лучший из трех методов генерирования нормальной случайной величины.

1.7.Генерирование значений случайных величин

сбета- и гамма-распределениями

Плотность вероятностей случайной величины , имею-

щей В-распределение, p (x) x 1 (1 x) 1 ,0 x 1,

( , )

где ( , ) – бета-функция Эйлера, 0, 0 . Рассмотрим два случая:

1. Пусть , целые числа.

Тогда для получения реализации случайной величины , имеющей В-распределение с параметрами и необходимо с помощью базового датчика сгенерировать 1 реализаций равномерных на (0, 1) случайных величин и упорядочить их по возрастанию

1 2 ... 1 ... 1 .

Порядковая статистика и будет искомой реализацией случайной величины .

2. Пусть и произвольные положительные числа.

Будем генерировать равномерно распределенные в интервале (0,1) числа парами 1 , 2 ; 3 , 4 ; 5 , 6 ; ... . Для этой последовательности пар найдем величину

		1	1
k min { n : n 1 ,
k min { n : n 1 ,	2n 1		2n 1}.

Тогда реализацию случайной величины, имеющей В-рас- пределение с параметрами , , получают по формуле

						1

					2k 1
							.
					1	1	.

			2k 1			2k
Пусть	теперь			случайная величина, имеющая
Г-распределение с плотностью вероятностей
	p (x)	x 1		e x		, x 0 , 0 ,
	p (x)			e x		, x 0 , 0 ,
		( )
		( )
где ( )	– это гамма-функция Эйлера с параметром 0 .

С помощью преобразований Лапласа плотностей вероятностей легко доказывается, что сумма независимых и имеющихраспределение с параметрами и случайных величин

и также имеет распределение с параметром ,

т.е. .
Рассмотрим теперь возможные случаи.
1. Пусть 1. В этом случае	плотность вероятностей
распределения имеет вид p (x) e x и соответствующая
1
x	(x) dx 1 e x . Поэтому
функция распределения F1 (x) p1	(x) dx 1 e x . Поэтому
0

по методу обратной функции реализация случайной величи-

ны	1	определяется соотношением F (	1	) 1 e 1	1 ,
	1	1	1

где – равномерно распределённая в (0,1) случайная величина. Получается 1 ln .

2. Если n , где n – целое число, то согласно упомянутому выше свойству - распределения, имеем

n 1 1	1		n
n 1 1	1	ln i .
			i 1
n раз
3. При полуцелом n 1				n	. Покажем,
2			n 12	n	12

как генерировать случайную величину 1/ 2 . Для неё имеем

(x)

x 12 1

e x

e x , так как Г 1 2

Г 1 2

другой стороны,

рассмотрим

случайную величину

2 / 2 , где

– стандартная нормальная случайная

величина с плотностью вероятностей

p (z)

exp

Теперь 2 ,

, и в соответствии с форму-

лой теории вероятностей для плотности вероятностей преобразования случайной величины

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 135 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]