Избранные материалы по высшей математике. Задачник-практикум

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Институт интеллектуальной робототехники НГУ

М. Е. Ткаченко, В. О. Ткаченко

ИЗБРАННЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Задачник-практикум

Новосибирск

2024

3

Глава 1

МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ

В математике существует несколько методов доказательств утверждений (прямое доказательство, доказательство от противного, контрапозиция, построение, перебор, установление биекции, вероятностные, статистические и др.). Ниже рассмотрим доказательство утверждений методом математической индукции.

В основе метода математической индукции лежит принцип математической индукции, который принимается как аксиома.

Утверждение A(n) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены следующие два условия:

• утверждение P(n) верно для n = 1;

• для k N из справедливости P(k), следует справедливость

P(k + 1).

Проверку при n = 1 называют базисом индукции, а допущение,

что P(k) верно для n = k — индуктивным предположением.

Рассмотрим некоторые обобщения принципа математической индукции.

1. Пусть n0 Z . Утверждение A(n) верно для n Z ,n ≥ n0, если выполнены два условия:

• утверждение P(n) верно для n = n0 ;

• для k Z ,k ≥n0 из допущения, что P(k) верно для n = k, следует справедливость P(k + 1).

2. Пусть n0 Z . Утверждение A(n) верно для n Z , n ≥ n0 , если выполнены два условия:

• утверждение P(n) верно для n = n0 и n =n0 +1 ;

• для k Z ,k > n0 из допущения, что P(k) верно для n = k и n = k – 1, следует справедливость P(k + 1).

Пример 1. Доказать равенство 12 +22 +32 +…+n2 = n(n +1)(2n +1) 6

n N .

4

Доказательство

Докажемистинностьданногоравенстваметодомматематическойиндукции.

• При n = 1 равенство верно 12 = 1 2 (2 1+1) .

6

• Пусть k — любое натуральное число. Допустим, что P(k) истин-

= (k +1)((k +1)+1)(2(k +1)+1),

6

что означает, что P(k + 1) истинно. Согласно принципу математической индукции равенство доказано.

Пример 2. Доказать неравенство Бернулли (1+α)n ≥1+nα, α > −1, n N .

Доказательство

Докажемистинностьданногоравенстваметодомматематическойиндукции.

• При n = 1 неравенство верно 1+α ≥1+α .

• Пусть при n = k неравенство верно (1+α)k ≥1+kα. Умножим обечастинеравенствана(1+α) > 0 (таккак α > −1 поусловию):

(1+α)k +1 ≥ (1+kα)(1+α)=1+(k +1)α+kα2 ≥1+(k +1)α.

Из допущения, что неравенство верно при n = k, следует, что оно верно для n = k + 1. Согласно принципу математической индукции неравенство доказано.

5

Доказательство

Докажем истинность данного неравенства методом математической индукции.

• При n = 1 по условию х1 = 1, т. е. х1 ≥ 1. • Пусть при n = k утверждение верно.

x1, x2, …, xk , xk +1 — произвольные положительные числа такие, что x1 x2 … xk xk +1 =1 . Рассмотрим следующие два случая:

1) x1 = x2 =…= xk = xk +1 =1. Тогда сумма этих чисел равна k + 1, следовательно, неравенство верно.

2) Пустьхотябыодноизчиселx1, x2,…, xk , xk +1 отличноотединицы, например, больше 1. Тогда найдется хотя бы еще одно число, отличное от единицы, меньшее одного (так какx1 x2 … xk xk +1 = = 1). Пусть xk +1 >1 , а xk <1 . Рассмотрим k положительных чисел x1, x2,…,(xk xk +1 ) ,произведениекоторыхравноединице.Тогда по индукционному предположению верно неравенство x1 + x2 +…+(xk xk +1 ) ≥ k . Преобразуем последнее неравенство

x1 + x2 +…+ xk −1 +(xk xk +1 ) + xk + xk +1 ≥k + xk + xk +1

x1 + x2 +…+ xk + xk +1 ≥k + xk + xk +1 −(xk xk +1 )

(1−xk )(xk +1 −1)> 0 k + xk + xk +1 −(xk xk +1 )=

=k +1+ xk +1 (1−xk )−1+ xk =

=k +1+ xk +1 (1−xk )−(1−xk )= k +1+(1−xk )(xk +1 −1)≥ k +1.

Таким образом, x1 + x2 +…+ xk + xk +1 ≥ k +1 .

Из допущения, что неравенство верно при n = k, следует, что оно верно для n = k + 1. Согласно принципу математической индукции неравенство доказано.

Пример 4. Доказать неравенство Коши относительно среднего арифметического и среднего геометрического:

6

Доказательство

Пусть x1, x2,…, xk — произвольные положительные числа. Рассмотрим следующие k чисел:

Доказательство

Докажемистинностьданногоравенстваметодомматематическойиндукции.

• При n = 1 имеем верное равенство a + b = a + b.

• Пусть k — любое натуральное число. Допустим, что P(k) истин-

k

но, т. е. верно равенство (a +b)k = ∑Ckmak −mbm , умножим обе ча-

m=1

сти равенства на (a + b):

7

k

(a +b)k +1 = (a +b)∑Ckmak −mbm =

m=1

=ak +1 +(1+Ck1 )ak b +(Ck1 ++Ck2 )ak −1b2 +…+ .

+(Cks +Cks +1 )ak −sbs +…+bk +1

Доказательство

Докажем истинность данного утверждения методом математической индукции.

• При n = 1 имеем 41 +15 1−1 =18 9.

• Пусть k — любое натуральное число. Допустим, что P(k) истинно,т.е.верноутверждение,что 4k +15k −1 делитсяна9.Установим, что при n = k + 1 число 4k +1 +15(k +1)−1 делится на 9:

4k +1 +15(k +1)−1 = 4k (3 +1)+15k +15 −1 =

=3 4k +4k +15k +15 −1 = (4k +15k −1)+3(4k +5).

Первое слагаемое делится на 9 по индукционному предположению. Докажем, что второе слагаемое 3(4k +5) делится на 9. Так как 3 делится на 3, то достаточно доказать, что 4k +5 делится на 3 с помощью метода математической индукции.

• При k = 1 имеем (41 +5)= 9 3 .

• Пусть m — любое натуральное число. Допустим, что P(m) истинно, т. е. верно утверждение, что (4m +5) 3. Установим, что при k = m + 1 число (4m+1 +5) 3. 4m+1 + 5) = 4m(3 + 1) + 5 =

=3 4m +(4m +5). Второе слагаемое делится на 3 по индукционному допущению, первое делится на 3, так как содержит множи-

8

тель 3. Согласно принципу математической индукции утверждение доказано.

Пример 7. Доказать неравенство 2n >n3, n N ,n ≥10 .

Доказательство

• При n = 10 имеем справедливое неравенство: 210 > 103, 1024 > > 1000.

• Пусть k — любое натуральное число. Допустим, что P(k) истинно, т. е. верно 2k > k3 . Установим, что при n = k + 1 P(k + 1), т. е.

Согласнопринципуматематическойиндукцииутверждениедоказано.

Пример 8. Доказать неравенство 1!1 + 2!1 +…+ n1! < 5n2−n 2 , n N .

Доказательство

• При n = 1 имеем справедливое неравенство: 1!1 < 52−12 1 < 32 . • Пусть k — любое натуральное число. Допустим, что P(k) истин-

9

Так как

тогда, учитывая индукционное предположение, получаем:

10