Избранные материалы по высшей математике. Задачник-практикум

Пример 11. Если количество уравнений в однородной системе линейных уравнений меньше количества переменных, система имеет ненулевое решение.

Доказательство

Индукция по числу уравнений. • Для одного уравнения очевидно.

• Выбираем одно из уравнений. Если все коэффициенты нулевые, то очевиден индукционный переход. Иначе выбираем ненулевой коэффициент, выражаем соответствующую переменную из выбранного уравнения и подставляем в остальные полученные выражения. Получаем систему уже с меньшим числом уравнений. Тогда согласно принципу математической индукции утверждение доказано.

Пример 12. Доказать неравенство n! <(n2+1)2,n >1.

Доказательство

Докажем истинность данного утверждения методом математической индукции.

• При n = 2 имеем 2! <(32)2 = 49 .

• Пустьk —любоенатуральноечисло.Допустим,чтоP(k)истин- но, т. е. верно k ! <(k 2+1)k . Установим, что при n = k + 1 утверждение верно. В силу индукционного предположения

имеем (k +1)! = k !(k +1)< (k +1)k +1 . 2k

Докажем, что (k +1)k +1 <(k +2)k +1 .

2k 2

Преобразуем последнее неравенство к виду: 2 <(kk ++12)k +1 . Используя формулу бинома Ньютона, имеем:

11

что означает, что P(k + 1) истинно. Согласно принципу математической индукции равенство доказано.

Пример 13. Доказать справедливость следующего неравенства для n N:

• Пусть k — любое натуральное число. Допустим, что P(k) истин-

Задачи для самостоятельного решения

1. Доказать справедливость следующих тождеств для n N : a)  13 +23 +…+n3 = n(n2+1) 2 ;

12

m)  415 + 516 +…+ (n +3)(1 n +4) = 4(nn+4) ;

n) 12 −22 +32 −42 +…+(−1)n−1 n2 =(−1)n−1 n(n2+1); o) 1 4 +2 7 +3 10 +…+n(3n +1)=n(n +1)2 ;

p)  2 +7 +14 +…+(n2 +2n −1)= n(2n2 +9n +1);

6

q) 1− 12 + 13 − 14 +…+ 2n1−1 − 21n = n1+1 + n 1+2 +…+ 2n1−1 + 21n ;

13

2. Доказать справедливость следующих неравенств для n N :

14

3. Доказать справедливость следующих утверждений для n N :

a) (32n+1 +2n+2 ) 7; b) (7 52n +12 6n ) 19; c) (2 7n +1) 3;

d) (n3 +5n) 3;

e) (9n+1 −18n −9) 18; f) (n5 −n) 30;

g) (n3 +11n) 6;

h) (7n +12n +17) 18; i) (5n+3 +113n+1 ) 17; j) (62n +3n+2 +3n ) 11; k) (11n+2 +122n+1 ) 133; l) (5n+3 +113n+1 ) 17;

m) (62n +19n −2n+1 ) 17;

n) (52+n +26 5n +82n+1 ) 59; o) (5n+32n −125) 45;

p) (22n−1 −9n2 +21n −14) 27;

q) (4n +15n −1) 9;

r) (72n −42n ) 33;

s) (10n +18n −28) 27; t)  (n(2n2 −3n +1)) 6; u) (9n+1 −8n −9) 64; v) (7n+1 −6n −7) 36.

15

i) Доказать тождество

lg(a1a2 …an )= lga1 +lga2 +…+lgan (ai > 0,i {1,2,…,n}. j) Доказать тождество

an +bn =(a −b)(an−1 +an−2b +…+abn−2 +bn−1 ), n N . k) Доказать верность неравенства n N :

x1 + x2 +…+ xn ≤ x1 + x2 +…+ xn . l) Доказать верность неравенства n N :

2n1 (an +bn )≥(a +b)n ,(a > 0,b > 0).

m) Доказать верность неравенства n N : sinnx ≤ n sinx .

n) Доказать, что производная суммы любого числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций.

o) Доказать, что n различных прямых, которые лежат в одной плоскости и пересекаются в одной точке, делят плоскость на 2n частей.

16

p) В плоскости проведены n различных прямых, из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через однуточку.Доказать,чтоэтипрямыеразбиваютплоскостьна

n(n +1)+1 частей.

2

q) Доказать, что число диагоналей выпуклого n-угольника рав-

но n(n −3),n ≥3. 2

r) (Найдите ошибку) Докажем, что любые n чисел равны: a1, a2, …, an — произвольные числа, тогда a1 =a2 =…=an .

Доказательство

Докажем истинность данного утверждения методом математической индукции.

• При n = 1 утверждение верно (одно число равно самому себе).

• Пусть при n = k верно равенство a1 =a2 =…=ak . Установим, что при n = k + 1 утверждение верно. Рассмотрим произвольные числа a1,a2,…,ak ,ak +1 . Отбросим последнее число, получим набор из k чисел, и по индукционному предположению они все равны: a1 =a2 =…=ak . Теперь отбросим первое число, снова получаем набор из k чисел, которые поиндукционномупредположениюравны: a2 =a3 =…=ak +1. Объединив последние два равенства, получаем a1 = a2 = … =ak +1 , что и требовалось доказать.

s) (Найдите ошибку.) Докажем, что любые n точек лежат на одной прямой.

Доказательство

Докажем истинность данного утверждения методом математической индукции.

• При n = 1, n = 2 утверждение верно (через любые две точки можно провести прямую и притом только одну — аксиома планиметрии).

17

• Пусть при n = k верно данное утверждение. Установим, что при n = k + 1 утверждение верно. Рассмотрим произвольные k + 1 точки a1, a2, …, ak , ak +1 . Отбросим последнюю точку, получим набор из k точек, и по индукционному предположению они все лежат на одной прямой l. Теперь отбросимпервуюточку,сноваполучаемнаборизk точек,которые по индукционному предположению лежат на одной прямой l ′. Прямые l и l ′совпадают, так как они обе проходят через точки a2,ak .

Глава 2

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

2.1.Комплексные числа, общие понятия

Впроцессе изучения математики понятие числа неоднократно расширяется. Сначала рассматривается множество N натуральных чисел, затем множество Z целых чисел, множество Q рациональных чисел и, наконец, множество R действительных чисел. Дальнейшее расширение понятия числа связано с необходимостью решать задачи (например, решить уравнение x2 +1= 0) , у которых не существует решений на множестве действительных чисел. Возникает необходимость введения такого вида чисел, который расширяет множество действительных чисел.

Комплексными называются числа вида: z = x +iy, где z = x +iy, . Числа x и y называются соответственно действительной и мни-

мой частями комплексного числа z и обозначаются x = Rez, y = Imz. Комплексное число i называется мнимой единицей.

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Число z = x −iy называется сопряженным к числу

z = x +iy .

18

Определим алгебраические операции над комплексными числами: z1 ±z2 =(x1 ± x2 )+i (y1 ± y2 ),z1z2 = (x1x2 − y1 y2 )+i (x1 y2 + x2 y1 ),

Пример 1. Произвести следующие математические операции над комплексными числами:

Решение

a) (−1+5i )+(−1−5i )= (−1−1)+(5 −5)i = −2 +0i = −2;

б) (3 +2i )(−1+3i )= (−3 −6)+(9 −2)i = −9 +7i;

д) (2 +3i)2 = 4 +12i +9i2 = −5 +12i.

Пример 2. Найти комплексные числа, сопряженные своим кубам.

Решение

Имеем z3 =(x +iy)3 = (x3 −3xy2 )+i (3x2 y − y3 ). По определению

z3 = z x3 −3xy2 = x (x,y)=(0,0), (1,0), (−1,0), (0,1), (0,−1).

3x2 y − y3 = y

Таким образом, z1 = 0,z2 =1,z3 = −1,z4 =i,z5 = −i .

19

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите z1 +z2,z1 −z2,z1z2, z1 ,z1,z2 , если z2

a) z1 = −2 +5i,z2 =3 −4i;

b) z1 = 2 −3i,z2 = 2 +3i; c) z1 = 2 +5i,z2 =1−7i.

20