Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Практикум

УДК 512.8

Ассистент М.М. Капшанинова, кф-мн, доцент В.П.Максимов

Дифференциальное исчисление функции одной переменной: Практикум / СибГУТИ, –Новосибирск, 2006 г. – 20 стр.

Практикум рекомендуется студентам первого курса заочной формы обучения технических специальностей СибГУТИ при выполнении контрольных работ № 2 и № 3 по теме «Дифференциальное исчисление функции одной переменной».

Кафедра высшей математики Ил.– 2, список лит. – 10 наим.

Рецензент: М.Ю. Галкина

Для студентов направлений 210300 – «Радиотехника», 210400 – «Телекоммуникации»

Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ в качестве практикума.

©Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, 2006

Оглавление

1.Рекомендации по выполнению контрольных работ № 2 и 3…..…4

2.Вычисление пределов функции одной переменной….…….……..4

3.Непрерывность и точки разрыва функции…………………….…..7

4.Производные функции………………………………………….…..9

5.Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке……...14

6.Исследование функции и построение графика…………………..15 О т в е т ы . . ……………………...………………………………….18 Литература ………………………………………………………….19

3

1. Рекомендации по выполнению контрольных работ № 2 и 3

Прежде чем приступить к выполнению контрольных работ, необходимо ознакомиться с основным теоретическим материалом. Ответить на вопросы для самопроверки, которые помещены в методических указаниях и контрольных заданиях “Высшая математика” для студентов – заочников технических специальностей (М.: Высшая школа, 1983). Затем рекомендуется разобрать примеры из данных методических разработок, причем желательно прорешать их самостоятельно, обращаясь к тексту при возникновении затруднений. После этого можно выполнять контрольную работу.

Изучение темы «Дифференциальное исчисление функции одной переменной» удобнее разбить на этапы, каждому этапу соответствует параграф настоящих методических разработок. При оформлении контрольной работы не следует приводить подробных словесных объяснений, но математические выкладки должны быть детальными.

2. Вычисление пределов функции одной переменной без использования правила Лопиталя

Рассмотрим дробно-рациональную функцию

Пусть теперь x a . Если при этом и числитель, и знаменатель функции f (x) одновременно обращаются в нуль, необходимо и в числителе и в знаме-

нателе выделить множитель x a и сократить на него. Рассмотрим пример.

Здесь числитель и знаменатель одновременно обращаются в нуль в точке x 2. Выделим, в соответствии с теоремой Безу, в числителе и знаменателе, общий множитель x 2 и сократим на него:

В случае если функция f (x) содержит иррациональные выражения, поступают аналогично.

Разделим числитель и знаменатель на величину x . Тогда:

Умножим и разделим функцию на выражение сопряженное числителю, в результате чего получим:

Весьма полезным при нахождении пределов функций является знание следующих пределов:

5

Функция задана различными формулами на различных промежутках. В каждом из промежутков x 0, 0 x 1, 1 x 2, 2 x функция

непрерывна. Следовательно, разрыв может быть только на стыках промежутков, т.е. в точках: 1) x 0; 2) x 1; 3) x 2. Вычислим односторонние пределы в каждой из этих точек.

Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен ,

функция в этой точке терпит разрыв 2-го рода. Таким образом, данная функция в точке x 0 имеет разрыв 2-го рода. При этом

т.е. предел функции справа равен значению функции в этой точке, значит, функция непрерывна справа в точке x 0.

Если односторонние пределы равны между собой, но не равны значению функции в этой точке или функция не определена в этой точке (как в данном случае), то x 2 есть точка разрыва 1-го рода. Такой разрыв 1-го рода называется устранимым, так как для его устранения (т.е. для превращения точки x 2 в точку непрерывности) достаточно определить функцию в этой точке, задав ее

Функция (определенная в точке x 2) является непрерывной в этой точке.

8

y 5

4

3

2

1

Рисунок 1 – Функция определения

Задачи

Найти и исследовать точки разрыва функций:

4. Производные функции

Для вычисления производных необходимо знать лишь правила дифференцирования и формулы производных основных элементарных функций. Выпишем эти правила и формулы в виде таблиц.

Правила дифференцирования

1.C u x C u x ,

2.u v w u v w ,

3.uv u v uv ,

9