Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Практикум

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

898 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

На практике часто приходится находить производные от элементарных функций, аргумент которых u x является простой или сложной функцией переменной x . В этом случае применяют правило (6).

Пример 1.

y 1 x2

т.е.

u ,

где u 1 x2 .

По правилу (6) нахо-

дим y

u 2x ,

тогда

2 u

1 x2

Конечно, в отдельном выписывании составляющих функции на деле нет

необходимости.

Пример 2.

y sin 2x 3 .

2 cos 2x 3 .

cos 2x 3 2x 3

x2 3x5 4

Пример 3.

Вычислить производную функции

x 2x 1

Заменим корни степенями с дробными показателями, получим:

x 3 3x5 4

7x 2

2x 1

По правилам дифференцирования дроби и суммы (правила 4 и 2) имеем:

3x5 4

7x 2 2x 1

3 3x

5 4

7x 2

2x 1

15x4 7x 2 2x 1

x 3

3x5

2x 1

Пример 4.

Найти производную функции

y x2 sin x ln x .

Используя правило дифференцирования произведения (2) и формулы про-

изводных элементарных функций, получим:

y x

sin x ln x x

sin x ln x

2x sin x ln x x2

cos x ln x x2 sin x



	x2 4 5 3x 1 7
Пример 5. Вычислить производную y ln3		.
Пример 5. Вычислить производную y ln3	6x3 1 2 etg5 x	.

Прежде чем приступить к дифференцированию прологарифмируем правую часть, используя свойства логарифмов:

y 53 ln x2 4 73 ln 3x 1 23 ln 6x3 1 13 tg5x .

Дифференцируя обе части равенства, получим:

y	5			x	7	12x2			5	.

	3	x	2	4	3x 1	6x	3		2
								1	3 cos 5x

Если выражение, которое необходимо продифференцировать, упрощается после логарифмирования, целесообразно искать сначала не y , а ln y . Формула для ln y вытекает из правила дифференцирования суперпозиции функций:

ln y

y ln y .

y . Поэтому

esin 4 x (x3

6x 1)2

Пример 6.

Найти производную функции

y 7

x4 5x2

3 4

Логарифмируя правую и левую части равенства, получим

ln y

sin

ln x3

6x 1

ln x4 5x2

3 .

Дифференцируем обе части полученного равенства:

6x2 12

16x3 40x

ln y

cos 4x

7 x3 6x 1

7 x4

5x2 3

Откуда

esin 4 x (x3

6x 1)

6x2 12

16x3 40x

y y ln y

= 7

cos4x

5x2

7 x

6x 1

7 x

Пример 7.

Найти производную функции

y cosx sin x .

Прологарифмируем это равенство

ln y sin x ln cos x .

Дифференцируем

обе части полученного равенства:

sin 2 x

ln y

cos x

ln cos x

cos x

После чего:

y cos x sin x

cos x ln cos x

sin2 x

cos x

До сих пор рассматривались функции заданные в явном виде, т.е. уравне-

нием

y f x , разрешенным относительно

y . Под неявным заданием функ-

ции понимают задание функции в виде

уравнения

F x, y 0 , связывающего

независимую переменную x и зависимую (функцию) y ,

не разрешенную от-

носительно

y . При этом часто бывает, что разрешить это уравнение относи-

тельно

вообще

невозможно

(например,

x2 y2

tg y 1 0 или

x y xey

0 ). В таком случае необходимо продифференцировать уравнение

F x, y 0

по x , считая

функцией от

x . Затем, полученное уравнение раз-

решить относительно

y .

Производная неявной функции y

будет выражаться

при этом через аргумент

x и функцию y .

Пример 8.

x y xey 0 .

Дифференцируем данное уравнение по

x , считая y y x :

1 y ey xey y 0 .

1 e y

x y

Отсюда

y 1 xey .

Но так как

, то выражение для y

можно

упростить:

(но этого можно и не делать).

x x y 1

Пример 9.

x2 y2 tg y 1 0.

2x 2 yy

y 0 ,

cos2 y

2 y

cos2 y

Если функция

y y x

задана параметрически в виде двух уравнений

x x t ,

y t ;

где t

– вспомогательная переменная, называемая параметром, а функции x t и

y t

дифференцируемы,

то производная функции

y x вычисляется по фор-

муле:

y t

x t

Пример 10.

Найти

y x ,

если:

x a cos

y a sin

Дифференцируем

x и

y по

t :

xt a sin t ,

yt a cos t .

Тогда

a cos t

ctg t .

a sin t

Пример 11.

x t 2 ,

Найти

y x .

y t 3 .

Имеем

xt 2t ,

yt 3t 2 .

Следовательно,

3t 2

. Если задана

произвольная дифференцируемая функция y y x ,
произвольная дифференцируемая функция y y x ,	то ее производная y x в
13

свою очередь является функцией того же аргумента x . Производную от производной данной функции, если она существует, называют производной второго порядка, или второй производной от данной функции и обозначают симво-

лом y

. Таким образом y

. В связи с этим производную

y x в даль-

нейшем будем называть первой производной.

Пример 12.

Найти

для функции

y ln cos x .

Вычислим первую производную

sin x tg x . После чего,

cos x

tg x

вторая производная:

cos2 x .

Пример 13.

Найти

1 x

x для функции y ln x

1 x

x 1 x

2 1 x

1 x

3 .

1 x

Найти производные функций:

4.1.	y ex (sinx cosx) .
4.3.	y	1 x3			.

		1	x5
		1	x5

4.5.	y ln(x						x2 4) .
4.7.	y ln ln ln x .
4.9.	y		tg x2			.


				x3 1

Задачи

4.2. y 3 x2 sin x ln x .

4.4.y arcsinarctg xx .

4.6.y sin cos x cos sin x .

4.8.y x x x .

4.10. y ex cosx . sin x2

5. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

В соответствии с теоремой Вейерштрасса,				всякая непрерывная на отрезке
a,b	функция	y f x	достигает на этом	отрезке своего наименьшего и

наибольшего значений. Поиск этих значений производится в следующем порядке:

1) найти стационарные (критические) точки функции на интервале a,b (т.е.

среди внутренних точек отрезка);

2)вычислить значения функции в найденных точках;

3)вычислить значения функции на концах отрезка (в точках x a и x b );

4)среди полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 1.		Найти наибольшее и наименьшее значения функции
		y x4 2x2 5 на отрезке		2,2 .
1)	Исследуем функцию на экстремум. Находим первую производную
	y 4x3	4x 4x x2 1 . Решаем уравнение 4x x2			1 0 , и находим
	стационарные точки: x1 1,		x2 0,	x3 1.
2)	Определяем значения функции в найденных точках: y 1 4,					y 0 5,
	y 1 4 .
3)	Определяем значения функции на концах отрезка:				y 2 13,	y 2 13 .

4) Сравнивая полученные значения функции, заключаем, что y 4 является наименьшим, а y 13 – наибольшим значением функции на заданном отрезке.

Пример 2.		Найти наибольшее и наименьшее значения функции
		y x3 3x2 9x 1 на отрезке 1,1 .
1)	Имеем y 3x2 6x 9 0 . Решая это уравнение, находим стационарные
	точки на интервале (-1,1): x1 1 и x2 3 . Но эти точки стационарными
	для данной задачи быть не могут, так как находятся вне интервала (-1,1).
2)	Ввиду отсутствия стационарных точек переходим к пункту 3.
3)	y 1 6,	y 1 10 .
4)	Наибольшее значение y 6 функция достигает на левой границе		x 1, а
	наименьшее y 10 на правой x 1.

Задачи

Существуют ли наибольшее и наименьшее значения функций на указанных промежутках. Если существуют, то найти их значения:

5.1.	y x2	0 x 1 .		5.2.	y cos x	0 x 2 .
5.3.	y x3	6x	3 x 4 .	5.4.	y x 2		0 x 4 .
						x

6. Исследование функции и построение графика

При построении графиков исследование функций можно вести по следующей схеме:

1)Определить область существования функции.

2)Исследовать, не является ли функция четной или нечетной.

3)Определить периодичность функции.

4)Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Исследовать знак функции.

5)Найти вертикальные асимптоты графика функции. Исследовать поведение функции вблизи них. Найти наклонные и горизонтальные асимптоты.

6)Исследовать функцию на возрастание и убывание и отыскать экстремумы функции.

7)Исследовать функцию на выпуклость и вогнутость, найти ее точки перегиба.

Пример 1. Исследовать и построить график функции				f x		1		4x2 .
						x

Проведем исследование по предложенной выше схеме.
1) Функция существует для всех			x 0, так как только в точке		x 0 она теряет
смысл.
2) Функция не является ни четной, ни нечетной, так как				f x	1		4x2 ,

					x
f x	1	4x2	и f x f x , f x f x .

	x

3) Функция не является периодической.

4) В точке x 0 функция не определена, а потому ее график не пересекается с

осью ординат. Уравнение									1	4x2		0 имеет корень x		3		2	. Учитывая, что
осью ординат. Уравнение									x	4x2		0 имеет корень x					. Учитывая, что
									x						2
x 0 – точка разрыва, получаем промежутки знакопостоянства:
			3
			3		2


,				2		– функция положительна,
				2
		3 2
						– функция отрицательна,
			, 0
		2	, 0
		2

0,					– функция положительна.
5) В		точке				x 0	функция					имеет	разрыв второго			рода.		При этом
	1			2				1			2
lim		4x				,	lim			4x		.	Вертикальная асимптота					x 0 . При
lim		4x				,	lim			4x		.	Вертикальная асимптота					x 0 . При
x 0 0 x							x 0 0 x

x ни наклонных, ни горизонтальных асимптот нет.

6) Находим производную:

8x3

, и приравниваем ее нулю:

8x3 1

0 .

Точка

является стационарной (критической). Других «подозрительных»

точек нет. Проверим достаточные условия экстремума в точке

. Так как

знаменатель производной всегда положителен, то достаточно проследить за

						1										1

знаком числителя. Очевидно, что при					x	2		y		0		и	y	0	при	x 2 .
знаком числителя. Очевидно, что при					x	2		y		0		и	y	0	при	x 2 .
Следовательно, на промежутках , 0								2
Следовательно, на промежутках , 0					и	0,		1			функция убывает, а на про-
межутке 1	,			– возрастает. В точке			x 1		2		функция, таким образом,
2									2
имеет минимум:		y	x	1 3 .
				2

7) Чтобы исследовать график функции на выпуклость и вогнутость, найдем y :

				2		2		3	2

y		8	x3 . Решая уравнение 8			x3	0 , находим	x 2 .		На промежутках
y		8	x3 . Решая уравнение 8			x3	0 , находим	x 2 .		На промежутках

			3	2	и 0, имеем					3 2
	,					y 0 , а на промежутке					, 0	–	y 0 .
	,					y 0 , а на промежутке					, 0	–	y 0 .
				2						2
				2						2

Поэтому на первых двух промежутках график обращен выпуклостью вниз, а на

3		2
последнем – выпуклостью вверх. Точка x			является точкой перегиба
последнем – выпуклостью вверх. Точка x	2		является точкой перегиба
	2

данной функции.

По полученным данным строим график функции. Сначала наносим характерные точки. Затем делаем набросок кривой, исходя из характеристики ее на каждом из участков. Получим график, который изображен на рисунке 2. Эта кривая носит название «трезубец Ньютона».

y 5 4 3 2 1

-0,5	0	0,5	x

Рисунок 2 – «Трезубец Ньютона»

О т в е т ы

2.1.	1 .	2.2.	.	2.3.	0 .	2.4. .	2.5.	1 .	2.6.	3.
	3							2
2.7.	1 .	2.8.	5 .	2.9.	0 .	2.10. 1.	2.11. e 1 .		2.12.	1.
	56

3.1.x 1 – точка разрыва первого рода.

3.2.Функция непрерывна всюду.

3.3.x 1 – точка устранимого разрыва.

4.1.	2ex cos x .																			4.2.			2 sin x ln x							x2 3 cos x ln x							sin			x	.


																						3					3	x							3				x
																								arcsin x						arctg x
		5x4 (1 x3 ) (1 x5 )3x2
																									1 x2
4.3.																			.	4.4.					1 x2					1 x2				.
					(1 x5 )2																						arcsin			x 2
4.5.						x											.			4.6.		cos(cos x) sin x sin sin x cos x .

		4
		4			x2 4						x2				4
				1																								1							1								1
4.7.												.								4.8.													1							1						.


		ln ln x ln x x																					2 x						x							2 x		x				2 x

																															x
			2x(x3 1)					3		x			2	tg x		2
																									sin x2			(cosx sin x) 2xcosxcosx2
4.9.			cos2 x2						2									.		4.10.					sin x2			(cosx sin x) 2xcosxcosx2															e	x	.
4.9.					(x3	1)3 2												.		4.10.												sin2			x2								e		.
					(x3	1)3 2																										sin2			x2
5.1.	max			при			x 1, y 1;												min		нет .
5.2.	min			при			x 2, y 0 ;													max				нет.
5.3.	min			при			x 3, y 9 ;													max		при					x 4, y 40 .
5.4.	min			при			x 0, y 0;												max		при					x 4, y 8 .

Литература

Учебная литература для изучения теории

1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления – М., 2002.

т.1 – 456 с.

2.Фролов С.В., Шостак Р.Я. Курс высшей математики – М., 1973, т.1.

3.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. – М., 2002 –288 с.

4.Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. – М., 1985.

5.Шнейдер В.Е. и др. Краткий курс высшей математики. – М., 1986.

6.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. – 1982 – 572 с.

7.Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. –

1976 – 372 с.

Учебная литература для практических занятий

8.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – С-Пб., 2002

–432 с.

9.Виленкин Н.Я. и др. Задачник по курсу математического анализа. – М., 1971

–343 с.

10.Сборник задач по математическому анализу (под ред. Демидовича Б.П. и

Ефимова А.В.) – 1986, ч.1 – 464 с.

Марина Мунировна Капшанинова

Владимир Павлович Максимов

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Практикум

Редактор: В.К. Трофимов Корректор: Д.С. Шкитина

Подписано в печать Формат бумаги 60х84/16, отпечатано на

изд. л. 1,0 , зак. № , тир. 100 экз., СибГУТИ 630102, Новосибирск, ул. Кирова, 86.

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]