Дифференциальная геометрия. Практикум

10. Найдите кривизну и кручение линии

11. Найдите значения a и b, при которых кривизна кривой(t) = t(a ch t, a sh t, bt) во всех точках равна кручению данной кривой.

Указание. Найдите кривизну k1(t) и кручение k2(t) кривой (t)

ииспользуйте тождество k1(t) = k2(t).

12.Покажите, что прямая, проведенная из произвольной точ-

ки кривой (t) = t(t, t2, t3) параллельно плоскости z = 0 до встречи с осью Oz, лежит в соприкасающейся плоскости кривой в этой точке.

13.При какомусловии центркривизнывинтовой линии лежит на том же цилиндре, что и сама винтовая линия?

Указание. Покажите, чтомножествоцентров кривизны винтовой линии является тоже винтовой линией, и найдите параметризацию последней.

14.Напишите уравнение касательной прямой и нормальной плоскостиклиниипересечениядвухцилиндровx2 + y2 = 1, y2 + z2 = 1

впроизвольной точке p0 = (x0, y0, z0) (y0 1).

Указание. Используйте то, что векторы grad F p0, gradФ p0

перпендикулярныкасательнымплоскостямкповерхностям, заданным неявно уравнениями F(x, y, z) = 0, Ф(x, y, z) = 0 соответственно, а значит, эти векторы перпендикулярны касательной к линии пересечения этих поверхностей.

15.Покажите, что все нормальные плоскости кривой (t) =

=t(a sin2 t, a sin t cos t, a cos t) проходят через начало координат.

16.Составьте уравнение касательной прямой и нормальной плоскости линии, заданной пересечением двух поверхностей

F(x, y, z) = 0, Ф(x, y, z) = 0 в точке p0(x0, y0, z0) (F(p0) = Ф(p0)), если известно, что в точке p0 эти поверхности не касаются.

Указание.Используйтето,чтовекторы grad F p0, grad Ф p0 пер-

пендикулярныкасательнымплоскостямкповерхностям, заданным

41

неявно уравнениями F(x, y, z) = 0, Ф(x, y, z) = 0 соответственно, а значит, эти векторы перпендикулярны касательной к линии пересечения этих поверхностей.

17. Найдите длину дуги линии x3 = 3a2y, 2xz = a2 между плос-

костями y a, y = 9a.

3

Указание. Выразитеy и z через x и рассмотритекривую (x) =

= t(x, y(x), z(x)).

18.Докажите,чтолиния α(t) t et/ 2 cost,et/ 2 sin t,et/ 2 лежит на конусе x2 + y2 = z2 и пересекает его образующие под углом 45°.

Указание. Найдитепараметризацию прямолинейной образующей ( )конуса с данным направляющим вектором a( ), получен-

ным поворотом на угол вокруг оси Oz вектора а0, а0 1, направляющегопрямолинейнуюобразующуюконуса вплоскостиxOz. Затем найдите значения t и такие, что точка (t) = ( ) является точкой пересеченияпрямолинейной образующей и кривой.Найдите косинус угла между векторами α(t) и a( ).

19.Дана кривая (t) = t(t, t2, t3). Напишитеуравнениякасательной прямой и нормальной плоскости в произвольной точке. Какая линия получается в пересечении касательных к кривой (t)с плоскостью xOy?

20.Найдите такую функцию f(t), чтобы кривая

(t) = t(a cos t, a sin t, f(t))

была плоской.

Указание. Используйте то, что кривая является плоской тогда

итолько тогда, когда справедливо тождество α(t), α(t), α(t) 0.

21.Найдите репер Френе в произвольной точке для кривой

(t) = t(cos3 t, sin3 t, cos 2t) (sin 2t > 0).

Указание. Вовсехформулах используйтевыражениячерезsint, cos t.

22. Набинормаляхкривой (t)=t(cos cost,cos sint,tsin ),

= const, (– /2, /2) в положительном направлении отложены отрезки постоянной длины, равной единице. Напишите уравнение

42

соприкасающейся плоскости кривой (t), состоящей из концов этих отрезков.

Указание. Ищитекривую в виде (t) = (t) + E3(t). Используйте при этом формулы cинуса (косинуса) разности.

23. Покажите, что замкнутая кривая (t)= t(cos3 t, sin3 t, cos 2t) имеет длину s = 10.

Указание. Найдите период этой кривой.

на главной ее нормали в направлении вектора E2(t) отложен отре-

зок длины a 1 sin2 t .Докажите, чтолиния, составленнаяиз кон-

2

цов этих отрезков, есть синусоида, лежащая в плоскости y = a. Напишите уравнение этой синусоиды.

Указание.ДлянахождениявектораE2(t)найдитенатуральную па-

Ответы

№2. R( ) 3 2 ae . 2

№4. 3x + 3y + z + 1 = 0 (t1 = –1), 3x – 3y + z – 1 = 0 (t2 = 1), 108x – 18y + z – 216 = 0(t3 = 6).

43

№11. При a = b.

№13. При a = b.

№14. Уравнение касательной: x x0 y y0 z z0 .

№17. 9a.

№19. Парабола y 3 x2.

4

№20. f(t) = C1sin t + C2 cos t + C3.

№22.xsin sin(t – ) – ysin cos(t – ) + z – t sin – cos = 0.

№24. M (1, ln 2, –4), t = 2.

44

n

пространства .

П е р в о й ф у н д а м е н т а л ь н о й ф о р м о й поверхности f в точке p называется билинейная форма, опреде-

ляемая равенством Ip X,Y X,Y для касательных векторов

X, Y Tp f.

Пусть (t): I U, ( ): J U – гладкие кривые, проходящие через точку р U, и β f α, γ f δ, X dβ βdt,Y dγ γdτ,(t) =t(u1(t), ..., un(t)), ( ) =t(v1( ), ..., vn( )). Тогда

Обозначимчерез [Ip]= (gij), где gij fui , fuj , матрицупервой

фундаментальной формы. Получим явное представление первой фундаментальной формы

n

Ip X,Y t X Ip Y gijduidvj.

i, j 1

Первой квадратичной формой поверхности f в точке p назы-

вается квадратичная форма

n

Ip X, X t X Ip X gij duiduj.

i, j 1

Длина кривой на поверхности f равна

Угол между кривыми и на поверхности f в их точке пересечения вычисляется по формуле

46

Две кривые на поверхности называются ортогональными, если угол между ними в точке их пересечения прямой.

Объем (площадь для n = 2) области f(U) поверхности равен:

vol f U g p du1du2...dun ,

U

где g(p) = det (gij (p)).

Поверхностью вращения называется поверхность f, полученная вращением кривой (u) = t(x(u), 0, z(u)), где x(u) 0, вокругоси Oz. Еепараметризацияf(u,v) = t(x(u) cos v, x(u) sin v,z(u)); u-линии, v-линии поверхности вращения называются, соответ-

ственно, меридианами и параллелями поверхности f.

Локсодромой на поверхности вращения называется линия, которая пересекает все меридианы под постоянным углом.

Задача 5. На прямом геликоиде f(u,v) = t(u cos v, u sin v, av) (рис. 6) найти u-линии, v-линии; стандартный базис касательного пространства Tp f и уравнение касательной плоскости; матрицу первой фундаментальной формы и самупервуюфундаментальную форму; периметр и сумму углов криволинейного треугольника,

образованного кривыми u av2 , u 0, v 1, на поверхности. 2

Решение.Прямолинейнаяобразующая (u)=t(ucosv0, usinv0, av0), u , пересекающая ось Оz под прямым углом в точке (0, 0, av0) с направляющим вектором s (cosv0,sinv0, 0), является u-линией поверхности; винтовая линия (v) = t(u0 cos v, u0 sin v, av) является v-линией поверхности (см. рис. 6).

47

z

(u)

fv

fu

х

(v) f(p)

0

y

Рис. 6

Векторы fu = t(cos v, sin v, 0), fv = t(–u sin v, u cos v, a) образуют стандартный базис касательного пространства Tp f. Найдем вектор

n = fu fv = t(a sin v, –a cos v, u),

вектор нормали касательной плоскости. Мы видим, что n 0, т. е. векторы fu и fv не коллинеарны для любых u,v , значит, отображение f(u, v) действительно является поверхностью. Касательная плоскость Tp f проходит через точку f(u, v) = t(u cos v, u sin v, av), следовательно, ее уравнение

asinv(х – ucosv) + (–acosv)(y – usinv) + u(z – av) = 0.

Послепреобразований получим axsinv – aycosv + zu – auv = 0. Найдемкоэффициенты матрицы [Ip]первой фундаментальной

формы:

g22 fv , fv u2 a2.

48

Таким образом,

где X fu t du1, dv1 , Y fv t du2 , dv2 .

Пусть 1, 2, 3 –сторонызаданногокриволинейноготреуголь- ника на геликоиде, а кривые 1, 2, 3 – их прообразы в области

определения поверхности i f αi , i 1,2,3 (рис. 7).

49

Найдем длину кривой 1:

l 1 Ip d 1,d 1 g11 p du12 2g12 p du1dv1 g22 p dv12

l 2 Ip d 2,d 2 g11 p du22 2g12 p du2dv2 g22 p dv22

Как мывидим, длиныкривых 2 и 2 совпадают. Этоследствие того, что образ кривой 2 на поверхности – это отрезок u-линии, которая является прямолинейной образующей геликоида.

Наконец, найдем длину кривой 3:

l 3 Ip d 3,d 3 g11 p du32 2g12 p du3dv3 g22 p dv32

ресечения f(q), где q – точка пересечения кривых 1 и 2. Очевид-

50