Динамические процессы, энтропия и информация в природных и социально-экономических системах

Видимо, при расчетах компенсаций был использован закон нормального рас-

пределения (плавная кривая), компенсировали средние затраты, но больше половины льготников были недовольны. Даже когда добавили σ, потом 2σ, может быть 3σ, то осталось много недовольных: бывшие военные, полярники, милиционеры, которые ездят из пригородов в Москву на заработки. В результате – огромные траты из казны,

а льготный проезд из пригородов пришлось оставить.

9. Технология “организованного хаоса” Джорджа Сороса

Одной из моделей, показавшей свою работоспособность в условиях джокера,

является модель рефлексивного управления Дж. Сороса (по [5]).

Рефлексия – способность человека встать на чужую позицию или подняться над позициями других и своей собственной. Рефлексивное управление – это передача воз-

действия на всю систему ценностей, целей и образа мышления тех, кем приходится управлять, навязывание противнику (или партнеру) ложного образа, подталкивающе-

го к определенным действиям. Рефлексивное управление эффективно работает в предвыборных кампаниях, маркетинге, PR-акциях.

Принципы рефлексивного управления: реальная ситуация влияет на мышление и поведение участников, а их мышление и поведение воздействуют на развитие ситу-

ации, участниками которой они являются. Превалирующие представления участни-

ков, которые в силу своей природы несовершенны, во многом определяют ход собы-

тий и его принципиальную неопределенность. Эволюцию цен на финансовых рынках можно рассматривать как рефлексивный процесс; биржа с ценами акций и ожидания других биржевых игроков является внешней средой, объектом управления субъекта,

играющего на бирже. Биржу можно представить в виде системы, состоящей из равно-

правных взаимодействующих элементов (игроков). На Рисунке 9 один игрок выделен

(Я), и показано его взаимодействие с биржей: получаемая информация порождает ожидания Y, которые порождают цену X, которую игрок готов заплатить за акции.

Аналогичная физическая модель представлена на Рисунке 10 в виде взаимосвязанных масс. Если взаимодействие элементов в системе линейное, то они будут совершать

31

синусоидальные колебания, в противном случае система может совершать неперио-

дические колебания, напоминающие колебания цен на фондовом рынке, в некоторых случаях их амплитуда может неограниченно возрастать, то есть происходит катастро-

фа. Более подробно поведение систем с нелинейными связями рассмотрено в разделе

10.

Рис. 9. Взаимодействие выделенного игрока (Я) с биржей.

Рис.10. Физическая модель биржи:

1)линейное взаимодействие и синусоидальные колебания;

2)нелинейное взаимодействие, амплитуда может расти неограниченно.

В математическом аппарате модели используются две рекурсивные, т.е. взаимо-

зависимые на каждом шаге функции:

32

Y = f(X) когнитивная,

X = φ(Y) воздействующая.

Первая функция описывает зависимость мышления от ситуации, вторая - зави-

симость ситуации от мышления. На Рисунке 11 эти функции представлены кривыми

Гу и Гх. Рефлексивный процесс начинается с точки х1, по когнитивной функции вы-

числяют у1, затем по рефлексивной функции вычисляют х2 и т.д.

На Рисунке 11А траектория рефлексивного процесса образует ―лестницу Лемар-

рея‖, которая сначала ускоряясь, а потом замедляясь, устремляется к точке устойчиво-

го равновесия. На Рисунке 11Б имеется критическая точка пересечения кривых (х1*,

у1*). Слева от нее процесс характеризуется спадом со стабилизацией в окрестности нуля, а справа от нее процесс характеризуется сперва ростом, а затем стабилизацией в окрестности точки (х2*, у2*).

На Рисунке 11В изображена рефлексивная система ―трагического‖ содержания.

Начавшись с безудержного роста, процесс, дойдя до своего экстремального состоя-

ния, неожиданно срывается в результате структурной катастрофы и затем медленно угасает под своими обломками. Это как раз тот процесс, когда происходит крах на фондовых и валютных рынках: сначала самоусиление, потом самоподавление и крах.

Если в самом начале такого рефлексивного процесса войти в игру с максимумом вло-

жений, а затем, перед самым пиком, выйти из игры, то можно сорвать прибыльный куш, что не раз удавалось сделать Джорджу Соросу. Все дело в том, чтобы уловить

(отрефлексировать) этот момент.

На Рисунке 11Г приведен другой тип рефлексивной системы – соотношение графиков когнитивной Гу и воздействующей Гх функций таково, что до срыва дело не доходит, но рефлексивный процесс квазислучайным образом мечется вокруг точки неподвижности (х*,у*): ситуация то на грани краха, то неожиданно меняется в луч-

шую сторону. Рефлексивные системы и процессы такого рода являются раем для удачливых игроков на финансовых рынках, головной болью для менеджеров нацио-

нальных экономик и головоломкой для ученых-экономистов.

33

где x – отклонение от положения равновесия, k – жесткость пружины, деленная на массу. В данном случае вторая производная отклонения пропорциональна откло-

нению и имеет обратный знак. Решение такого линейного уравнения, полученное ана-

литически

x(t) = A Sin( t + ),

где А – амплитуда колебаний, - угловая частота, - начальный угол (фаза) ко-

лебаний. А, , зависят от начальных условий – отклонения и скорости. График, опи-

сывающий такой процесс – бесконечная синусоида. Если дифференциальное уравне-

ние сделать нелинейным, например

то решить его в аналитическом виде будет сложно или нереально. Нелинейные дифференциальные уравнения и их системы обычно решают с использованием ком-

пьютеров. Для обучения и изучения простых моделей удобен Excel, можно использо-

вать MatCad, MatLab, другие специализированные пакеты программ. В особо слож-

ных случаях, например для прогноза погоды, используются самые мощные суперком-

пьютеры. Нелинейные уравнения решают методом конечных разностей, который дает приближенное решение в виде таблицы и графика. На рисунке 12 приведен пример численного решения этого уравнения в среде Excel. В строке 2 заданы начальные зна-

чения х и скорости V, в ячейке С3 вычислено начальное ускорение, скорость в В3 рав-

на В2+С3, значение х в А3 равно А2+В3. Временной интервал равен 1. Формулы стро-

ки 3 копируем вниз, получаем решение в виде таблицы. В отличие от линейного урав-

Рис.12. Численное решение дифференциального уравнения.

35

нения, здесь через некоторое количество шагов происходит резкий рост отклонения х,

т.е. ―катастрофа‖. Изменяя параметр k и начальные значения x и V можно исследовать процесс при различных начальных условиях. Даже простые примеры показывают су-

щественную зависимость решения от начальных условий.

На рисунке 13 приведены графики, полученные при численном решении урав-

нения Г. Хатчинсона, которое описывает количество N членов популяции животных,

у которых имеется заданное количество пищи:

dN/dt = r (1- N (t- h)/K) N(t),

где r – относительный коэффициент роста (Мальтуса), К – средний размер по-

пуляции, h – время запаздывания, связанное с возрастной структурой популяции.

Очевидна зависимость вида функции N от параметра r, а при небольшом изменении r

с 0,554 до 0,555 N стремится к - , т.е. происходит катастрофа.

Рис.13. Результаты численного решения уравнения Г. Хатчинсона при К = 100, h=5 и различных r.

На рисунке 14 приведен пример с другими законами взаимодействия. Зайцы едят капусту, размножаются, а при дефиците капусты вымирают пропорционально квадрату дефицита. Здесь

y = y t-1 +100 – ked * z t-1 - капуста

36

z = z t-1 + z t-1 kr – ks (z t-1 /y)2 - зайцы

Вначале было 1000 кочанов капусты и 10 зайцев, каждый день вырастает 100

кочанов и ked* zпред кочанов съедают; к предыдущему количеству зайцев добавляется zпред*kr, пропорциональное их количеству, что ведет к экспоненциальному росту, а их смертность ks*(zпред /y)2 пропорциональна квадрату соотношения зайцев и капусты; rz

– прирост зайцев, sz – их смертность. Если понимать термин ―капуста‖ в жаргонном смысле, то задача из экологической становится экономической. В данном случае про-

цесс заканчивается стабилизацией количества капусты и зайцев. При изменении ко-

эффициентов или законов, например функции смертности зайцев, процесс может принять колебательный характер или закончиться катастрофой, когда вся капуста бу-

дет съедена, а затем вымрут зайцы. Можно добавить в систему волков, которые будут размножаться, поедать зайцев и вымирать при недостатке зайцев. Попробуйте, это ин-

тересно.

Аналогичную модель социально-экономической системы построил норвежский математик-экономист, лауреат Нобелевской премии Т.Хаавелмо (Trygve Magnus Haavelmo), который изучал системы одновременных уравнений, описывающие эко-

номические процессы. Он предложил систему из двух уравнений, описывающих раз-

витие системы, включающей в себя N людей (население), производящих и потребля-

ющих Y единиц продукции, причѐм Y отстаѐт от N. Прирост населения пропорциона-

37

лен его количеству (модель Мальтуса), но при дефиците продукции происходит убыль

населения.

Y AN c

где N – население

Y – произведѐнная продукция a, b, c, A – коэффициенты.

Нами проведено исследование данной системы уравнений методом конечных разностей в среде Excel. Начальное население N = 100, временной интервал dt = 0,01.

Далее приведѐн пример: часть таблицы Excel с формулами и результатами расчетов.

Таблица 1.

Некоторые результаты расчѐтов представлены в Таблице 2 и на Рисунке 1. Из-

менѐнные коэффициенты очерчены рамками. Номера графиков на Рисунке 1 соответ-

ствуют номерам колонок в Таблице 2.

Таблица 2.

38

Фрагмент таблицы Excel для расчѐтов представлен в Таблице 3, результаты рас-

чѐтов – в Таблице 4 и на Рисунке 15.

Рис.16. Динамика популяции и криминала в зависимости от параметров системы.

Рассмотрение Таблицы 4 и Рисунка 16, а также эксперименты с начальными значениями N и K приводят к следующим выводам:

1. Население и криминал могут испытывать значительные колебания в начальной стадии процесса, но в конечном итоге стремятся к асимптотам, если не

40