Анализ режимов работы системы отопления с элеваторным смешением. Учебное пособие

по формуле(8)

по формуле(2)

по формулам(13)-(15)

hк/hо по (13)-(15)

1

0,9

0,8

d3

0,7

0,6

dp/

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

0

0,1

0,2

0,3h2/h00,4

0,5

0,6

0,7

Рис. 2е. Зависимости отношений диаметровсопла и камеры см е-

шения dр/d3, hk/h0 от относительного повышения разностей давле-

ния h2/h0

в соответствии с точным решением (2а), (13)–(15) и при-

ближенным уравнением (8);u=0,6

Анализ зависимостей, приведенных на рис. 2, показывает, что

при работе на средней ветви приближенное уравнение (8) может да-

вать значительное завышение напора, создаваемого элеваторным

узлом. Очевидно, что при высоких значениях dр/d3

существует мак-

симально возможное значение коэффициента смешения. Например,

приdр/d3=0,6 значение u=2,2принципиальнонедостижимо.

Получим уравнение для оптимальных режимов работы элева-

торных узлов, исходя из

приближенного уравнения (8).

Так как

f3=fн+fр, то уравнение (8), являющееся кубическим уравнением отно-

сительно fр/f3, можно рассматривать как2

квадратное уравнение, ко-

эффициенткоторого приквадрате (fр/f3)

зависитотfр/f3

fр

2

ϕ1ϕ

h2

3 = A ±

A − A

2

2

0,

A =

f

ϕ

ϕ

1 h

.

ϕ

ϕ

2 − 3 (1 + u)

2

2 −

12

u

1 −

3

− 2

2

2

2

fр

4

f

Плюс и минус соответствуют нижней и средней ветвям кривых,

приведенныхна рис.2а.

Условием оптимального режима является равенство нулю дис-

криминанта, то есть,

ϕ ϕ

ϕ ϕ

fр

h2

2

2Aopt =

2

opt,

f3 opt = Aopt =

h0 opt =

1

ϕ1

2 f3

fр

. (9)

2

2

ϕ

2

fр

ϕ

ϕ

2

− 2

12 u 1 −

3

2 − 3 (1 + u)

2 −

opt

4

f

Из (9) следует, что уравнение оптимальных режимов в коорди-

натах dр/d3, h2/h0

представляет собой параболу четвертой степени и

совпадает с результатом, приведенным в первом издании моногра-

фии Е. Я. Соколова, Н. М. Зингера «Струйныеаппараты» [9]. Последнее

соотношение является квадратным уравнением с постоянными ко-

эффициентамиотносительно(fр/f3)opt

в виде

2 −

ϕ2

2

fр

2

3 (1 + u)

f3 opt +

22

+ 2

ϕ

2 −

2

u

2

− 2 −

3 (1 + u) −

2

fр

+ 2 = 0.

ϕ1

ϕ2

2

ϕ

opt

ϕ

4

f3

Физически оправданным является единственный корень этого

уравнения

fp⁄f3 opt = B − √B

2

− C =

ψ

(10)

B =

(u),

,

+ 2 −

(1 +2u)

− 22

−

4 u

ϕ2

ϕ32

2

ϕ2

ϕ12

2

2 2 −

ϕ3 (1 + u)

C =

2 −

ϕ

2

∙

ϕ2

2

3 (1 + u)

Определим оптимальное значение диаметра ЦКС для системы

отопления с заданным гидравлическим сопротивлением Soт. Потери

давления в системе отопления при квадратичном режиме течения

равны

2

2

ρ

2

ϕ2

2

h2=SoтG0

(1+u) =Soт2h0

fp

1

(1+u) ,

h0 opt

= 2Sотfp

1

(1 + u)

=

= 2Sот

h2

1

2

ϕ2

ρ

=

2

2 f3 opt,

f3 opt f3opt

(1 + u)

2

1

откуда найдем f3opt

fр

2

2

ϕ2

ρ

ϕ2ϕ

fр

иd3opt

ϕ

2 1/2,

f3opt =

2

ψ

ρ

от2

d3opt

ϕ

(u) S

(1 + u)

(11)

= 8 2

⁄[

2

(u)

(1 + u)2] 1/4 4 Sот .

Соотношения (11) являются точными, в отличие от приближен-

π

ψ

ρ

ных, приведенных в [7, 9]. Для практически значимого диапазона ко-

эффициентов смешения u=1–3 величина первого множителя в по-

следнем уравнении изменяется от 0,168 до 0,157 и может быть

при-

нята равной среднему значению 0,16 для размерностей Soт, Па с

/кг ;

d3, м

d3opt

≈ 0,16⁄4 Sот

,

2

2

23

что совпадает с результатом [10]. При широко распространенном

значении коэффициента смешения u=2,2

dр

h2

d3 opt = 0,3520,

h0 opt = 0,1090.

Результаты решения точного уравнения (2) приводятся на

рис. 2б–2е. Например, для u=2,2 численные значения оптимальных

параметров равны

h2

dр

d3 opt = 0,3460,

h0 opt = 0,1075.

Следует отметить, что диаграмма режимов работы элеваторного

узла в координатах dp/d3, h2/h0

является удобной для использования

3. ВЫВОД И АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ

ЭЛЕВАТОРНОГОУЗЛА ПРИ РАСПОЛОЖЕНИИ СОПЛА

НАРАССТОЯНИИ ОТВХОДАВКАМЕРУ СМЕШЕНИЯ

Уравнение (2) справедливо в точности для сопла, расположенно-

го на входе в ЦКС. В реальных элеваторных узлах сопло находится на

расстоянии 1–1,5 диаметра ЦКС перед входным сечением камеры

смешения. В связи с этим в [9] приводится система уравнений, позво-

ляющая в рамках рассматриваемой задачи определить величину

h2/h0. Воспроизведем эти результаты. На рис. 3 представлены обо-

значения. Здесь параметры среза сопла имеютиндекс “р1”, входа в

камеру смешения для активного потока – “р2”, для подмешиваемого

потока на входе в цилиндрическую камеру смешения – “н2”. Очевид-

но, что f3=fp2+fн2. Давлениена срезесопла равнодавлению подмеши-

ваемого потока на входе в приемную камеру p

1=pн, на участке при-

емной камеры между срезом сопла и ЦКС происходит дальнейшее

падение давления смешиваемых потоков до величины pк. Исходным

по-прежнему является уравнение (1). Отличие от предыдущего вари-

анта, кроме изменения индексов, состоит в том, что расход активного

потока в сопле определяется в настоящем случае перепадом давле-

нияh0

ϕ2

1

+ u2

−(1 + u)2

1

=

[(pс − pк) −

(2pс

− p3)]ρf3.

(12)

f 2

fн

f3

G0

ϕ

ρ

результате

(12) примет вид

ρ

В

ϕ

1

(h2 + hк) −ρ0,5ϕw3

3

f3

u

2

2

1

2

fр2

+

fн2

−

(1 + u)

f3

=

2h0

2

2

=

ϕ

fр1

1

ϕ

h2

hк

f3ϕ

(G0 + Gн)2

32

h2

hк

f3ϕ

(1 + u)2

32

.

= h0

+ h0

2f

р21

2 −

2G02f3

2

= h0

+ h0

2f

р21

2 −

2f3

1

/h

0

1

Отсюданайдется отношение h

− 2 −

3 f3

(1 + u)

∙

(13)

h0 = −h0

+

f3

1

2

2

f

2

+ fн2 u

h2

hк

fр1

2

fр1

fр1

2

2

fр1

2

Уравнения

неразрывности

дляпотоков в этом случае примут вид

Gн =

ϕ

ϕ

fн2,

ϕ

G0 =

ϕ

fр1,

4

2hк

12h0

2

2

2

uϕ

2

2

2

2

ϕ

ρ

hк

1fр1

ϕ

ρ

h0

=

4fн2

.

(14)

25

чета обоих рассмотренных случаев. Отсюда видно, что у точного ре-

шения для сопла, отодвинутого от ЦКС, также существуют только две

физические ветви. Положение оптимальных режимов достаточно

точно описывается уравнением (9), полученным из приближенного

уравнения (8). Погрешность в определении величины оптимальных

напоров, создаваемых элеваторными узлами, не превышает 1% для

коэффициентовсмешения в диапазоне 3,4–0,6.

Решение (13)–(15) дляu=2.2дает

h2

dр

d3 opt = 0,3560,

h0 opt = 0,1077.

ри давления на них — hA, hB, hC, hD, hот. Будем считать, что располага-

емый перепад давления тепловой сети h перед элеваторным узлом

остается постоянным при изменении сопротивления регулировоч-

ной арматуры. Режимы течения всех потоков считаются квадратич-

ными.Получиманалитическиезависимости коэффициента смешения

от величины гидравлическогосопротивлениякаждогоиз вентилей.

и

Влияние сопротивления вентиля B. Для системы отопления

контура циркуляции справедливы соотношения, следующие из зако-

на сохранениямеханическойэнергиипотока,

h=hА+h0

h2+hС+hD+hот

hE,

h2+hE=hС+hD+hот+hB,

где h, h0, h2, hE — потеря напора в сопле, повышение напора подме-

−

−

шиваемого потока в элеваторе, гравитационный циркуляционный

напор в контуре системы отопления. Пренебрежем потерей давления

в открытом вентиле А и введем обозначение для сопротивления си-

стемы отопления с вентилями C и D SSOT=SC+SD+S

и соответствую-

щих потерь давления hSOT=hС+hD+h

т. Величина этого сопротивления

может изменяться от минимального значения, соответствующего

полностью открытым вентилям C и D, до бесконечности при их за-

крытии.Тогда уравнения, приведенные выше, примут вид

h=h0

h2+hSOT−

hE,

−

hSOT+hE)(h2/h0)=(h+hB)(h2/h0).

h2=hSOT+hB

hE=h0(h2/h0)=(h+h2

−

−

Окончательнополучим

−

hE=(h+hB)(h2/h0).

hSOT+hB

Вначале пренебрежем гравитационным циркуляционным напо-

ромhE=0.

С учетом приближенного уравнения (8) и потерь напора в конту-

ре циркуляцииимеем

2

[SSOT(1 + u)

2

+ SBu

2

]

≈

G0

(h + hB) 1

fр

2

2 + 2

ϕ

2

−

2

fр

u

2

− 2 − 3

fр

(1 + u)

. (16)

ϕ2

ϕ

ϕ1

ϕ2

2

f3

4

fн

f3

Расход сетевой воды через сопло элеватора определяется пере-

падом давления h+hB+h , тогда из уравнения неразрывности с уче-

том соотношения для

скорости

ρ

G0

ϕ

истеченияполучим

=

1

2(h + hB + hк)

fр .

2

2

2

С этим учетом уравнение (16)принимает вид

29

2ρfр2[SSOT(1 + u)2

+ SBu2

](1 + hк⁄(h + hB))

≈

.

(17)

≈

fр

2

2

+ 2

ϕ

2 −

2

fр

u

2

− 2 −

3

fр

(1 + u)

2

ϕ

ϕ1

ϕ2

f3

4

f

f3

и сопротивлений

При заданных параметрах элеваторного узла

системы отопления, вентиля В и потерь давления в приемной камере

это уравнение является квадратным относительно коэффициента

смешения.

стремится к

Случай большого сопротивления вентиля В. Пусть SВ

бесконечности, то есть, вентиль В закрывается. Очевидно, что урав-

нение (17) имеет решение только· 2

в том случае, если u

0, причем

таким образом,

что слагаемое SB u→

стремится к постоянному значе-

нию,определяемому из (17)при u

0

→

2 − 2 −

32 ff3р ,

hк

0,

2

fр2

[SSOT

+ SBu2] ≈ ff3р 2

→

ρ

f3р

2ϕ2 − ρ2 − ϕ32 f3р

ϕ

ϕ

SBu2 ≈

f

2

2

f

− SSOT.

fр

Отношениепотерь напора на вентилеВ и всистемеотопления

вэтом случае равно

2

fр

ϕ

ϕ

2

fр

B

B

2 2 − 2 −

h

u

3

3

3

=

S

≈ f

2

f

f

− 1.

hSOT

SSOT

2SSOT

Случай произвольного

сопротивления

вентиля В. Расход сетевой

ρ

воды, циркулирующей в системе отопления при произвольном со-

противлении вентиля В, будетравен

12 fр (h + hк

+ G0SBu

)

,

G0

=

1

2(h + hB

+ hк)

fр

=

2

2

2

2

2

2