Физико-математические методы расчета нефтегазового оборудования. Практикум

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1,27 ×0,111

1,27 ×0,111

0,086 ≤ 4 ≤ 5,4 –

условие выполняется.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

639 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Глава 4. КОЛЕБАНИЯ И ВИБРОИЗОЛЯЦИЯ

4.1. Свободные колебания системы с одной степенью свободы без затухания описываются уравнением:

					y ' + ω2 y = 0 ,
где	ω =		k	–	круговая частота колебаний, рад/с,
	ω =		m	–	круговая частота колебаний, рад/с,
			m
	k			–	жесткость пружины,
	m			–	масса системы, кг.
	Решение этого уравнения имеет вид:
					y = λ × Sin(ωt +α ),
где	λ	–		амплитуда колебаний, м,
	t	–		время, с,

α– фаза колебаний, рад.

4.2. Свободные колебания системы с одной степенью свободы с затухания описываются уравнением

			y ' + 2 fy' + ω2 y = 0 ,
где	f	– коэффициент затухания.
	Решение этого уравнения имеет вид
			y = λ × e− ft × Sin(ω t +α ),
		1
где	ω1 =		– круговая частота колебаний, рад/с.
где	ω1 =	ω 2 − f 2	– круговая частота колебаний, рад/с.

4.3. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы без затуханий описываются уравнением

		y ' + ω2 y =	P0	SinWt ,
		y ' + ω2 y =		SinWt ,
			m
где P0	–	максимальное значение внешней силы, Н,
Ω	–	круговая частота изменения внешней силы, рад/с.

Для начальных условий вида

t = 0, y' = 0 ,

решение этого уравнения может быть записано в виде:

y = −	q	Cosωt +	q	CosΩt ,
	ω 2 − Ω2		ω2 − Ω2

где q = P0 . m

Совпадение частоты возбуждающей силы и частоты свободных колебаний называется резонансом, а эта частота называется критической. При резонансе амплитуда возрастает на мгновенно, а пропорционально времени:

λ =	q	t .
λ =	2Ω	t .
рез	2Ω
рез

4.4.Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы

сзатуханием описываются уравнением

y ' + 2 fy' + ω2 y = P0 SinΩt ,

				m
решение которого имеет вид
y = λ ×e− ft × Sin(ω t +α )+				q(ω2 - W2 )	CosWt +
y = λ ×e− ft × Sin(ω t +α )+			(ω2	- W2 )+ 4 f 2W2	CosWt +
1			(ω2	- W2 )+ 4 f 2W2
1
	2qfW
+	(ω2 - W2 )+ 4 f 2W2	SinWt.

4.5. Критическая скорость вала с одним диском в коротких подшипниках определяется формулой [1]

		Ω2кр =	3gEIl
				,
				,
			G(l − a)a
где E	–	модуль упругости материала вала, МПа,
I	– момент инерции поперечного сечения вала, м4,
G	–	вес диска, Н,
l	–	расстояние между подшипниками, м,
a	– расстояние от одного из подшипников до диска, м.

4.6. Критическая скорость вала с одним диском в длинных под-

шипниках определяется формулой [1]
Ω2	кр =	3gEIl3		.
		G(l	− a)3 a3

4.7.Критическая скорость вала с одним диском в одном коротком

ив одном длинном подшипниках определяется формулой [1]

Ω2	кр =		12gEIl3
					.
		Ga3	(l − a)2
				(4l − a)

4.8. Критическая скорость консольно закрепленного вала с одним диском на незакрепленном конце определяется формулой [1]

Ω2 кр = 3gEI . Gl3

4.9. Исходными данными для расчета пружинных виброизоляторов являются [6]:

–масса изолируемой установки m , кг;

–количество всех однотипных пружин в виброизолируемой установке n , шт.;

–число оборотов машины N , об/мин;

–коэффициент снижения частоты α ;

–напряжение на кручение [τ ] и модуль сдвига G материала виб-

роизоляоров.

Расчет начинается с определения статической нагрузки на один виброизолятор

			Р =			mg
			Р =
			ст			n
						n
и жесткости пружины в вертикальном направлении
			Кz =	4π 2 mf02			,
			Кz =				,
					α 2n
где f0	=	N	– частота вынужденных колебаний машины, 1/с.
где f0	=		– частота вынужденных колебаний машины, 1/с.
	60

Диаметр прутка, требуемого для изготовления пружинного виброизолятора, определяется формулой:

		d ³1,6	kPc
				,
			[τ ]	,
где c	– индекс пружины, который рекомендуется принимать от
		4 до 10,
Р	–	расчетная нагрузка, Н,
k	–	коэффициент, рассчитываемый по выражению

k = - 4 ×10-5 × c5 + 0,0019× c4 - 0,0339× c3 + 0,2974× c2 -1,3276× c + 3,6756.

Число рабочих витков находят по формуле

	i =		Gdnα 2	,
	i =		32mgc3 f 2	,
			32mgc3 f 2
		0
а полное число витков
		iΣ = i + i1 ,
где	i1 – число мертвых витков, принимаемое равным 1,5 на оба
	торца пружины, если число рабочих витков меньше 7, и
	2,5 если i ³ 7 .
Остальные параметры пружины определяются формулами:
–	диаметр пружины
			D = cd ;
–	шаг пружины

h = D ... D ;

–высота ненагруженной пружины

H = ih + (i1 − 0,5)d .

Устойчивость пружины проверяется по неравенству

H £ 5,1.

4.10. Резиновые виброизоляторы применяют при частоте вынужденных колебаний машины не выше 15 Гц [6]. Исходными данными для их расчета являются:

– масса изолируемой установки m , кг;

–количество всех однотипных виброизоляторов n , шт.;

–число оборотов машины N , об/мин;

–коэффициент снижения частоты α ;

– допускаемое напряжение на сжатие [σ сж ] и модуль упругости E материала виброизоляоров.

Рабочая высота выбоизоляторов

hр	=	α 2 E
					.
		4[σ
			сж	]f 2
				0

Площадь всех резиновых изоляторов определяется формулой

F= [ mg ].

σсж

При этом количество всех однотипных виброизоляторов должно удовлетворят условию

			sF	≤ т ≤			sF	,
			64h2	≤ т ≤				,
			64h2				h2
			р				р
где	s	– коэффициент, равный 1 для квадратных в сечении виб-
		роизоляторов, и равный 1,27, если сечение круглое.
	Размер поперечного сечения изолятора может быть определен как

			A =		sF
						,
						,
					n
где	A	– размер поперечного сечения изолятора (для изолятора
		квадратного сечения –			сторона квадрата, для круглого
		изолятора – диаметр),

при этом должно выполняться условие

1,0 ≤ A ≤ 1,5 . hр

Высота резинового элемента с учетом ребристости или перфорации

H = hр + A .

Примеры

Пример 4.1. Определить размеры 4-х пружинных виброизоляторов, необходимых для снижения вибрации машины массой 5000 кг, колеблющейся с частотой 15 Гц и коэффициентом снижения частоты α = 4 . Материал виброизоляторов – сталь 50ХФА.

Решение. Определим статическую нагрузку на один виброизолятор:

Рст = mg = 5000×9,81 =12252,5 Н n 4

и жесткость пружины в вертикальном направлении:

Кz	=	4π 2 mf02	=	4 ×π 2 ×5000×152	= 46263,8 Н/м.
		α 2n
			42 ×4

Тогда диаметр прутка, требуемого для изготовления пружинного виброизолятора, составит величину


d ³1,6	kPc	=1,6	1,298×12252,5 ×5		= 0,02 м
	[τ ]			5 ×108

при принятом с=5 и рассчитанном k=1,298. Число рабочих витков

i =	α 2Gdn	=	42×7,85×1010 ×0,02×4	= 2,28 » 2,5,
	32mgc3 f02
		32×5000×9,81×53 ×155

а полное число витков

iS = i + i1 = 2,5 +1,5 = 4.

Остальные параметры пружины определяются формулами:

– диаметр пружины

D = cd = 5 ×0,02 = 0,1 м;

– шаг пружины

h = D ... D = D = 0,1 = 0,05 м; 4 2 2 2

– высота ненагруженной пружины

H = ih + (i1 - 0,5)d = 2,5 × 0,05 + (1,5 - 0,5) × 0,02 = 0,145 м.

Устойчивость пружины проверяем по неравенству:

H = 0,145 = £

1,45 5,1 – условие выполняется.

D 0,1

Пример 4.2. Определить размеры 4-х круглых резиновых виброизоляторов, необходимых для снижения вибрации машины массой 5000 кг, колеблющейся с частотой 15 Гц и коэффициентом снижения частоты α = 4 . Материал виброизоляторов – ИПР-1347.

Решение. Для материала изоляторов допускаемое напряжение на сжатие [σ сж ] и модуль упругости E рассчитываются как

				[σ сж ]=0,44 МПа,
				E =3,93 МПа.
Тогда рабочая высота выбоизоляторов
hр	=	α 2 E			=	42 ×3930000	= 0,159	м.
		4[σ сж	]f02			4 ×440000×152

Площадь всех резиновых изоляторов

F= [ mg ] = 5000×9,81 = 0,111 м2.

σсж 440000

Проверяем условие:

Размер поперечного сечения изолятора определяется как

					= 0,188 м,
A =	sF	=		1,27 ×0,111
A =		=	4
	n		4

при этом должно выполняться условие

1,0 £ A £1,5 , hр

1,0 ≤ 1,18 ≤ 1,5.

Высота резинового элемента с учетом ребристости или перфорации

H = hр	+	A	= 0,159 +	0,188	= 0,183 м.

	8		8

Задачи

Задача 4.1. Спиральная пружина обладает жёсткостью k=25 Н/м. Определить, тело какой массы должно быть подвешено к пружине, чтобы за 1 мин. совершалось 25 колебаний.

Задача 4.2. Определить критическую скорость вала с одним диском в коротких подшипниках, если диаметр вала 120 мм, длина вала 1,5 м, диаметр диска 1,25 м, толщина диска 8 мм. Диск расположен посередине. Материал диска – Сталь 12Х18Н10Т.

Задача 4.3. Как изменится критическая скорость вала Задачи 4.2, если диск сместить в одну из сторон на 0,5 м?

Задача 4.4. Определить критическую скорость вала с одним диском в длинных подшипниках, если диаметр вала 50 мм, длина вала 0,8 м, диаметр диска 0,75 м, толщина диска 25 мм. Диск расположен посередине. Материал диска – Сталь 10Г2.

Задача 4.5. Как изменится критическая скорость вала задачи 4.4, если один из подшипников заменить на короткий?

Задача 4.6. Определить критическую скорость консольно закрепленного вала с диском на незакрепленном конце, если диаметр вала 100 мм, длина вала 2 м, диаметр диска 2 м, толщина диска 12,5 мм. Материал диска – Сталь 3.

Задача 4.7. Определить размеры 6-ти пружинных виброизоляторов, необходимых для снижения вибрации машины массой 10000 кг, колеблющейся с частотой 25 Гц, при коэффициенте снижения частоты α = 3,5 . Материал виброизоляторов – Сталь 65.

Задача 4.8. Определить размеры 4-х пружинных виброизоляторов, необходимых для снижения вибрации машины массой 1500 кг, колеблющейся с частотой 100 Гц, при коэффициенте снижения частоты α = 20 . Материал виброизоляторов – Сталь 50ХФА.

Задача 4.9. Можно ли использовать 4 квадратных в сечении резиновых виброизолятора с размером стороны 0,25 м и высотой 0,1 м для снижения вибрации машины?

Задача 4.10. Определить размеры 6-ти круглых резиновых виброизоляторов, необходимых для снижения вибрации машины массой 4500 кг, колеблющейся с частотой 14 Гц, при коэффициенте снижения частоты α = 2. Материал виброизоляторов – 112 А.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение А. Некоторые табличные производные

C = Conct, C ' = 0

(sin(u))' = cos(u) ×u'

(

α )'

×u

α −1

×u

(cos(u))' = -sin(u)× u'

(α u ) =

×u'

(tg(u)) =

× u'

cos2 (u)

uα −1

−1

(au )' = au ×ln(a)×u'

(ctg(u)) =

×u'

sin2 (u)

(arcsin(u))' =

× u'

) = e

×u

1 - u2

(loga

)' =

×u'

(arccos(u))' =

− 1

× u'

u ×ln(a)

1 - u2

(lg

) =

×u'

(arctg(u))' =

×u'

u ×ln10

1+ u2

−1

(ln

)

×u'

(arcctg(u))' =

×u'

1+ u2

Приложение Б. Некоторые табличные интегралы

∫dx = x + C

∫xn dx = xn +1 + C(n ¹ -1) n +1

∫dxx = ln x + C

∫ax dx = a x + C

ln a

∫ ex dx = ex + C

∫cos(x)dx = sin(x) + C

∫dx( ) = tg(x) + C cos2 x

∫dx( ) = -ctg(x) + C sin2 x

∫

x - a

+ C

x + a

- a

∫

= arcsin

+ C

a2 - x2

∫sin(x)dx = − cos(x) + C

∫

+ C

arctg

+ a

∫

= ln

x + x2 ± a2

+ C

x2 ± a2

∫ a

− x

dx =

arcsin

− x

+ C

∫

dx =

x +

+ C

x2 + a2

Приложение B. Допускаемые напряжения для некоторых видов стали

					Таблица В.1
	Допускаемые напряжения для некоторых видов стали

Температура,			Допускаемые напряжения*, МПа
		Ст3	09Г2С	20	10Г2

20		154	196	147	180

100		149	177	142	160

150		145	171	139	154

200		142	165	136	148

250		131	162	132	145

300		115	151	119	134

350		105	140	106	123

375		93	133	98	108

400		85	122	92	92

410		81	104	86	86

420		75	92	80	80

430		71	86	75	75

440		-	78	67	67

450		-	71	61	61

460		-	64	55	55

470		-	56	49	49

480		-	53	46	46

* по ГОСТ Р 52857.1-2007 «Сосуды и аппараты. Нормы и методы расчета на прочность. Общие требования»

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]