Строительная механика расчет статически определимых и неопределимых рам при кинематическом воздействии. Учебное пособие

Момент пары (V A ,V B ) должен равняться 1. Отсюда V A и V B равны 1/3.

ϕk = −∑(RiCi )= −(V A 0−V B C1 +0 C2 )=1/3 0,06 =0,02 рад.

11

2. РАСЧЁТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ ПРИ КИНЕМАТИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Рассмотрим применение метода сил для расчета статически неопределимых систем при кинематическом воздействии.

Порядок расчета такой же, как и при силовом воздействии.

2.1.Выбирают основную статически определимую систему, отбрасывая лишние связи.

2.2.Действие связей заменяют их реакциями Хi.

2.3.Записывают канонические уравнения метода сил:

Физический смысл каждого уравнения: перемещение системы в точке отброшенной связи в направлении этой связи от действия реакций Хi и от кинематического воздействия равно нулю.

Канонические уравнения отличаются от уравнений метода сил при силовом воздействии только свободными членами ic.

2.4. Определяют коэффициенты канонических уравнений.

2.5. Единичные коэффициенты уравнений δik, как и при силовом воздействии, определяются интегралом Мора:

который может быть вычислен по способу Верещагина перемножением единичных эпюр.

2.6. Свободные члены ic равны перемещению точки i-й отброшенной связи в направлении этой связи от кинематического воздействия в статически определимой системе:

где Rik – реакция k-й связи в определимой системе от действия X i = 1; Сk – заданное перемещение k-й связи (кинематическое воздействие).

12

2.7.После определения коэффициентов решают систему канонических уравнений (2.1) и определяют значение Xi.

2.8.Поскольку в статически определимой системе от кинематического воздействия внутренних силовых факторов не возникает, окончательная эпюра изгибающих моментов в эквивалентной или заданной системе равна сумме «исправленных» единичных эпюр:

2.9. При необходимости по эпюре М строят эпюры Q и N. Кинематической проверкой решения является равенство нулю пе-

ремещения в эквивалентной статически определимой системе i-й точки в направлении i-й отброшенной связи, т.е.

Статической проверкой решения является равновесие рамы. Для проверки равновесия необходимо отсечь внешние связи и приложить в сечениях внутренние силы Q, N и M, взяв их значения и направления с соответствующих эпюр. Для равновесия рамы необходимо выполнение уравнений равновесия: ∑X = 0, ∑Y = 0, ∑Mk = 0.

Пример: Для статически неопределимой рамы (рис. 2.1) построить эпюры внутренних сил. Произвести проверку правильности решения. Определить максимальное напряжение в стержнях рамы.

A

Рис. 2.1

13

Выбираем статически определимую основную систему О.С., отбрасывая связи в точках А и С (рис 2.2, а)

Рис. 2.2

Образуем эквивалентную систему, прикладывая к определимой системе реакции отброшенных связей Х1 и Х2 и давая системе заданные перемещения С1 и С2 (рис. 2.2, б).

Записываем канонические уравнения метода сил (2.1)

Определяем коэффициенты канонических уравнений.

Для определения коэффициентов δik строим единичные эпюры: М¯1

от X¯1 = 1 и М¯2 от X¯2 = 1 (рис. 2.3, а, б).

Рис. 2.3

14

Используя способ Верещагина, перемножая эпюры, определяем δik:

EJδ11 = ∑М¯1М¯1ds = ∑М¯1М¯11 =

= (1/2 4 3) 2/3 4 + (4 4) 4 + (1/2 4 4) 2/3 4 = 90,67;

EJδ22 = ∑М¯2М¯2ds = ∑М¯2М¯22 =

= 1/2 4 3) 2/3 4 + (1/2 4 4) 2/3 4 = 37,67;

EJδ12 = EJδ21 = ∑М¯1М¯2ds = ∑М¯1М¯2 = = –(1/2 4 3) 2/3 4 – (1/2 4 4) 4 = –44.

Определяем свободные члены уравнений (2.7) ∆iС. По формуле

(2.4) и рис. 2.3 а:

1С = –∑(R¯1КCК) = –(V 'A0 –V 'BC1 – H 'CC2) = 4/3 0,06 + 1 0,05 = 0,13.

по формуле (2.4) и рис. 2.3, б:

2C = –∑(R¯2КCК) = –(V "A0 + V " BC1 – 0C2) = = –7/3 0,06 = –0,14.

Канонические уравнения (2.7) имеют вид: 90,67X1 – 44X2 + 0,13EJ = 0; –44X1 + 37,67X2 – 0,14EJ = 0.

Решения уравнений:

Х1 = 0,085 10–2EJ;

X2 = 0,471 10–2EJ.

Строим «исправленные» единичные эпюры М¯1Х1 и М¯2Х2 (рис. 2.4,

а, б)

15

1)0,34 10–2EJ;

2)1,88 10–2EJ.

Окончательная эпюра изгибающих моментов М в эквивалентной системе и заданной системе рассчитываются по формуле (2.5) и

рис. 2.5:

М = М¯1Х1 + М¯2Х2.

1

В C

M

Рис. 2.7

1)1,54 10–2EJ;

2)0,34 10–2EJ.

По эпюре М строим эпюры Q и N (рис. 2.8 и 2.9):

В C

Q/10–2EJ

Рис. 2.8

[Q = ±∆M / l];

Q1 = 1,54 10–2EJ / 3 = 0,513 10–2EJ;

16

Q2 = –(1,54 + 0,34) 10–2EJ / 4 = –0,47 10–2EJ;

Q3 = 0,34 10–Q22EJ / 4 = 0,085 10–2EJ.

Рис. 2.9

Проверяем равновесие рамы. Отсекаем связи и прикладываем внутренние силы Q и N, взяв значения с соответствующих эпюр, рис. 2.10 (коэффициент 10–2EJ).

0,085 A

0,513

0,085

0,983 0,47

Рис. 2.10

Очевидно, что условия равновесия соблюдаются:

∑х = 0,085 – 0,085 = 0;

17

∑y = 0,513 – 0,983 + 0,47 = 0;

∑MA = 0,983 3 + 0,085 4 – 0,47 7 = 0,001 ≈ 0.

Определим максимальное напряжение в стержнях рамы. Максимальный изгибающий момент в сечениях стержней

Mmax = 1,54 10–2EJ. Максимальное напряжение

σmax = Mmax / W = 1,54 10–2EJ / W. Для двутавра отношение

I / W = ymax = h / 2,

где h – высота двутавра.

Так, для двутавра №16 h = 16 см = 16 10–2 м; Е = 2 105 МПа. Тогда σmax = 1,54 10–2 2 105 8 10–2 = 264 МПа.

18

3. ЗАДАНИЕ

Определить перемещение одной из опор рамы, если перемещения

двух других опор Сгор и Сверт. Данные для расчета взять из табл. 1 в соответствии с заданным вариантом.

m

h1

h2

h3

19

m

h1

h2

h3

m

h1

h2

h3

20