Изучение электростатического поля. Эквипотенциальные поверхности. Методические указания к лабораторной работе № 22 по дисциплине «Физика»

УДК 537.6(07)

Д-304

Рецензент – Ю.В. Грызов

Демидова А.А.

Изучение электростатического поля. Эквипотенциальные поверхности [Текст]: методические указания к лабораторной работе № 22 по дисциплине «Физика» / сост. А.А. Демидова, С.Е. Строковская, Ю.Н. Батищева, В.А. Корчагина. – Липецк: Изд-во ЛГТУ, 2012. – 13 с.

В методических указаниях представлена лабораторная работа по изучению способов описания электростатических полей. Рассматриваются основные характеристики электростатического поля, а также связь между ними.

Предназначены для студентов 1-го и 2-го курсов всех технических направлений.

Табл. 1. Ил. 4. Библиогр.: 4 назв.

©ФГБОУ ВПО «Липецкий государственный технический университет», 2012

Лабораторная работа № 22

ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Цель работы: ознакомиться с основными характеристиками электростатических полей, провести экспериментальное моделирование электростатических полей, создаваемых электродами методом электролитической ванны.

Приборы и принадлежности: ванна с электролитом, набор электродов, измерительный зонд, вольтметр, ключи, соединительные провода.

Теоретическая часть

Особая форма материи, существующая вокруг зарядов, называется электрическим полем. Электрическое поле проявляет себя действием с определенной силой на заряды, помещенные в него. Следовательно, это силовое поле. Поле покоящихся зарядов называется электростатическим. Точечным зарядом называется заряженное тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием от этого тела до других заряженных тел. Силовой характеристикой электростатического поля является напряженность – векторная физическая величина, численно равная силе, действующей на единичный точечный заряд.

Направление вектора совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд.

Если поле создается точечным зарядом q0, то на расстоянии r от него

где = 8,85 10-12 Ф/м - электрическая постоянная.

На всякий заряд, помещенный в какую-либо точку поля, действует

сила:

3

Энергетической характеристикой электростатического поля является потенциал – скалярная физическая величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля:

Потенциал, как и потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой константы. При этом, потенциал поля на бесконечном удалении от источника равен нулю.

Потенциал поля точечного заряда q0 на расстоянии r от него равен

Т.к. потенциальная энергия Wp равна работе внешних сил Авн по перемещению единичного положительного заряда из бесконечности в данную точку поля, то с учетом (4)

Из (7) следует, что элементарная работа dAэл по перемещению заряда на расстоянии dr может определяться двумя способами:

(8)

(знак « - » показывает, что работа сил поля приводит к уменьшению потенциальной энергии заряда.)

Сравнивая правые части (8) и (9), получим:

4

.

В декартовой системе координат:

, где

– единичные векторы вдоль осей x, y, z . Тогда

,

откуда

(12)

С учетом (11) и (12) получим:

. (13)

Градиентом скалярной функции называется вектор, указывающий направление, в котором функция растет наиболее быстро. Знак « - » в (13) показывает, что вектор направлен в сторону наибольшего уменьшения потенциала. Модуль вектора градиента численно равен изменению потенциала на единице длины в направлении максимального изменения потенциала.

Среднее значение проекции напряженности на ось X равно:

Для графического изображения электрического поля используют линии напряженности вектора (силовые линии). Эти линии проводятся таким образом, чтобы касательные к ним в каждой точке поля совпадали с направлением вектора напряженности в этой точке.

Силовые линии не пересекаются и направлены от положительного заряда к отрицательному или уходят в бесконечность. Чтобы по картине силовых линий можно было судить не только о направлении вектора , но и о его модуле, условились считать, что напряжённость в данной точке

5

пространства пропорциональна числу силовых линий, пересекающих единичную площадку, перпендикулярную . Т.е. чем больше густота линий напряженности в данной области пространства, тем большее значение в данной области имеет .

Эквипотенциальная поверхность (ЭПП) электростатического поля – геометрическое место точек равного потенциала . Разность потенциалов между точками двух соседних ЭПП постоянна, а разность потенциалов любых двух точек данной ЭПП равна нулю.

Покажем, что ЭПП перпендикулярны линиям напряженности электростатического поля. Будем перемещать заряд q вдоль ЭПП:

Так как заряд перемещается вдоль ЭПП, то

=0. Но ,

следовательно, => . Таким образом силовые линии электростатического поля перпендикулярны ЭПП.

Если напряженность электростатического поля одинакова и по модулю и по направлению в любой точке поля, то такое электростатическое поле называется однородным. Силовые линии однородного поля – параллельные, равноотстоящие друг от друга прямые, а ЭПП – параллельные плоскости

(рис.1).

(ЭПП)

Рис. 1

Пусть потенциалы в точках , а в . Из (13) следует

; . (15)

6

Интегрируя (15), получим

, т.е. .

Из (16) видно, что в однородном поле потенциал линейно уменьшается вдоль силовой линии.

Введем понятие потока напряженности электрического поля. Расположим в поле элементарную площадку , в пределах которой поле можно считать однородным. Ориентация этой площадки в пространстве задается единичным вектором нормали , который можно построить в двух противоположных направлениях. Одно из них условно принимается за положительное. В случае замкнутой поверхности принято нормаль проводить наружу области, охватываемой этой поверхностью. Тогда вектор численно равен , а его направление совпадает с направлением нормали

Потоком вектора напряженности электрического поля через поверхность называется скалярное произведение векторов и :

где - угол между векторами и , – проекция вектора на направление нормали к площадке .

. (18)

Поток – величина алгебраическая, если , и ; если , то и .

dS n α E

Рис. 2

7

Теорема Гаусса для напряжённости электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри этой поверхности:

где – электрическая постоянная.

В (19) знак потока зависит от знака результирующего заряда. Если , то Ф > 0 (выходящий поток) (рис.3, а).

Если , то Ф < 0 (входящий поток) (рис.3, б).

Гауссова поверхность

Рис. 3

Если поверхность находится в поле, но не охватывает заряд, то поток равен нулю, т.к. .

Теорема Гаусса позволяет рассчитать напряженность, а затем и потенциал, для многих (но далеко не для всех) практических задач.

Порядок выполнения

1.Перерисовать на миллиметровую бумагу с установки электроды в натуральную величину, изобразив при этом координатные оси с делениями шкалы.

2.Наполнить равномерно ванночку водой таким образом, чтобы слой воды составлял 0,5-1 см от дна.

3.Выбрать конфигурацию электродов анода и катода для исследования электрического поля (цилиндр-цилиндр; цилиндр - плоский; плоский – плоский) и соединить электроды с выходами «+» и «─» учебной установки

8

соединительными проводами напрямую или через дополнительные уголки. Поместить электроды в ванночку (см. рис. 4).

ИП

Рис. 4

4.Проверить целостность сетевого провода и включить установку в сеть ~220В. Поставить переключатель «СЕТЬ» в положение «вкл», при этом должен загореться сигнальный индикатор и дать прибору прогреться в течение не менее 5 минут.

5.Подключить измерительный щуп к выходу лабораторного модуля «ИЗМЕРЕНИЕ». Определить потенциал анода φа, прикоснувшись к нему измерительным зондом. Проверить равенство нулю потенциала катода φк.

6.Выбрать эквипотенциальные линии, которые вы будете находить. Рекомендуется выбрать линии, потенциалы которых равны φ1=1,3 В; φ2=1,5

В; φ3=1,7 В и т. д. до максимально возможного значения (φi+1= φi + 0,2 В).

7.Найти эквипотенциали, в которых потенциал имеет значение φ1. Для этого следует, поместив зонд в ванночку и плавно перемещая его параллельно координатной оси y (при этом координата х зонда равна какомулибо определенному значению, например х=2), наблюдать за показаниями цифрового вольтметра. В какой-то точке вольтметр покажет значение потенциала φ1. Это и будет первая точка эквипотенциальной линии. Отметить эту точку на миллиметровой бумаге. Измерительный вольтметр обеспечивает точные показания только при нахождении электрода в жидкости. При нахождении в воздухе на дисплее будут наблюдаться «шумовые» эффекты, связанные с работой АЦП вольтметра.

8.Изменяя координату х зонда на 0,5 см и повторяя действия п.4, найти вторую, третью и последующие точки эквипотенциали со значением потенциала φ1, отмечая эти точки на миллиметровой бумаге.

9.Соединив на своем рисунке точки с потенциалом φ1, вы получаете первую из искомых эквипотенциалей.

10.Аналогичные измерения проделать для всех потенциалов φ2, φ3 и

т.д.

9

11. Аккуратно, соблюдая взаимную ортогональность, нарисовать на миллиметровой бумаге систему силовых линий (10-12 линий), указав стрелками их направление. Следует учитывать, что силовые линии начинаются и заканчиваются на электродах, а их густота пропорциональна величине электрического поля Е.

Вычислить по формуле (35) значения Е во всех точках пересечения какойлибо одной силовой линии с эквипотенциалями.

Обработка результатов измерений

1.На полученной картине ЭПЛ постройте 8-10 силовых линий, соединяющих электроды так, чтобы касательные к ним были перпендикулярны контурам электродов и другим ЭПЛ в точках пересечения. Силовые линии изображаются сплошными плавными кривыми со стрелками, направленными в сторону падения потенциала.

2.Направив ось ОХ вдоль оси картины поля и выбрав начало отсчёта в точке с наименьшим потенциалом (один из электродов), определите координаты хφ пересечения ЭПЛ с осью ОХ. Внесите координаты и соответствующие им измеренные значения потенциалов φ (в единицах СИ) в табл. 1.