Формальные системы. Практикум

если ни одно свободное вхождение х в формуле А(х) не находится

вобласти действия квантора по переменной из t.

Вкачестве правил вывода ИП обычно используются правила заключения, -введения и -удаления. записываемые соответственно в виде

При этом в правилах -введения и -удаления предполагается, что А содержит свободные вхождения х, а B – нет.

Выводимость формулы из формул, доказуемость формулы и равносильность формул в ИП определяются и обозначаются так же, как и в ИВ.

Так как схемы аксиом и правил вывода ИВ сохраняются в ИП, то все выводы и доказательства формул в ИВ могут быть повторены и для формул ИП без использования аксиом группы V и правил -вве- дения и -удаления. Поэтому в ИП имеют место все вспомогательные правила вывода из ИВ, и ими можно пользоваться при выводах и доказательствах формул в ИП.

К сожалению, теорема дедукции в общем виде не имеет места в ИП. Поэтому здесь мы ограничимся использованием лишь частного случая.

Теорема об ограниченной дедукции: для произвольного множе-

ства формул Т, любой формулы В и всякой замкнутой формулы А

Интерпретацией ИП сигнатуры σ = F P называют любую алгебраическуюсистемуНсигнатурыσ.Подчеркнем,чтоеслиf F,p P, то для ИП f и р являются просто символами, используемыми для построения формул, а для H это обозначение операции и предиката соответствующих арностей.

Нетрудно доказать, что любая доказуемая формула ИП является тождественно истинной в каждой его интерпретации, т.е. в АП. Отсюда, в частности, следует непротиворечивость ИП. Обратное утверждение доказывается более сложно и составляет содержание известной теоремы Геделя о полноте ИП относительно АП. Таким образом, проблема разрешимости ИП совпадает с проблемой разрешимости АП. Эта проблема при незначительном ограничении на сигнатуру отрицательно решена А. Черчем в 1935 г.

31

4.2. Задачи

Задача 4-01

Доказать следующие утверждения, пользуясь лишь определением выводимости формул в исчислении предикатов:

а) A(x, y) ├ xA(x, y) ; б) A(x, y) ├ xA(x, y) ;

в) x yA(x, y) ├ y zA(x, y) .

Задача 4-02

Доказать, что любая доказуемая формула ИП является тождественно истинной в АП.

Задача 4-03

Доказать, что ИП непротиворечиво.

Задача 4-04

Привести подробное доказательство следующего утверждения: любое вспомогательное правило вывода ИВ имеет место и в ИП.

Задача 4-05

Доказать, что для любого множества формул Т и для любых формул А, В

T A → B T {A}├B.

Построить пример, опровергающий обратное утверждение.

Задача 4-06

Привести подробное доказательство теоремы об ограниченной дедукции.

Задача 4-07

Пусть S├ А(х) буква х не входит в формулы из S, а буква у отсутствует в выводе формулы А(х) из S. Доказать, что S├ А(y), где А(у) получена из А(х) заменой всех свободных вхождений х на у.

Задача 4-08

Пусть А(х) – доказуемая формула исчисления предикатов, содержащая свободные вхождения х и не содержащая свободных вхождений у, причем терм у свободен для х в А(х). Показать, что формула

32

А(х), полученная из А(х) заменой всех свободных вхождений х на у, доказуема.

Задача 4-09

Построить выводы в исчислении предикатов:

а) x yP(x, y) ├ x yP(x, y);

б) xA(x) → xB(x) ├ x( A(x) → B(x)); в) xP(x, x) ├ x yP(x, y);

г) x yP(x, y) ├ xP(x, x);

д) x( A(x) → B(x)) ├ xA(x) → xB(x).

Задача 4-10

Доказать следующие правила монотонности операций и : если А и B содержат свободные вхождения переменной x, то

A → B├ xA → xB и A → B├ xA → xB.

Задача 4-11

Для формул А и В исчисления предикатов символом А ~ В обозначается формула (A → B)(B → A). Формулы A и B назовем равносильными, если ├A B.

1)Доказать, что введенное бинарное отношение является отношением эквивалентности на множестве формул исчисления предикатов.

2)Доказать, что любые две доказуемые формулы исчисления предикатов равносильны.

Задача 4-12

Доказать теорему равносильности для исчисления предикатов: если некоторую подформулу В формулы А(В) заменить равносильной ей формулой B1 и при этом получится формула A1(B1), то A1(B1) равносильна исходной формуле А(В).

Задача 4-13

Установить следующие равносильности:

1)├δxδyA ~ δyδxA, где δ – квантор или ;

2)├δxA ~ δ* xA, где δ – квантор или , а δ*– квантор, двойственный к δ;

3)├ x( A B) ~ xA xB;

33

4)├ x( A B) ~ xA xB;

5)├δx( A B) ~ δxA B , где δ – квантор или , «○» – операция или и формула B не содержит свободных вхождений x;

Задача 4-14

Пусть А, В, С – произвольные формулы исчисления предикатов. Доказуемы ли в исчислении предикатов следующие формулы:

a) xA(x)→ xA(x), где А(х) – формула, содержащая свободные вхождения переменной х;

б) xA(x)→ xA(x), где А(х) – формула, содержащая свободные вхождения переменной х;

в) x yB(x, y)→ y xB(x, y), где В(х, у) – формула, содержащая свободные вхождения х и у;

г) (A → B(x))→(A → xB(x)), где А – формула, не содержащая свободных вхождений х.

Задача 4-15

Непротиворечивое логическое исчисление называется полным в узком смысле, если добавление к его системе аксиом любой недоказуемой формулы приводит к противоречивому исчислению, и неполным в противном случае. Доказать, что исчисление предикатов неполно в узком смысле.

34

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Акимов О.Е. Дискретная математика. Логика, группы, графы [Текст] / О.Е. Акимов. – 2-е изд., доп. – М.: Лаб. базовых знаний, 2003. – 376 с.

2.Алексеев В.Б. Лекции по дискретной математике [Текст] / В.Б. Алексеев. – М.: Изд. отд. Фак. ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, 2004. – 74 с.

3.Буфеев С.В. Основы математической логики и теории множеств [Текст]: учеб. пособие / С.В. Буфеев, И.С. Буфеев. – изд. стереотип. –

М.: ЛЕНАНД, 2015. – 144 с.

4.Верещагин Н.К. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Ч. 2. Языки исчисления [Текст] / Н.К. Верещагин, А. Шень. – 5-е изд. стереотип. – МЦНМО, 2017. – 240 с.

5.Глухов М.М. Задачи и упражнения по математической логике, дискретным функциям и теории алгоритмов [Текст] : учеб. пособие /

М.М. Глухов [и др.]. – М.: Лань, 2008. – 110 с.

6.Гурова Л.М. Формальные системы [Текст]: учеб. пособие /

Л.М. Гурова. – М.: МГГУ, 2006 – 123 с.

7.Гурова Л.М. Математическая логика и теория алгоритмов [Текст] : учеб. пособие / Л.М. Гурова, Е.В. Зайцева. – М.: МГГУ, 2006. – 262 с.

8.Задохина Н.В. Математика и информатика. Решение логикопознавательных задач [Текст] : учеб. пособие для студентов вузов / Н.В. Задохина. – М.: ЮНИТИ, 2015. – 127 с.

9.Игошин И.В. Математическая логика [Текст] : учеб. пособие /

В.И. Игошин. – М.: ИНФРА-М, 2012. – 399 с.

10.  Игошин И.В. Элементы математической логики [Текст]: учебник / В.И. Игошин. – 2-е изд., стереотип. – М. Академия, 2017. – 313 с.

11.   ЛавровИ.А. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов [Текст] / И.А. Лавров, Л.Л. Максимова. – 5-е.

изд. – М.: Физматлит, 2002. – 255 с.

12.  Логачев О.А. Булевы функции в теории кодирования и криптологии [Текст] / О.А. Логачев, А.А. Сальников, В.В. Ященко. – М.: Изд-во МЦНМО : ППП Тип. Наука, 2004. – 469 с.

13.  Шапорев С.Д. Математическая логика : курс лекций и практ. занятий [Текст] : учеб. пособие для студентов вузов / С.Д. Шапорев. – СПб.: БХВ-Петербург : ППП Тип. Наука, 2005. – 410 с.

14.  Шиханович Ю.А. Логические и математические исчисления [Текст] : учеб. пособие / Ю.А. Шиханович. – М.: Научный мир, 2011. – 253 с.

35