Системы массового обслуживания. Методические указания к семинарским занятиям по дисциплине «Сервисная деятельность»
.pdf
Вероятность того, что оба аппарата свободны (предельная вероятность состояния S0), равна р0. Предельная вероятность состояния S1 равна
р1 р0 54 р0 1,25 р0 .
Аналогично |
р |
|
|
|
|
р |
5 |
|
|
1,25 р |
|
|
0,781 р |
|
; |
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
1 |
|
2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
р3 |
|
|
р2 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
0,784 р0 0,355 р0 ; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
2 4 3 |
||||||||||||||||||||||||||
|
р4 |
|
|
|
р3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
0,355 р0 |
0,127 р0 ; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 2 |
|
|
2 4 2 3 |
||||||||||||||||||||||||
|
р5 |
|
|
|
|
р4 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
0,127 р0 |
0,037 р0 ; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 3 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
р6 |
|
|
|
|
р5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
0,037 р0 |
0,009 р0 ; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 3 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
р7 |
|
|
|
|
р6 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
0,009 р0 |
0,002 р0 ; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 5 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5 3 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
р8 |
|
|
|
|
р7 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
0,002 р0 |
0,000 р0 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 6 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
6 3 |
|
|
|
||||||||||||||||
Поэтому 1 = р0 + р1 + р2 + р3 + р4 + р5 + р6 + р7 + … ≈ р0 + р1 + р2 + р3 + р4 +
+р5 + р6 + р7 ≈ р0 + 1,25р0 + 0,781р0 + 0,355р0 + 0,127р0 + 0,037р0 + 0,009р0 +
+0,002р0 = 3,561р0.
Отсюда р0 = 1/3,561 ≈ 0,281; р1 = 1,25р0 ≈ 1,25 × 0,281 ≈ 0,351; р2 = 0,781р0
≈ 0,781 × 0,281 ≈ 0,219; р3 = 0,355р0 ≈ 0,355 × 0,281 ≈ 0,100; р4 = 0,127р0 ≈ 0,127
× 0,281 ≈ 0,036; р5 = 0,037р0 ≈ 0,037 × 0,281 ≈ 0,010; р6 = 0,009р0 ≈ 0,009 × 0,281
≈ 0,003; р7 = 0,002р0 ≈ 0,002 × 0,281 ≈ 0,000.
Средняя длина очереди – это математическое ожидание числа посетителей, находящихся в очереди: Lоч = 1 × р3 + 2 × р4 + 3 × р5 + 4 × р6 = 1 × 0,100 + 2 × 0,036 + 3 × 0,010 + 4 × 0,003 = 0,214.
Среднее число заявок в системе – это математическое ожидание числа за-
явок в системе: Lсист = 0 × р0 + 1 × р1 + 2 × р2 + 3 × р3 + 4 × р4 + 5 × р5 + 6 × р6 = 1 × 0,351 + 2 × 0,219 + 3 × 0,100 + 4 × 0,036 + 5 × 0,010 + 6 × 0,003 = 1,301.
21
Некоторые посетители, не дождавшись обслуживания, уходят из очереди с интенсивностью v. Поэтому без обслуживания систему покидают в среднем vLсист человек/ч, то есть из λ посетителей будет обслужено лишь А = λ – vLсист = = 5 – 3 × 1,301 = 1,097 человек/ч. Это абсолютная пропускная способность.
Относительная пропускная способность Q = А/λ = 1,097/5 = 0,2194.
Среднее число занятых аппаратов Nзан = А/µ = 1,097/4 = 0,274.
Практические расчетные задания Задача 1. Одноканальная телефонная линия. Заявка-вызов, поступившая
в момент, когда линия занята, получает отказ. Простейший поток заявок поступает с интенсивностью λ = 60 звонков/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения. Средняя продолжительность разговора tобсл = 2,5 мин. Определите показатели эффективности работы СМО.
Задача 2. Трехканальная телефонная линия. Заявка-вызов, поступившая в момент, когда все n = 3 канала заняты, получает отказ. Простейший поток заявок поступает с интенсивностью λ = 50 звонков/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения. Средняя продолжительность разговора tобсл = 2,5 мин. Определите показатели эффективности работы СМО.
Задача 3. Первый магазин с одним продавцом, второй магазин с двумя продавцами. Предполагается, что в обоих случаях простейший поток покупателей поступает с интенсивностью λ = 10 человек/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ = 15 человек/ч. Определите: среднее время пребывания покупателя в очереди; среднюю длину очереди; среднее число покупателей в магазине; среднее время пребывания покупателя в магазине; вероятность того, что в магазине не окажется покупателей; вероятность того, что в магазине окажется ровно 4 покупателя.
Задача 4. На склад для разгрузки поступает простейший поток грузовиков с интенсивностью λ = 3 грузовика/ч. Разгрузка одного грузовика занимает
22
tобсл = 15 мин = 0,25 ч. Найдите параметры одноканальной СМО с фиксированным временем обслуживания.
Задача 5. Автозаправочная станция имеет п = 1 бензоколонку с площадкой, допускающей пребывание в очереди на заправку не более трех автомашин одновременно. Если в очереди находятся т = 3 автомашины, то очередная прибывшая автомашина проезжает мимо автозаправочной станции. Предполагается, что простейший поток автомашин поступает на станцию с интенсивностью
λ= 8 автомашин/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром µ = 10 автомашин/ч. Определите параметры системы.
Задача 6. Автозаправочная станция имеет n = 3 бензоколонки с площадкой, допускающей пребывание в очереди на заправку не более двух автомашин одновременно. Если в очереди находятся т = 2 автомашины, то очередная прибывшая автомашина проезжает мимо автозаправочной станции. Предполагается, что простейший поток автомашин поступает на станцию с интенсивностью
λ= 30 автомашин/ч. Время обслуживания заявки есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром µ = 20 автомашин/ч. Определите параметры системы.
Задача 7. Бригада ремонтников из n = 3 человек обслуживает m = 5 станков. Предполагается, что поломки станков образуют простейший поток заявок с интенсивностью λ = 0,2 раз/ч. Время ремонта каждого станка есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром µ = 0,4 станка/ч. Определите параметры системы.
Задача 8. В пункте химчистки имеется п = 4 аппарата для чистки. Поток посетителей предполагается простейшим с интенсивностью λ = 6 человек/ч. Время обслуживания каждого посетителя есть случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром µ = 5 человек/ч. Среднее число посетителей, покидающих очередь, не дождавшись обслуживания, равно v = 4 человека/ч. Определите предельные вероятности этой СМО, среднюю длину очереди, среднее число заявок в системе, абсолютную и относительную пропускные способности, среднее число занятых аппаратов.
23
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Проектирование процесса оказания услуг [Текст]: учеб. пособие / Г.В. Верхов [и др.]; под общ. ред. Н.М. Комарова. – М.: Дело и Сервис,
2009. – 288 с.
2.Просветов, Г.И. Управление в сфере услуг: задачи и решения [Текст]: учеб- но-практическое пособие / Г.И. Просветов. – М.:. Альфа-Пресс, 2009. – 184 с.
24