Исследование устойчивости систем радиоавтоматики. Методические указания к лабораторным работам с применением программы Micro Cap

ПРИЛОЖЕНИЕ

П.1. Критерии устойчивости линейных стационарных САР

Одним из основных требований, предъявляемых к качеству функционирования систем автоматического регулирования, является требование устойчивости. Линейная система называется устойчивой, если при выве-

дении ее внешним воздействием из состояния равновесия она возвращается в него после прекращения этого воздействия.

Анализ устойчивости САР выполняется путем решения характеристического уравнения

где ai - коэффициенты полинома знаменателя передаточной функции замкнутой системы, и анализа расположения корней этого уравнения на комплексной плоскости.

В соответствии с теоремой А.М. Ляпунова для устойчивости линеаризованной САР необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения находились в левой половине плоскости комплексного переменного, т.е. вещественные части корней были отрицательными.

Из-за сложности решения характеристических уравнений высоких порядков важное значение приобретают так называемые критерии устойчивости, под которыми понимаются специальные правила, позволяющие выполнить анализ расположения корней характеристического уравнения, минуя вычисление самих корней.

Все известные критерии устойчивости основаны на теореме Ляпунова и делятся на две большие группы: алгебраические и частотные.

Алгебраические критерии, к которым относятся, например, критерии Рауса, Гурвица, Льенара - Шипара и другие, основаны на анализе характеристического уравнения системы.

Так, наиболее распространенный критерий Гурвица (1895г.) основан на построении из коэффициентов характеристического уравнения (П.2.1) специальной квадратной матрицы (n n):

которая заполняется по следующему правилу:

1. По главной диагонали в порядке убывания индексов вписываются все коэффициенты уравнения (П.1) от an-1 до a0.

11

2.Каждый из столбцов дополняется вверх - коэффициентами с убывающими индексами, вниз - с возрастающими.

3.На место отсутствующих коэффициентов ставят нули.

Всоответствии с критерием Гурвица система будет устойчива, если

при а0>0 определитель матрицы Гурвица и определители всех ее диагональных миноров положительны. В противном случае система неустой-

чива. Таким образом, алгоритм Гурвица состоит из следующих основных этапов:

1.Составление определителя Гурвица.

2.Вычисление диагональных определителей.

3.Анализ условия положительности этих определителей.

Частотные критерии, к которым относятся критерии Михайлова и Найквиста, позволяют определить устойчивость САР с помощью аналитического или экспериментального исследования частотных характеристик элементов этой системы.

Оригинальный графоаналитический критерий устойчивости САР пред-

ложил А.В. Михайлов (1937г.). Согласно критерию Михайлова, для устой-

чивости системы с характеристическим многочленом (П.1.) необходимо

и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до изменение аргумента функции G(j ) равнялось n /2.

Это означает, что годограф G(j ), начинаясь с точки а0, должен пройти против часовой стрелки последовательно n квадрантов, охватывая точку (0,j0). Если последовательность обхода нарушается, то система будет неустойчива. Примеры кривых Михайлова, соответствующих устойчивым (a, б, в, г) и неустойчивым ( д, е, ж) системам, показаны на рис. П.1.

Рисунок П.1 – Пример построения годографов Михайлова для устойчивых (а) и неустойчивых (б) систем при различном порядке характеристического уравнения

Свойство годографа Михайлова для устойчивых систем последовательно пересекать вещественные и мнимые оси положено в основу метода чередующихся корней. Для иллюстрации этого метода рассмотрим следующий пример.

12

Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

где k = 200, T1 = 1c, T2 = 2c, T3 = 0,1c.

После раскрытия скобок и группировки подобных членов уравнение (9.8) будет иметь вид:

где a0 = 1, a1 = 204,2, a2 = 4,81, a3 = 0,84, a4 = 0,04.

Заменив p на j , можно выделить отдельно вещественную и мнимую составляющие уравнения (9.9).

G(j ) = Re( ) + j Im( ) = (a0 – a2 2 + a4 4) + j(a1 - a3 3)

Если замкнутая система устойчива, то при последовательном обходе кривой Михайлова квадрантов комплексной плоскости вещественная и мнимая оси будут пересекаться поочередно. При этом в точках пересечения кривой с вещественной осью обращается в ноль Im( ), а в точках пересечения кривой с мнимой осью обращается в ноль Re( ). Поэтому значения частот, при которых происходит пересечение кривой с вещественной или мнимой осью, должны являться корнями уравнений Im( ) = 0 и Re( ) = 0.

Найдем пересечения годографом G(j ) действительных и мнимых осей. Значения частот, при которых годограф G(j ) пересекает вещественную ось, находятся из уравнения:

Im( ) = (204,2 – 20,84) = 0.

Решая это уравнение и отбрасывая отрицательные частоты, находим:

Im1 = 0, Im2 = 15,6 1/c.

Значения частот, при которых годограф G(j ) пересекает мнимые оси, находятся из уравнения:

Re( ) = 0,04 4 – 4,81 2 +1 =0.

Введем вспомогательную переменную x = 2. Решая уравнение относительно x, находим корни: x1 = 119,924, x2 = 0,325. С учетом подстановки, взяв только положительные значения частот, получим: Re1 = 0,57 1/c, Re2 = 10,95 1/c. Теперь, расположим частоты в порядке возрастания:

Анализируя полученные данные, можно сделать вывод, что очередность пересечения годографом G(j ) действительных и мнимых осей нарушена, следовательно, данная система является неустойчивой.

13

Алгоритм оценки устойчивости по критерию Найквиста (1932г.) позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду годографа комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы.

В соответствии с критерием Найквиста, если разомкнутая САР

устойчива, то замкнутая САР (с отрицательной обратной связью) также будет устойчива, если годограф разомкнутой САР не охватывает точку с координатами (-1, j0) по часовой стрелке.

На рисунке П.2 изображены примеры годографов разомкнутых САР, соответствующие устойчивым (а, б) и неустойчивым (в, г) системам.

Im( )

г

0

a

б в

R

Рисунок П.2 – Примеры годографов комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы К(j ): (а,б) – система устойчива; (в,г) – система неустойчива

Для астатических систем при → 0 может возникнуть неопределенность при определении устойчивости системы, поскольку в этом случае фаза вектора комплексного коэффициента передачи ( )→ - /2, а модульК(j ) → (рисунок П2 б, г). Чтобы избежать неопределенности, можно провести мысленный эксперимент, соединив окружностью бесконечно большого радиуса (R) положительный участок действительной оси с началом годографа астатической системы, а затем применить критерий Найквиста.

П.2. Определение запасов устойчивости САР

Для устойчивых систем можно определить запасы устойчивости по модулю и по фазе, характеризующие степень удаленности системы от неустойчивого состояния. Запасы устойчивости могут быть определены как по годографу Найквиста, так и по логарифмическим частотным характеристикам.

На рисунке П.3 показаны примеры определения запасов устойчивости по модулю h и по фазе ( ) по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы.

14

Im( )

b = К(j кр)

h

K(j )

Рисунок П.2.3 – Определение запасов устойчивости по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы

Запас устойчивости по модулю (З.У.М.) определяется на частоте, где фаза вектора ( 1) = -180 и показывает, во сколько раз модуль комплексного коэффициента передачи h отличается от единицы: З.У.М = 1/h .

Запас устойчивости по фазе З.У.Ф., равный , определяется на частоте, где модуль вектора A( 2)=1 (точка пересечения годографа с окружностью единичного радиуса) и показывает, на сколько градусов фаза вектора отличается от -180 .

Недостатком определения запасов устойчивости по годографу является сложность построения амплитудно-фазовой характеристики и определения угла наклона вектора.

Значительно проще провести анализ устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам, используя приведенные выше определения.

На рисунке П.4 показаны примеры определения запасов устойчивости по модулю L = 20lg h и по фазе с применением ЛАЧХ и ЛФЧХ.

15

L( )

L

( )

lg

-

Рисунок П.2.4 – Определение запасов устойчивости по ЛAЧХ и ЛФЧХ

ЛИТЕРАТУРА

1.Архипов С.Н. Основы теории управления техническими системами. - учебное пособие. Новосибирск: СибГУТИ, 2016, 166 с.

2.Архипов С.Н. Конспект лекций по курсу "Схемотехника телекоммуникационных устройств" //Учебное пособие. Новосибирск: СибГУ-

ТИ, , 2019 г., 193с.

3.Коновалов Г.Ф. Радиоавтоматика: Учеб. Для вузов по спец. «Радио-

техника». – М.: Высш.шк., 1990. – 335 с.

4.Архипов С.Н., Чухров А.С. Основы компьютерного моделирования устройств телекоммуникаций: учебное пособие. Новосибирск: Сиб-

ГУТИ, 2012. 155 с.

16

С. Н. Архипов

Исследование устойчивости систем радиоавтоматики

Методические указания

Корректор И.Л. Гончарова

Подписано в печать 20.12.2022, заказ № 276 п. л. 1,0, 17 стр., электронная версия – 369 Кб

СибГУТИ 630102, г. Новосибирск, ул. Кирова, 86

17