Динамика относительного движения материальной точки. Методические указания
.pdf
λ |
= ω |
2 |
sin |
2 |
α − |
c |
|
= |
π |
2 |
|
3 |
2 |
− |
20 |
= ±14,66i |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1;2 |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0,09 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x1 = C1cos14,66t + C2sin14,66t |
|
||||||||||||||||||
Частное решение x2 уравнения (6) находим в форме правой части этого |
||||||||||||||||||||||
уравнения |
|
|
|
|
x2 = В = const |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
= 0; |
|
|
x |
2 = 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
&& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, из дифференциального уравнения (6) получим |
|
|||||||||||||||||||||
c |
−ω2 sin2 α |
|
В = |
|
c l |
− g cosα |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В = |
cl0 / m − g cosα |
|
= |
20 0,1/ 0,09 −9,8 0,5 |
= 0,081 м |
|
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
c / m −ω2 sin2 α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 / 0,09 −π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение дифференциального уравнения (6) относительного движения ша- |
||||||||||||||||||||||
рика М получает вид |
x = C1·cos14,66t + C2·sin14,66t + 0,081 |
(7) |
||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
Проекция скорости этого движения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
||||||||||
|
x = - 14,66C1·sin14,66t + 14,66C2·cos14,66t |
|||||||||||||||||||||
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Постоянные C1 и C2 определим, используя начальные условия: |
|
|||||||||||||||||||||
|
при t0 = 0, |
|
|
х0=0,2м, |
x0 =0,3м/с |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
Запишем уравнения (7) и (8) для t0 = 0:
x0 = C1 +0,081 x&0 =14,66·C2
Откуда
C1 = x0 – 0,081 = 0,2 – 0,081 = 0,119
C2 = 14x&,066 = 140,,663 = 0,02
Уравнение относительного движения шарика М принимает вид |
|
x = 0,119·cos14,66t + 0,02·sin14,66t + 0,081 |
(9) |
Проекция скорости относительного движения шарика |
|
& |
|
x = - 14,66·0,119·sin14,66t + 14,66·0,02·cos14,66t |
|
или |
(10) |
x = - 1,74·sin14,66t + 0,29·cos14,66t |
|
& |
|
Для определения составляющих реакции N1 , N2 стенки трубки при t1 =0,1с выразим векторное уравнение (4) в проекции на оси y и z. Учитывая, что вектор
ar |
перпендикулярен этим осям, получим |
|
|
|
0 = N1+ Fеи ·cosα+G·sinα |
|
|
|
0 = N2+ Fки |
|
|
|
Из этих уравнений находим |
|
|
|
N1 = - Fеи ·cosα - G·sinα; |
N2 = Fки |
(11) |
11
Из уравнений (9) и (10) при t1 =0,1с найдем значение координаты и проекции относительной скорости шарика М
x = 0,119·cos14,66·0,1 + 0,02·sin14,66·0,1 + 0,081 = 0,11м x& = - 1,74·sin14,66·0,1 + 0,29·cos14,66·0,1= - 1,7м/с
Из уравнений (2) и (3)
F и = 0,09 π 2 |
0,11 |
3 = 0,085 Н |
|
е |
|
2 |
|
|
|
|
|
F и = 2 0,09 π 1,7 |
3 =1,67 Н |
|
|
к |
|
|
|
Тогда |
|
|
|
N1 = - 0,085·0,5 – 0,09·9,8·0,866 = -0,81 Н; |
N2 =1,67 Н |
||
Реакция стенки трубки |
|
|
|
N = 
N12 + N22 = 
(−0,81)2 +1,672 =1,86 H
Искомое давление шарика М на стенки трубки по числовому значению равно найденной реакции N и направлено в противоположную сторону.
12
2 Литература, рекомендуемая для изучения дисциплины
-Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учебное пособие для технических вузов /Яблонский А.А., Норейко С.С., Вольфсон С.А. и др.; под ред. А.А. Яблонского. - 5-е изд., перераб. и доп. - М.: Высшая школа, 2000. - 367 с.
-Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. 10-е изд., исправл. –М.:
Наука, 2002. - 416 с.
-Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики: Учебник для втузов. Т.1. Статика. -2-е изд., исправл. -М.: Наука, 1979. - 543 с.
-Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики: Учебник для втузов. Т.2. Динамика. -2-е изд., исправл. -М.: Наука, 1979. - 543 с.
-Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах: Учеб. пособие для втузов в 3-х томах. Т.1. Статика и кинематика. - 9-е изд., перераб., - М.: Наука, 1990. - 672 с.
-Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах: Учеб. пособие для втузов в 3-х томах. Т.2. Динамика. - 8-е изд., перераб. - М.: Наука, 1991. - 640 с.
13