Алгебра и теория чисел. Часть 1. Учебное пособие

ГЛАВА IV. СРАВНЕНИЯ ПО МОДУЛЮ pk И p-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

§ 18. Решение сравнений по модулю pk

все числа из класса a a pk также удовлетворяют этому сравне-

нию (a ). Доказательство.

1.f (a) 0 mod pk anan an 1an 1 ... a1a a0 0

anan an 1an 1 ... a1a a0 0, гдеai / pk , f (a) 0.

f (x) 0 mod pk .

Лемма доказана.

Теорема (аналог леммы Гензеля в алгебраической теории

единственного класса вычетов по модулю pk+1. Доказательство.

a pk разбивается на p классов вычетов по модулю pk+1: (a 0 pk pk 1 ) (a 1 pk pk 1 ) (a 2 pk pk 1 )

... (a ( p 1) pk pk 1 ).

Все указанные классы различны, так как их представители не сравнимы с нулем по модулю pk+1. Требуется доказать, что из этих p классов только один удовлетворяет сравнению f (x) 0 mod pk .

Рассмотрим число a pkt и используем формулу Тейлора: f (a pkt) f (a) f 1!(a)( pkt) f 2!(a)( pkt)2 ... f (nn)!(a)( pkt)n .

41

ствует единственная бесконечная последовательность классов выче-

f (1)t f ( 13) 0mod 7; 4t 3 0mod 7; t 1 по модулю 7. 49

42

f (x) 0mod74.

x1 307 2401z, z .

Аналогично для x2 = 4.

4) f (4)t f 7(4) 0mod 7; 3t 4 0mod 7; t 1 по модулю 7.

a pt 4 7 1 11– решение сравнения f (x) 0 mod72. f (11) 121 22 4 147.

43

Задачи для самостоятельного решения

Решить сравнения:

1)3x2 4x 3 0mod 74 ; 2) 2x2 3x 1 0mod 54 ;

3)x2 3x 3 0mod 74.

Ответы: 1) x1 2068 74 z , x2 1132 74 z, z ;

2)x1 1 54 z , x2 312 54 z, z ;

3)x1 1352 74 z , x2 1046 74 z, z .

§19. p-адические числа

Определение 18. Целым p-адическим числом называется бесконечная последовательность ...αn, αn 1, ..., α1 , где n αn / pn , при-

чем n 2 αn αn 1 mod pn 1, т. е. αn pn 1 αn 1 pn 1 .

Примеры.

1)...,65 73 ,16 72 , 2 7 .

2)...,43 25 ,11 24 ,11 23 , 3 22 ,1 2 .

Множество всех целых p-адических чисел обозначается как Z p . Если все αn – канонические представители соответствующих классов вычетов, т. е. 0 αn pn n , то из определения 18 следует,

44

что 0 α1 p, α2 α1 γ2 p , где 0 γ2 p ; α3 α2 γ3 p2 , где 0 γ3 p2

и т. д. Следовательно, p-адическое число ... αn, αn 1, ..., α1 можно за-

сительно вышеопределенных операций сложения и умножения с кольцевой единицей в позиционной записи …0…01 и кольцевым ну-

лем …00…0.

2) Мультипликативная группа *p данного кольца состоит из всех p-адических чисел ...αn αn 1...α1 , где α1 1mod p .

Доказательство следует из покомпонентности сложения и умножения p-адических чисел.

Если ...γn,γn 1,...,γ1 позиционная запись p-адического числа α, то

в позиционной записи p-адические числа складываются и перемножаются столбиком (по обычным школьным правилам), однако действия над числами в отдельных позициях производятся по модулю р.

...54321 Пример. В кольце 7 ...65142 .

...152463

Здесь при сложении чисел в четвертой позиции получилось число 9 = 1·7 + 2, поэтому в этой позиции в сумме пишем 2, а единицу, стоящую перед 7, переносим налево, т. е. при сложении чисел в пятой позиции имеем 5 + 6 = 11 = 1·7 + 4, но в сумме вместо 4 пишем в пятой позиции 5, учитывая единицу переноса из 4-й позиции.

Далее ясно, что отображение φ: p такое, при которомz φ(z) ...,z,...,z , где справа в каждой позиции стоит z , является изоморфным вложением в p , так что можно считать p .

45

Однако заметим, что если позиционная запись натурального числа имеет конечный вид γn γn 1...,γ1, то позиционная запись отрица-

тельного целого числа имеет бесконечный вид, например, −1 в 7 ра-

вен …6…666 (6 в периоде).

На языке p-адических чисел рассмотренная нами теория в предыдущем параграфе говорит о том, что если а – решение уравнения f(x) = 0 в / p , где f(x) – многочлен с целыми коэффициентами,

p-адических чисел. Оно обозначается p . Из теоремы 26 следует, что каждое ненулевое число из p имеет вид xpm , где m , x *p .

Теорема Хассе−Минковского. Невырожденная квадратичная форма с рациональными коэффициентами представляет 0 в

(т. е. обращается в ноль при некоторых значениях переменных, причем не все эти значения равны 0) тогда и только тогда, когда эта форма представляет 0 в p для любого простого р.

Очень нетривиально здесь доказательство достаточности, которое можно найти, например в книге [4].

Пример 1. Решить сравнение 221x 289mod73 .

Представляем числа 221 и 289 как 7-адические числа в позиционной записи:

289 = 5·49 + 6·7 + 2·70 = …00562, 221 = 4·49 + 3·7 + 4·70 = …00434.

В 7 равенство x 562434 эквивалентно равенству 562 = 434·х.

Чтобы найти нужное число первых цифр в позиционной записи х для решения данного сравнения, воспользуемся правилом умножения p-адических чисел столбиком:

434

...354

2402

3136

1635

00562

46

Здесь x ...354 находится по первому множителю 434 и по результату 562 умножения 434 на х. Для решения сравнения по модулю 73 достаточно найти первые три цифры в позиционной записи х в 7 .

И, наконец, переводим 7-адическое число 354 в десятичную запись: 354 = 3·49 + 5·7 + 4 = 147 + 39 = 186.

Ответ: x 186 343 .

Задачи для самостоятельного решения

Решить сравнения:

1)57 x 119mod27 ; 2) 1278x 2279mod54 ;

3)1278x 2279mod56 ; 4) 1278x 2279mod74 ;

5)1278x 2279mod76 .

Ответы: 1) x 47 27 z, z ; 2) x 193 54 z, z ;

3)x 2086 56 z, z ; 4) x 680 74 z, z ;

5)x 48700 76 z, z .

47

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Бухштаб А. А. Теория чисел / А. А. Бухштаб. – М.: Просвещение, 1966.

2.Виноградов И. М. Основы теории чисел / И. М. Виноградов. – М.:

Наука, 1972.

3.Дэвенпорт Г. Высшая арифметика / Г. Дэвенпорт. – М.: Наука, 1965.

4.Серр Ж.-П. Курс арифметики / Ж.-П. Серр. – М. : Мир, 1972.

5.Кострикин А. И. Введение в алгебру / А. И. Кострикин. – М.:

Наука, 1977.

6.Боревич З. И. Теория чисел / З. И. Боревич, И. Р. Шафаревич. – М.:

Наука, 1972.

7.Кудреватов Г. А. Сборник задач по теории чисел / Г. А. Кудреватов. – М.: Просвещение, 1970.

8. Александров В. А. Задачник-практикум по теории чисел / В. А. Александров, С. М. Горшенин. – М.: Просвещение, 1972.

48