Алгебра и теория чисел. Часть 1. Учебное пособие

§ 10. Обобщение китайской теоремы об остатках

Теорема 17.

x x1 mod n1;

Система ...x x2 modn2;

x xk modnk

совместна тогда и только тогда, когда i, j xi xj modНОД(ni,nj ).

Теорема 18.

x x1 mod n1;

Если система x x2 modn2;

...

x xk modnk

совместна, то при любом частном решении x0 ее общее решение име-

ет вид x x0 N , где N НОК(n1,n2,...,nk ).

x 1mod 6;

Пример. Решить систему сравнений x 4 mod 21;

x 7 mod 9.

Из первого сравнения получаем x 1 6k, k ; из второго срав-

нения имеем 1 6k 4mod21, т. е. 6k 3mod 21, откуда 2k 1mod 7 и,

следовательно, k 4 7m, m . Тогда x 1 6(4 7m) 25 42m. Под-

2 3m 2mod9, т. е. 3m 0mod9, m 0mod3 и m 3l, l .

6 2 3, 21 3 7, 9 3 3 НОК(6,21,9) 2 32 7 126.

Ответ: x 25 126l, l .

§ 11. Примеры решения задач по теории сравнений

Пример 1. Решить уравнение 17x 28y 1 в целых числах. Решение.

17x 28y 1 в /17 .

28y 1; 28y 1; 11 y 1; y 3 y 3 17k .

21

17x 28(3 17k) 1; 17x 85 2817k ; x 5 28k .

x 5 28k;

Ответ: k .

y 3 17k;

Пример 2. Решить уравнение 13x 21y 10 в целых числах. Решение.

13x 21y 10 в /13 .

21y 10; 8y 10; y 2 y 2 13k . x 4 21k .

x 4 21k;

Ответ: k .

y 2 13k;

Пример 3. Решить уравнение 17x 13y 19z 1 в целых числах. Решение.

17x 13y 19z 1 в /13 . 17x 19z 1 ; 4x 1 6z .

4 x 1 6z x 4 11 6z 31 6z 3 18z .

4 4 1 1 ; 4 1 3 . x 18z 3 3k, k .

17(18z 3 13k) 13y 19z 1. 13y 19z 17 18z 52 17 13k . 13y 325z 52 17 13k

x 18z 3 13k;

Ответ: k,z .

y 25z 4 17k;

Пример 4. Решить уравнение 11x 17y 15z 7 в целых числах. Решение.

11x 17y 15z 7 в /11 .

6 6 1 1 в /11 6 1 2.

y 8z 8 11k .

11x 17(8z 8 11k) 15z 7 ;

22

11x 143 121z 17 11k ; x 13 11z 17k .

x 13 11z 17k;

Ответ: k, z .

y 8z 8 11k;

Пример 5. Найти остаток при делении 18252199 на 23. Решение.

1825 23 79 8.

ло, 8 22 1; 2199 22 99 21.

Тогда 8 2199 8 22 99 21 1 99 8 21 8 21 8 1 3. (821 8 1 821 8 1 в /23 ).

Ответ: остаток равен 3.

Пример 6. Найти остаток при делении 21023076 на 27. Решение.

27 33 , φ(27) 32(3 1) 18, 2102 27 77 23, 3076 18170 16.

3076

21023076 23 2316 416 72 49 22

( 42 16; 44 256 14; 48 196 7 ).

Ответ: остаток равен 22.

Пример 7. Решить линейное сравнение с помощью функции Эйлера: 27x 32mod56 .

Решение.

27 и 56 – взаимно простые, следовательно, решение есть.

27x 32 в /56 ; x 27 132.

27 1 27 φ(56) 1 27 23 27 16 4 2 1 27 ; (φ(56) φ(7)φ(8) 6 4 24, 27 2 729 1, 27 4 27 16 1).

x 27 32 864 24 . Ответ: x 24 56k, k .

23

Пример 8. Решить линейное сравнение с помощью функции Эйлера: 41x 29mod 63.

Решение.

41 и 63 – взаимно простые, следовательно, решение есть.

41x 29 в /63 ; x 41 1 29;

41 1 41 φ(63) 1 41 35 41 32 2 1;

(φ(63) φ(7)φ(9) 6 6 36);

41 2 1681 43 20, 41 4 20 2 400 22;

41 8 22 2 484 43 20;41 16 20 2 22 ;

41 32 22 2 20 ;

41 32 2 1 20 20 41 400 41 22 41 902 20;

x 20 29 580 13. Ответ: x 13 63k, k .

Пример 9. Решить систему сравнений:

7x 9y 1mod135x 7y 2mod11.

Решение.

5x 7y 2mod11 5x 7y 2 в /11 5x 2 7y

x 4 14y x 4 3y x 4 3y 11k, k .

Подставим полученное выражение для х в первое сравнение си-

стемы: 7( 4 3y 11k) 9y 1mod13

28 12y 77 k 1mod13 2 y k 1mod13 k имеет вид

3 y 13m, m . Тогда

x 4 3y 11( 3 y 13m) 37 8y 143m, m . Ответ: x 37 8y 143m, y, m .

24

Пример 10. Решить систему уравнений в целых числах

23x 17y 13z 27;15x 11y 9z 13.

Решение.

Подбором находим частное решение (1, 1, –1). Далее находим направляющий вектор прямой, заданной данной системой уравнений:

i j k

Ответ: остатки могут быть 0, 1, 3, 4, 5, 6.

Пример 12. Найти остаток при делении 14042012 на 23. Решение.

14042012 1 2012 1

Ответ: остаток равен 1.

Пример 13. Найти остаток при делении 20121404 на 15. Решение.

φ(15) φ(3)φ(5) 2 4 8, 1404 = 8·175 + 4.

20121404 2 1404 24 16 1.

Ответ: остаток равен 1.

25

Теорема 19 (делимость на 11 и на 9).

Пусть A = an an-1 … a0. Если r – остаток от деления A на 11, то

rA a0 10a1 102a2 10n an

a0 a1 a2 ( 1)n an a0 a1 a2 ( 1)n an.

Первая часть теоремы доказана. Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Пример 14. Найти остатки при делении числа 2856897 на 11 и

на 9.

Решение.

7 9 8 6 5 8 2 36mod9, т. е. данное число делится на 9 без остатка. 7 9 8 6 5 8 2 1 10mod11, т. е. остаток при делении на

11 равен 10.

x 3000mod11;

Пример 15. Решить систему сравнений x 22mod 29;

x 7 mod9.

Решение.

N 11 29 9 2871; m1 29 9 261; m2 11 9 99; m3 11 29 319.

26

x 3mod 6;

Пример 16. Решить систему сравнений x 15mod 21;

x 1mod35.

m 2 в /5 ; m = –2 + 5l.

x = 15 + 42(–2 + 5l) = –69 + 210l, l . Ответ: x = –69 + 210l, l .

27

ГЛАВА III. ЦЕПНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ

§ 12. Разложение рационального числа в цепную дробь

Определение 13. Цепная дробь – это дробь вида

1

as 1 1 as

где a0 , ai при 1 ≤ i ≤ s −1, as и as ≥ 2.

Данное выражение без ограничений – обобщенная цепная дробь. Краткая запись – [a0, a1, … , as].

Теорема 20. Любое рациональное число QP (Q > 0) представимо

в виде цепной дроби ( P, Q ).

Доказательство.

Применим алгоритм Евклида к паре (P, Q) .

1

as 1 1 as

где rs −1 =rs as . Теорема доказана.

28

§ 13. Подходящие дроби

29

рассмотрим an an1 1 как единое целое, тогда длина дроби равна n и можно применить формулу для An.

Теорема 22. Pn Qn−1 −Pn−1 Qn = (−1)n−1 для любого n = 1, 2, … , s.

Доказательство (по принципу математической индукции). База индукции:

Шаг индукции: предположим, что формула верна для некоторого n, и докажем, что формула верна для n+1.

Доказательство индукции:

Pn+1 Qn −Pn Qn+1 = (Pn-1 + Pn an+1) Qn − Pn (Qn−1 + Qn an+1) = =Pn−1 Qn − Pn Qn−1 = (−1) (Pn Qn−1 − Pn−1 Qn ) = (−1) (−1)n−1 = (−1)n.

Заключение индукции: формула верна для любого числа n (0 ≤ n ≤ s).

Теорема доказана.

Теорема 23. Дробь Pn /Qn всегда несократима.

Доказательство. Пусть d | Pn, d | Qn (d – общий делитель Pn и Qn). Тогда из предыдущей теоремы получаем d|(−1)n−1, откуда следует, что d = 1.

Теорема доказана.

30