2. Непрерывность функции.
Определение^
Функция
y=f(x)
называется непрерывной в точке 
,
если выполняются следующие три условия:
Функция
;Существует
.
2. Определение наибольшего и наименьшего значений функции, алгоритм его нахождения.
2.1 Определение термина наибольшего и наименьшего значения функции
Наибольшим
значением функции
у=f(x)
на промежутке X
называют такое значение 
=
f(
),
что для любого x
,
x≠
справедливо неравенство f(x)≤
f(
).
Наименьшим
значением функции y=f(x) на
промежутке X называют
такое значение
=
f(
), ,
что для любого x
,
x≠
справедливо
неравенство f(x)≥
f(
).
Эти определения понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на данном интервале при абсциссе .
2.2 Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(X) на непрерывном отрезке .
1)
Найти производную 
(x).
2)
Найти стационарные и критические точки
функции, лежащие на отрезке 
3) Вычислить значения функции y= f(x) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках a и b: выбрать среди этих значений наименьшее и наибольшее.
3. Производная функции
Определение производной функции:
Производной функции f в точке называется число, к которому стремится разностное отношение
,
при 
,
стремящемся к нулю.
4. Экстремум функции
Пусть 
-
область определения функции 
и
точка 
.
Определение
1. Число
М называется локальным максимумом функции
,
если существует такая окрестность
точки
,
что для всех 
из
нее выполняется неравенство 
.
При этом М=
,
а сама точка
называется точкой
локального максимума.
Определение
2. Число m называется локальным
минимумом функции
,
если существует такая окрестность
точки
,
что для всех
из
нее выполняется неравенство 
.
При этом m=
,
а сама точка
называется точкой
локального минимума.
Определение 3. Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами. Соответствующая точка называется точкой локального экстремума.
Теорема
Ферма. Если
функция
имеет
производную в точке
и
достигает в этой точке локального
экстремума, то
Определение 4. Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками.
Замечание. Функция
может иметь экстремум и в точке, где
эта функция не имеет производной.
Например,
-
точка минимума функции 
,
а
не
существует.
Определение 5. Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или не является дифференцируемой, называют критическими точками.
Для того, чтобы точка была точкой экстремума функции , необходимо, чтобы являлась критической точкой данной функции.
Теорема
1. (достаточные условия
того, что стационарная точка является
точкой экстремума) Пусть
функция
дифференцируема
на множестве 
,
-
стационарная точка функции
и
.
Тогда:
1)
если при переходе через точку
производная
функции
меняет
знак с “плюса” на “минус”, т. е.
слева
от точки
и 
справа от точки
,
то
-
точка локального максимума функции
;
2) если при переходе через точку производная функции меняет знак с “минуса” на “плюс”, то - точка локального минимума функции .
Теорема
2. (достаточные условия
того, что стационарная точка является
точкой экстремума) Пусть
функция
дифференцируема
на множестве 
, -
стационарная точка функции
и
эта функция имеет вторую непрерывную
производную в окрестности точки
.
Тогда:
1)
если
,
то
-
точка локального максимума функции
;
2)
если
,
то
-
точка локального минимума функции
.
Схема для решения задач на определение экстремума функций.
1. Установить область определения функции .
2. Найти её первую производную.
3.
Найти стационарные точки функции
,
т.е. решить уравнение 
,
и точки, в которых 
не определена.
4. Определить знак производной на числовых интервалах, на которые стационарные и критические точки разбили область определения.