Механика (краткая теория и примеры решения задач) Ю.Г. Веревочкин

МЕХАНИКА (краткая теория

и примеры решения задач)

2015

Министерство образования и науки Российской Федерации

Московский государственный университет геодезии икартографии

Ю.Г. Веревочкин

Механика (краткая теория и примеры решения задач)

Москва

2015

1

1. Некоторые действия с векторами

Сложение векторов. Векторы можно складывать двумя способами: по правилу треугольника и по правилу параллелограмма. При использовании правила треугольника начало одного вектора (вектор b на рис. 1.1) помещают в конец другого вектора, не изменяя при этом его направления. Суммарный вектор c =a +b замыкает цепочку, составленную из складываемых векторов. Таким способом можно находить сумму любого количества произвольно направленных векторов (рис. 1.2).

При использовании правила параллелограмма совмещают начала векторов. Суммарный вектор представляет собой диагональ параллелограмма, построенного на складываемых векторах (рис. 1.3). Правило треугольникаявляетсяболееобщим,чемправилопараллелограмма,так как позволяет находить сумму коллинеарных векторов (рис. 1.4, 1.5).

3

При этом оказывается, что модуль

Aсуммы одинаково направленных век-

торов (см. рис. 1.4) равен сумме их

Bмодулей, а модуль суммы противо-

A(см. рис. 1.6).

если A < 0, то векторы a и c направлены противоположно (рис. 1.7). Проекция вектора на ось. В качестве обозначения проекции вектора на ось используется буква, используемая для обозначения вектора, с индексом, обозначающим ось. Так ax – это проекция вектора a на ось x. По абсолютной величине проекция вектора на ось равна длине отрезка, который отсекается на этой оси перпендикулярами, опущен-

4

следует, что

5

равен произведению модулей перемножаемых векторов и синуса угла между ними (рис. 1.12):

Направленовекторноепроизведениеперпендикулярнокплоскости,

образуемойперемножаемымивекторами.Приэтомиздвухвозможных направлений выбирается то, которое связано с последовательностью

перемножаемых векторов a , b правилом правого винта (правой руки).

Другими словами, винт устанавливается перпендикулярно к плоскости, образуемой перемножаемыми векторами, и поворачивается по кротчайшему пути от первого вектора ко второму (в нашем случае от

a к b ). Поступательное движение винта, обусловленное этим вращением, задает направление векторного произведения (см. рис. 1.12). При нахождении векторного произведения векторов b и a (вектора b×a ) направлениевращениевинта(от b к a )противоположнотому,которое показано на рис. 1.12. Вследствие этого направление вектора b×a про-

тивоположно направлению вектора a×b (см.рис.1.12).Таккаквсилу соотношения (1.5) модули векторов b×a и a×b равны, то b×a =-a×b .

6

2. Кинематика материальной точки

Материальная точка – это тело, размерами которого можно пренебречь.

Тело, по отношению к которому рассматривается движение материальной точки, называется телом отсчета. Тело отсчета и связанные с ним система координат и прибор для измерения времени образуют системуотсчета.Положениематериальнойточкивсистемеотсчетамож- нозадаватькакспомощьюкоординат,такиспомощьюрадиус–вектора.

Радиус–вектор r проводится из начала координат к рассматриваемой материальной точке.

Перемещение материальной точки – это вектор, проведенный из ее начального положения в ее конечное положение.

Пустьматериальнаяточкапереместиласьизположения1вположение 2, которые характеризуются соответственно радиус-векторами r1 и r2 (рис.2.1).Нетрудновидеть,чтоперемещениеравноразности r2 и r1 . Таккакразностьобозначаетсясимволом∆,тообозначениемперемещения является ∆r , то есть, перемещение

Проекции радиус-вектора на оси системы координат совпадают с соответствующими координатами материальной точки (см. рис. 2.1).

7

где ∆r – перемещение тела за время ∆t (рис. 2.2). Отсюда следует, что:

а) модуль средней скорости перемещения

Задача 2.1. Двигаясь по окружности радиуса R = 2 м, тело совершило 3 оборота по часовой стрелке и четверть оборота против часовой стрелки за время t =10 мин. Определить среднюю путевую скорость и среднюю скорость перемещения тела.

Решение. Этапы движения тела показаны на рис. 2.3. Весь путь тела складывается из пути S1 , пройденного по часовой стрелке (пере-

Y1

8

ход А→А′), и пути S2 , пройденного против часовой стрелки (переход А′→В). Путь, пройденный по часовой стрелке, равен утроенной длине окружности,тоесть, S1 =3 2πR=6πR .Путь,пройденныйпротивчасовой

является производной функции r (t), которая задает зависимость ради- ус-вектора, проведенного к материальной точке, от времени. Отсюда:

где S(t) – функция, описывающая зависимость пути, пройденного материальной точкой, от времени;

9