Механика (краткая теория и примеры решения задач) Ю.Г. Веревочкин

Таким образом, наименьшая скорость, с которой тело пройдет верхнюю точку траектории, двигаясь в вертикальной плоскости по окружности, радиус которой равен длине нити L , находится из уравнения (5.62), то есть, определяется соотношением8

Очевидно, что чем меньше скорость, сообщенная телу в положении равновесия, тем с меньшей скоростью оно проходит верхнюю точкутраектории.Поэтомуприсообщениителуискомойскорости Vmin его скорость в верхней точке траектории будет равной V ′ (5.63). Именно такая ситуация показана на рис. 5.18. Так как при движении тела по

W1 =Wk1 =mV2min2 .

В верхней точке траектории механическая энергия тела находится частично в форме кинетической, а частично в форме потенциальной энергии. С учетом выражения (5.63) ее можно представить в следующем виде:

W2 =Wk2 +WÏ2 =mV2 ′2 +mg(2L)=mgL2 +2mgL=52 mgL.

Приравнивая W2 и W1 , определяем Vmin :

Vmin =5gL.

8 При движении тела по внутренней поверхности «мертвой петли» (см. следующую задачу)

роль силы натяжения играет реакция опоры N . Поэтому минимальную скорость прохождения телом верхней точки «мертвой петли» без отрыва от ее поверхности можно также рассчитать по формуле (5.63), заменив в ней длину нити L на радиус петли R .

60

Задача 5.13. Небольшое тело соскальзывает по наклонному скату, переходящему в «мертвую петлю» радиуса R , с высоты h=R относительно ее центра. На какой высотеотносительно центра петли тело оторвется от ее поверхности? Трением пренебречь.

Решение. Пусть отрыв происходит в точке C (рис. 5.19). Условием отрыва является обращение в ноль реакции опоры N . С учетом данного условия второй закон Ньютона для тела при его нахождении в точке отрыва принимает следующий вид:

В рассматриваемой точке mg имеет ненулевую проекцию на касательную к траектории движения тела (точка C рис. 5.19). Поэтому в ней отлично от нуля тангенциальное ускорение. Чтобы избавиться от его вклада, как обычно при применении законов динамики к изучению движения тела по окружности, спроектируем второй закон Ньютона (5.64) на ось y , направленную к центру петли (точка О, рис. 5.19). В результате получим, что

это выражение для косинуса в (5.65) и сократив R и m , получим, что

9 Трением по условию задачи можно пренебречь, а реакция опоры не совершает работу.

61

Полученная таким способом система двух уравнений с двумя неизвестными позволит определить как V , так и H .

Рассмотримзаконсохранениямеханическойэнергии.Механическая энергия тела в момент начала соскальзывания W1 =mgh=mgR, а его

Из (5.68) следует, что H =23R.

6. Механика вращения твердого тела

Момент инерции i -й материальной точки относительно оси z

где mi – масса этой материальной точки, а Ri – ее расстояние от оси z

(рис. 6.1).

Момент инерции твердого тела относительно оси z складывается из моментов инерции составляющих его материальных точек относительно этой же оси:

62

но малом объеме dV , включающем рассматриваемую точку пространства10. Тогда плотность тела в данной точке

Такой элемент можно рассматривать как материальную точку. По-

этому момент инерции физически бесконечно малого элемента тела

(рис. 6.2). Таким образом, в рамках модели сплошной среды момент

где интегрирование проводится по объему всего тела (рис. 6.2). Приводимые ниже выражения для моментов инерции ряда тел следуют из

формул (6.2), (6.6).

Момент инерции тонкостенного цилиндра относительно его оси

Z Z

R

DM=ρDV

10Отметим, что объем считается физически бесконечно малым, если он бесконечно мал в макроскопическомпониманиииприэтомсодержитдостаточнобольшоеколичествоатомов.Ограничивая dV снизу, мы сглаживаем мелкомасштабную неоднородность вещества.

11Так как ось z проходит через цент (center) масс тела, то для момента инерции используется обозначение IC .

63

Момент инерции однородного сплошного цилиндра массой m и радиуса r относительно его оси симметрии:

Момент инерции тонкого стержня, имеющего длину l и массу m , относительно перпендикулярной к нему оси, проходящей через центр

тельно произвольной оси z (рис. 6.5). Проведем вспомогательную ось z′через центр масс этого тела параллельно исходной оси z .

где m – масса тела, а d – расстояние между осями.

Задача 6.1. Определить момент инерции однородного тонкого стержня длиной l и массой m относительно перпендикулярной к нему оси z , проходящей через его конец.

Решение. Проведем вспомогательную ось z′ параллельную оси z через центр масс стержня (через его середину) (рис. 6.6). Момент

Центр масс

64

ную ось z′ параллельную оси z (см.рис. 6.7). Расстояниемеждуосями d найдем из прямоугольного треугольника: d =lsin60 =l 23 . Тогда по теореме Штейнера

где r – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы F (рис. 6.8).

где θ – угол между векторами r и F .

Напомним, что векторное произведение перпендикулярно к пло-

скости, образуемой перемножаемыми векторами. При этом из двух возможных направлений выбирается то, которое связано с последова-

тельностью перемножаемых векторов (здесь r и F ) правилом правого винта (правой руки). Более подробно, алгоритм нахождения векторного произведения описан в разделе 1.

Проведем ось через точку О, относительно которой определен век-

но оси называется проекция вектора

RM на ось, проходящую через точку

θО, относительно которой определен

Рис. 6.8

66

приложения силы F , а затем най-

демсоставляющуюэтойсилы,лежащуювуказаннойплоскости,которую обозначимF ;

Знак «+»берется тогда, когда сила вращает в направлении, связанном с направлением оси z правилом правого винта (правой руки). Если сила вращает в направлении обратном указанному, то берется знак минус. В ситуации, представленной на рисунке, следует брать знак «+».

Моментом импульса материальной точки относительно точки О

67

Моментом импульса материальной точки относительно оси на-

зывается проекция вектора L на ось, проходящую через точку О, от-

носительно которой определен вектор L .

Такимобразом,терминмоментимпульсаматериальнойточкиотносительно оси z – это еще одно название проекции вектора L на эту ось, вследствие чего для рассматриваемой физической величины ис-

правой руки (правого винта). В противном случае берется знак минус. В ситуации, представленной на рисунке, следует брать знак «+».

Отметим, что в качестве илллюстрации к алгоритму нахождения Lz, помимо рис. 6.11, можно использовать и рис. 6.9, если на нем F заменить на p .

Моментом импульса механической системы относительно точки О называется вектор

Спроектируем формулу (6.19) на ось z , проходящую через точку

О. В результате получим, что момент импульса механической системы

68

p , а момент силы M – роль силы F .

Производная момента импульса механической системы по времени равнавекторнойсуммемоментоввсехдействующихнанеевнешнихсил:

i=1

∑Fi,âíåø – векторная сумма внешних сил, действующих на систему.

Данный факт еще раз указывает на аналогию между импульсом и моментом импульса, силой и моментом силы.

Если ∑Mi,âíåø =0 , то из приведенного уравнения (6.23) следует,

что dLdt =0 , то есть, что L =const . Таким образом, приходим к следу-

ющей формулировке закона сохранения момента импульса: момент импульса механической системы сохраняется, если векторная сумма моментов всех внешних силравна нулю12.

Спроектируем уравнение (6.23) на ось z , проходящую через точку О, относительно которой определены моменты импульса и силы. В ре-

12 Напомним, что импульс механической системы сохраняется, если векторная сумма самих внешних сил равна нулю.

69