2.2 Система уравнений по законам Кирхгофа
Законы Кирхгофа справедливы как для электрических, так и магнитных цепей.
Для составления уравнений по законам Кирхгофа составлена расчетная схема замещения (рисунок 2.2.), заданы направления магнитных потоков и МДС.
Рисунок 2.2.
или
2.3 Определение магнитных потоков
2.3.1 Вебер-амперные характеристики (ВАХ) участков магнитной цепи
Расчет ВАХ участков магнитной цепи проводится в следующей последовательности:
Определяем падение магнитного напряжения в магнитопроводе для каждого значения напряжённости магнитного поля (Н) согласно кривой намагничивания по формуле
UМ1 H1 l1.
Расчетные формулы для каждой ветви магнитопровода:
1-я ветвь:
UМ1 H1 l1
2-я ветвь:
UМ2 H2 l2
3-я ветвь:
UМ3 H3 l3.
Результаты расчета ВАХ сведены в таблицу 2.3 и приведены на рисунке 2.4.
Таблица 2.3 – Вебер-амперные характеристики участков магнитной цепи.
Нв, х10(4) А/м |
-125,6 |
-122,4 |
-117,6 |
-102,4 |
-91,2 |
-81,6 |
-74,4 |
-60,0 |
-17,6 |
0,0 |
17,6 |
60,0 |
74,4 |
81,6 |
91,2 |
102,4 |
117,6 |
122,4 |
125,6 |
|
|||
U(мв), А |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
0,0 |
||||
U(м1), А |
-200,0 |
-150,0 |
-100,0 |
-50,0 |
-30,0 |
-20,0 |
-15,0 |
-10,0 |
-5,0 |
0,0 |
5,0 |
10,0 |
15,0 |
20,0 |
30,0 |
50,0 |
100,0 |
150,0 |
200,0 |
|
|||
U(м2), А |
-64,0 |
-48,0 |
-32,0 |
-16,0 |
-9,6 |
-6,4 |
-4,8 |
-3,2 |
-1,6 |
0,0 |
1,6 |
3,2 |
4,8 |
6,4 |
9,6 |
16,0 |
32,0 |
48,0 |
64,0 |
||||
U(м3), А |
-280,0 |
-210,0 |
-140,0 |
-70,0 |
-42,0 |
-28,0 |
-21,0 |
-14,0 |
-7,0 |
0,0 |
7,0 |
14,0 |
21,0 |
28,0 |
42,0 |
70,0 |
140,0 |
210,0 |
280,0 |
||||
Ф1, х10(-4) Вб |
-6,5 |
-6,3 |
-6,1 |
-5,3 |
-4,7 |
-4,2 |
-3,9 |
-3,1 |
-0,9 |
0,0 |
0,9 |
3,1 |
3,9 |
4,2 |
4,7 |
5,3 |
6,1 |
6,3 |
6,5 |
||||
Ф2, х10(-4) Вб |
-6,3 |
-6,1 |
-5,9 |
-5,1 |
-4,6 |
-4,1 |
-3,7 |
-3,0 |
-0,9 |
0,0 |
0,9 |
3,0 |
3,7 |
4,1 |
4,6 |
5,1 |
5,9 |
6,1 |
6,3 |
||||
Ф3, х10(-4) Вб |
-9,3 |
-9,1 |
-8,7 |
-7,6 |
-6,8 |
-6,1 |
-5,5 |
-4,5 |
-1,3 |
0,0 |
1,3 |
4,5 |
5,5 |
6,1 |
6,8 |
7,6 |
8,7 |
9,1 |
9,3 |
||||
Таблица 2.4 – Перестроение вебер-амперные характеристик по методу двух узлов.
Umdk(1), A |
230,0 |
180,0 |
130,0 |
80,0 |
60,0 |
50,0 |
45,0 |
40,0 |
35,0 |
30,0 |
25,0 |
20,0 |
15,0 |
10,0 |
0,0 |
-20,0 |
-70,0 |
-120,0 |
-170,0 |
Umdk(2), A |
124,0 |
108,0 |
92,0 |
76,0 |
69,6 |
66,4 |
64,8 |
63,2 |
61,6 |
60,0 |
58,4 |
56,8 |
55,2 |
53,6 |
50,4 |
44,0 |
28,0 |
12,0 |
-4,0 |
Umdk(3), A |
332,0 |
262,0 |
192,0 |
122,0 |
94,0 |
80,0 |
73,0 |
66,0 |
59,0 |
52,0 |
45,0 |
38,0 |
31,0 |
24,0 |
10,0 |
-18,0 |
-88,0 |
-158,0 |
-228,0 |
Ф1, х10(-4) Вб |
-6,5 |
-6,3 |
-6,1 |
-5,3 |
-4,7 |
-4,2 |
-3,9 |
-3,1 |
-0,9 |
0,0 |
0,9 |
3,1 |
3,9 |
4,2 |
4,7 |
5,3 |
6,1 |
6,3 |
6,5 |
Ф2, х10(-4) Вб |
-6,3 |
-6,1 |
-5,9 |
-5,1 |
-4,6 |
-4,1 |
-3,7 |
-3,0 |
-0,9 |
0,0 |
0,9 |
3,0 |
3,7 |
4,1 |
4,6 |
5,1 |
5,9 |
6,1 |
6,3 |
Ф3, х10(-4) Вб |
-9,3 |
-9,1 |
-8,7 |
-7,6 |
-6,8 |
-6,1 |
-5,5 |
-4,5 |
-1,3 |
0,0 |
1,3 |
4,5 |
5,5 |
6,1 |
6,8 |
7,6 |
8,7 |
9,1 |
9,3 |
Рисунок 2.3 – Кривая намагничивания.
Рисунок 2.4 – Вебер-амперные характеристики участков магнитной цепи.
2.3.2 Определение магнитных потоков Ф1,Ф2,Ф3 участков магнитной цепи методом двух узлов
Для расчета магнитных потоков в ветвях магнитопровода используется метод двух узлов.
Для определения магнитных потоков Ф1,Ф2,Ф3 магнитное напряжение Umdk выразим по второму закону Кирхгофа через падение магнитного напряжения участков и МДС I W .
UМ1 – участок k–a–d
UМ2 – участок k–b–d
UМ3 – участок k–c–d
1-я ветвь:
UМ1 Uмdk I1 W1, отсюда Uмdk I1 W1 UМ1.
2-я ветвь:
UМ2 Uмdk I2 W2, отсюда Uмdk I2 W2 UМ2.
3-я ветвь:
UМ3 - Uмdk I3W3, отсюда Uмdk UМ3 – I3 W3
Система уравнений
Решение проводится графическим методом. Кривую Фk f (Uмdk) получают путём параллельного смещения характеристики Фk f (UМk) по оси Uмdk от начала координат на величину МДС и зеркального её отображения по отношению к вертикали, проведённой через точку Fk.
Так как все три характеристики выражены через одно и то же магнитное напряжение Uмdk, проводится сложение магнитных потоков Ф1,Ф2,Ф3, задаваясь различными значениями Uмdk; получают зависимость Ф(Uмdk).
Строится результирующую ВАХ всей магнитной цепи на графике. Результаты расчета сведены в таблицу 2.4 и приведены на рисунке 2.5. Результирующая В.А.Х. пересекает ось абсцисс в точке, которая является решение системы уравнений.
Ординаты точек пересечения характеристик Ф1 f (Uмdk), Ф2 f (Uмdk) и Ф3 f (Uмdk) с вертикалью дают значения искомых магнитных потоков Ф1, Ф2, Ф3 по величине и знаку.
Результаты расчета сведены в таблицу 2.5.
Таблица 2.5 – Определение суммарного вебер-амперной характеристики
Umdk, A |
0 |
20 |
40 |
60 |
Ф1, х10(-4) Вб |
4,73 |
3,11 |
-3,11 |
-4,73 |
Ф2, х10(-4) Вб |
6,24 |
6,00 |
-3,00 |
0,00 |
Ф3, х10(-4) Вб |
-7,08 |
-7,65 |
-4,46 |
-8,29 |
Ф, х10(-4), Вб |
3,89 |
1,46 |
-10,58 |
-13,03 |
Рисунок 2.5 – Графическое решение методом двух узлов.
В результате графического расчёта имеем:
Umdk, A |
22,43 |
Ф, х10(-4), Вб |
0 |
Ф1, х10(-4) Вб |
2,36 |
Ф2, х10(-4) Вб |
4,91 |
Ф3, х10(-4) Вб |
-7,26 |
сумма Ф |
0,00 |