Добавил:

kkknopls Можете скинуть на корм кошке в знак благодарности: Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Физика

Файл:

2 Семестр / Конспекты лекций / Магнетизм.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.06.2026

Размер:

729.32 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

1.6. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции (закон полного тока)

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции в вакууме: цир-

куляция вектора магнитной индукции B по произвольному замкнутому

контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром, умноженной на µ0 . Иначе говоря,

∫ Bdl = µ0 ∑Ii , l i

Начало

обхода

контура

			где dl	–	элементарное пе-
I			ремещение вдоль замкнутого
I			контура l.
			контура l.
		dl	Докажем теорему для
α	b	dl	случая, когда ток I течет по
		B	случая, когда ток I течет по
		B	прямому	бесконечно длин-
		dα	ному проводнику, а замкну-
		l	тый контур l расположен в
			плоскости,		перпендикуляр-
			ной току (рис. 14).
			Циркуляция вектора
			магнитной индукции B мо-
		I	жет быть записана в виде
Рис. 14			∫ Bdl		= ∫ B (dl )B ,
			l		l

где B =

µ0I

– индукция магнитного поля прямого тока;

(dl )

– проекция

2πb

вектора элементарного перемещения dl

на направление вектора

B .

Из рис. 15 видно, что (dl ) = b dα с

хорошей степенью точности. Таким образом,

2π µ0I

µ0I 2π

∫

Bdl =

∫

bdα =

2π ∫

dα = µ0I.

2πb

(1.10)

dα

(dl )B

Если изменить направление тока на

рис. 14 на противоположное, то изменится

Рис. 15

направление вектора B на противоположное в каждой точке пространства.

Противоположной по знаку станет циркуляция вектора B для выбранного направления обхода контура. При этом в равенстве (1.10) ток следует считать отрицательным и подставлять его значение в формулу (1.10) со знаком минус. Таким образом, ток следует считать положительным, если направление обхода контура связано с направлением тока правилом правого винта. В противном случае ток надо считать отрица-

тельным.						1
Если	контур l		не		охватывает ток	l
(рис. 16), то						I
		µ I 2		µ I 1		I
		µ I 2		µ I 1
∫ Bdl	= +	20π ∫dα+			20π ∫dα = 0 .
l		1			2

Вслучае контура произвольной

формы (рис. 17) элементарное перемеще-			2
ние dl	разложим	на две составляющие,
перпендикулярную		(dl ) и параллельную	Рис. 16

(dl ) вектору магнитной индукции:


	∫Bdl		= ∫B	(dl	+dl )= ∫	Bdl + ∫		Bdl = 0	+∫Bdl .
	l		l		l		l		l
Так как		Bdl	= B (dl )		, доказательство теоремы для случая контура
				B
произвольной формы сводится к рассмотренному выше случаю.
Можно показать, что теорема о
циркуляции	B	(или закон			полного			I
тока) справедлива в общем случае для								I
системы токов произвольной формы и									dl	B
									dl	B
произвольного замкнутого контура:										dl
∫ Bdl = µ0 ∑Ii ,					(1.11)					dl
l			i							dl
			i
где Ii – токи, охватываемые контуром,
причем Ii	берется		с плюсом, если
направление	Ii	и направление обхода
									Рис. 17

контура связаны правилом правого винта, и с минусом в противном случае. Если контур находится в проводящей среде, в которой существует

упорядоченное движение зарядов, теорему (1.11) удобно представить в виде

∫ Bdl = µ0 ∫ jndS , l S

где S – любая поверхность, ограниченная контуром l; jn – проекция плотности тока на нормаль к элементу поверхности dS .

1.7. Применение теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции. Магнитное поле внутри прямого проводника с током

В качестве примера применения теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции для расчета индукции магнитного поля рассмотрим магнитное поле постоянного тока, текущего в бесконечно длинном прямом проводнике цилиндрической формы радиуса R. Замкнутый контур выберем в виде окружности радиуса r, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси проводника, и с центром на этой оси (рис. 18).

Пусть направление обхода контура связано с направлением тока пра-

Iвилом правого винта. Из осевой симметрии следует, что во всех точках, равноудален-

			ных от оси проводника с током, индукция
			магнитного поля одинакова. Проекция век-
	R		тора магнитной индукции на направление
			элементарного		перемещения совпадает по
			величине с магнитной индукцией во всех
r			точках замкнутого контура.
r		l	Таким образом, для циркуляции век-
			тора магнитной индукции получаем
			∫ Bdl = ∫ Bl dl = B ∫dl = B 2πr , (1.12)
			l	l	l
			где Bl	– проекция вектора магнитной ин-
			где Bl	– проекция вектора магнитной ин-
		Рис. 18	дукции на направление элементарного пе-
ремещения dl .
	Если r > R , то по закону полного тока:
			∫ Bl dl = µ0I .		(1.13)
			l

Из сравнения (1.12) и (1.13) следует

B = µ2π0rI ,

что совпадает с ранее полученной формулой (1.6).

Если r < R , в предположении равномерного распределения тока по сечению проводника, по закону полного тока

∫ Bl dl =µ0 jSl = µ0	I		πr2	= µ0	I	r2	,	(1.14)
	πR	2			2
l					R

где Sl – площадь, охватываемая контуром l; j – плотность тока. Из сравнения

(1.12) и (1.14) следует

B =	µ0I	r .	(1.15)
	2πR2

На графике (рис. 19) показана зависимость индукции магнитного поля от расстояния до оси прямого проводника с током.

B B

0		r	0		r
	R			R

	Рис. 19			Рис. 20

Рассмотрим полый проводник цилиндрической формы в виде трубы, вдоль стенки которой течет постоянный ток. Пусть R – радиус трубы. Замкнутый контур выберем также в форме окружности радиуса r с центром на оси проводника. Пусть r < R . В этом случае контур не охватывает ток и

∫ Br dr = 0 .	(1.16)
l

Из сравнения (1.12) и (1.16) следует, что магнитное поле внутри полого проводника с током отсутствует. На рис. 20 представлена зависимость величины индукции магнитного поля в некоторой точке от ее расстояния до оси прямого полого проводника с током.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Конспекты лекций

#
17.06.20262.08 Mб0Волны.pdf
#
17.06.20261.33 Mб0Колебания.pdf
#
17.06.2026729.32 Кб0Магнетизм.pdf
#
17.06.20261.63 Mб0Электромагнетизм.pdf