Нахождение кратчайших длин путей в графе. Алгоритм Флойда. Сформулировать алгоритм, инвариант цикла, доказать корректность алгоритма. Нахождение кратчайших путей с помощью алгоритма Флойда.
Алгоритм Флойда: Цикл по u принадлежащим V
Цикл по v принадлежащим V (по соседям u)
D(u, v) = A(u, v) (A - матрица весов ребер; A(u, v) - длина ребра)
B(u, v) = u
КЦ
Цикл по w принадлежащим V
Цикл по u принадлежащим V
Цикл по v принадлежащим V
Если D(u, v) > D(u, w) + D(w, v):
D(u, v) = D(u, w) + D(w, v)
B(u, v) = w
КЕ
КЦ
КЦ
КЦ
Инвариант: После k шагов внешнего цикла пометки D(u, v) показывают кратчайшее расстояние между (u, v) по всем путям, у которых промежуточными могут быть вершины только от 1-ой до k-ой.
Поток на графе. Дивергенция потока. Теорема Остроградского-Гаусса в применении к графам.
Транспортные сети (s-t сети). Теорема о минимальном разрезе и максимальном потоке. Алгоритм Форда-Фалкерсона построения максимального потока в задаче с целыми (рациональными) пропускными способностями.
Теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе: величина максимального потока в сети равна величине минимального разреза.
