Из выражения (65) делаем вывод, что решение о наличии или отсутствии сигнала со случайной начальной фазой по комплексной огибающей в принятой выборке принимается по модулю корреляционной суммы.
Пользуясьранеевведённымиобозначениями (33),(34)можнопереписатьправилопринятия решения (65) в более компактном виде:
|
λ |
|
≥<Сотн . |
(66) |
|
|
Критерий Неймана-Пирсона
Наиболее часто встречаемым критерием обнаружения является критерий (обнаружитель) Неймана-Пирсона. В таком случае алгоритм обнаружения опирается на лемму НейманаПирсона об оптимальности, согласно которой, оптимальным является такое правило принятия решения, в котором сравнение отношения правдоподобия производится с порогом, выбирающимся из условия минимума вероятности пропуска цели при заданной вероятности ложной тревоги.
|
ω(yN / H1 ) |
≥< CНП , |
(67) |
|
ω(yN / H0 ) |
||
|
|
|
|
CНП Pпц = Pпцmin , при Pлтр =const. |
(68) |
||
Так как Pлтр =constи известна, то порог Неймана-Пирсона CНП выбирается так, чтобы
Pлтр = |
∞∫ ω(λ / H0 )dλ . |
(69) |
|
СНП |
|
Тогда вероятность пропуска цели будет принимать своё минимальное значение и будет равна
СНП |
|
Pпц = Pпцmin = ∫ ω(λ / H1)dλ . |
(70) |
−∞
Пример Критерий Неймана-Пирсона для сигнала с известной начальной фазой
Проведём вывод выражений для вероятности ложной тревоги Pлтр и вероятности пропуска цели Pпц для сигнала с известной начальной фазой по критерию Неймана-Пирсона.
Накопленная статистика определяется выражением (33). Функция плотности вероятности (ФПВ) накопленной статистики является гауссовой и имеет следующий вид:
ω(λ / H0 )= |
|
1 |
|
|
−λ2 |
|
|
|
|
e |
2Esσш2 |
- ФПВ принятой статистики при условии гипотезы H0 |
|||
|
|
|
|||||
2πEs σш |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
(нормальное распределение).
21
ω(λ / H1 )= |
|
1 |
|
|
−(λ−Es )2 |
||
|
|
e |
2Esσш2 |
- ФПВ принятой статистики при условии гипотезы H1 |
|||
|
|
|
|||||
2πEs σш |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
(нормальное распределение).
σλ2 = Esσш2 и mλ = Es - соответственно дисперсия и математическое ожидание статистики
λ(Es - энергия сигнала),
Тогда вероятность ложной тревоги по критерию Неймана-Пирсона
|
∞∫ |
|
1 |
|
|
−λ2 |
|
|
Pлтр = |
|
|
e |
2Esσш2 |
dλ , |
(71) |
||
|
|
|
||||||
|
||||||||
|
СНП |
2πEs σш |
|
|
||||
где CНП - порог по Нейману-Пирсону. |
|
|
|
|
|
|
||
Выразим статистику λ в долях |
энергии |
λ =νEs |
и учтём, что |
σш2 = N0 /2,N0 - |
||||
спектральная плотность мощности (СПМ) шума. Выполнив подстановку в (71), придём к интегралу следующего вида:
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
−ν2 Es |
|
|
|
π |
|
N |
|
|
|||
|
|
|
|
∫ |
|
|
|||
P |
= |
1 |
|
Es |
|
e N0 dν . |
(72) |
||
|
|
|
|
||||||
лтр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 СНП /Es |
|
|
|
Решение интеграла (72) удобнее всего искать, приведя его к виду дополнительной функции ошибки:
erfc (x)= |
2 |
∞∫e−t2 dt . |
|
|
|
||
|
|
π x |
|
Для этого проведём ещё одну замену: t
Pлтр = 12
=ν |
|
Es |
|
. После замены: |
|
|
N0 |
||
2 |
|
|
∞∫ |
e−t2 dt . |
|||
|
|
|
|
||||
|
π |
|
|||||
|
|
Es |
|
/(Es ) |
|
||
|
|
СНП |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
N0 |
|
||
(73)
(74)
Теперь подставим (73) в (74):
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
s |
|
|
|
|||
P |
= |
|
erf |
С |
НП |
|
|
/(E |
) |
(75) |
||
|
|
|
||||||||||
лтр |
|
2 |
|
|
N0 |
|
s |
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Определим порог из выражения (75) через функцию обратную функции ошибок:
erfinv=erf−1
CНП = |
erfcinv(2Pлтр ) |
Es . |
(76) |
|||
|
|
|
|
|||
|
Es |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
N0 |
|
|
|
|
22
Формула (76) представляет собой выражение для определения порога по критерию Неймана-Пирсона для сигнала с известной начальной фазой.
Теперь определим вероятность пропуска цели. Для этого запишем выражение для определения вероятности пропуска цели по критерию Неймана-Пирсона:
|
СНП |
1 |
|
|
−(λ−Es )2 |
|
|
|
P |
= |
|
|
e 2 Esσш2 dλ . |
(77) |
|||
|
|
|
||||||
пц |
2πEs σш |
|
|
|
|
|||
|
−∞∫ |
|
|
|
|
|||
Проведя с выражением (77) все те же преобразования, что и с выражением (71), получим следующее математическое представление вероятности пропуска цели через функцию ошибок:
|
− 1 |
2 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
P =1 |
|
∫ |
|
|
|
|
e−t2 dt . |
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
пц |
2 |
π |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Es |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
СНП −1 |
|
|
|||
|
|
|
|
N0 |
||||||
|
|
|
|
|
Es |
|
||||
После подстановки (73) в (78)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СНП |
|
Es |
|
|||||
Pпц =1− |
1 erfc |
|
−1 |
|
. |
|||||
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
Es |
N0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|||||||
(78)
(79)
Выражения (75), (79) ( (74), (78)) определяют вероятность ложной тревоги и пропуска цели по критерию Неймана-Пирсона.
Критерий Неймана-Пирсона для сигнала с случайной начальной фазой
Для сигнала с случайной начальной фазой накопленная статистика определяется как |
|
λ |
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
Тогда ФПВ принятой статистики при условии гипотезы H0 |
определяется распределением |
|||||||||||||||||||
|
|
|
λ |
|
−λ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рэлея ω(λ / H |
0 |
)= |
e |
2σш2 |
, а ФПВ статистики при условии гипотезы |
H1 определяется |
||||||||||||||
|
|
σ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ω(λ / H0 )= |
λ |
−λ2 +A2 |
|
Aλ |
|
|
= Es ,I0 (x) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2σ2 |
A |
2 |
|
|
|
|
|||||||
распределением |
Рэлея-Райса |
|
e |
ш I0 |
|
|
, |
|
- |
|||||||||||
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
σш |
|
|
σш |
|
|
|
|
|
|
|
||
модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
Подставим ω(λ / H0 ) в выражение (69) для определения вероятности ложной тревоги
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
∞∫ |
|
|
λ |
e |
−λ |
|
|
||||
Pлтр = |
|
2σш2 |
dλ . |
(80) |
||||||||
σ2 |
||||||||||||
|
|
СНП |
|
|
ш |
|
|
|||||
Проведём замену t = λ2 в (80): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
−t |
−CНП2 |
|
|||
Pлтр = |
2∫ |
|
|
e |
2σш2 |
dt = e 2σш2 . |
(81) |
|||||
2σ |
2 |
|||||||||||
|
С НП |
|
ш |
|
|
|||||||
23
Полученное выражение определяет вероятность ложной тревоги по критерию Неймана-Пирсона для сигнала с случайнойначальной фазой. Определим порог CНП
из выражения (81):
CНП =σш |
|
. |
|
−2ln (Pлтр ) |
(82) |
Перейдём к определению вероятности пропуска цели. Подставим ω(λ / H1 ) в выражение
(70)
|
|
|
|
|
СНП |
λ |
−λ2 +A2 |
|
Aλ |
|
||
|
|
|
|
|
2σ2 |
|
||||||
|
|
|
|
Pпц = |
∫0 |
|
e |
ш |
I0 |
|
dλ . |
(83) |
2 |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
σш |
|
|
σш |
|
|||
Заметим, что в данном случае в выражении для Pпц |
нижний предел интегрирования равен |
|||||||||||
нулю, так как |
|
λ |
|
не принимает отрицательных значений. |
|
|||||||
|
|
|
||||||||||
Проведём замену в выражение (83): выразим λ в долях энергии λ =ν
Es , тогда
С |
|
/ |
|
|
|
|
|
−ν2 Es +Es |
|
|
|
|
|
НП |
E |
s νE |
|
|
νE |
||||||||
|
∫ |
|
2σ2 |
|
|||||||||
Pпц = |
|
|
|
|
s |
e |
ш |
I0 |
|
|
s |
dν . |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
σш |
|
|
|
|
σш |
||
Теперь, подставим в (84) выражение для порога (82), также, учтём что σш2 = N0 /2:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−ln(Pлтр ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Es /N0 ) |
2νE |
|
− |
Es |
(ν2 +1) |
|
|
E |
|
|
|
N |
|
s |
||||||||
Pпц = ∫ |
|
s e |
0 |
|
I0 |
|
|
2ν dν . |
|||
N0 |
|
N0 |
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
(84)
(85)
С помощью выражения (85) можно определить вероятность пропуска цели для сигнала с случайной начальной фазой по критерию Неймана-Пирсона.
24