Добавил:

Lobov4ever Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Основы статистической радиотехники

Файл:

Обнаружение_детерминированных_сигналов_на_фоне_белого_гауссовского

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2026

Размер:

474.75 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

δопт (yN )= argmin(π (δ)).

δ (yN ),

(10) (11)

где P (γ0 / H1 ) - условная вероятность принятия решения γ0 при верности гипотезы H1 .

Ведём Y - N - мерное пространство возможных значений вектора полученной выборки yN ={y0 ,y1,y2 , ,yN }. Пространство Y можно разбить на два подпространства G0 и G1 ,

такие что, если	векторyN принадлежит подпространству G0 ,						устройство принимает
решение γ0 , если же векторyN принадлежит подпространству							G1 ,	устройство примет
решение γ1 . То есть
	y	N	G	0	γ	0 .		(5)
		N		0		0 .		(5)
	yN G1 γ1
Тогда вероятности можно определить как:
	Pлтр = P (γ1 / H0 )= ∫∫∫ ∫ω(yN / H0 )dyN ,							(6)
			G1
	Pпц = P (γ0 / H1 )= ∫∫∫ ∫ω(yN / H1 )dyN ,							(7)
			G0
	Pпобн = P (γ1 / H1 )= ∫∫∫ ∫ω(yN / H1 )dyN ,							(8)
			G1
	Pпотсц = P (γ0 / H0 )= ∫∫∫ ∫ω(yN / H0 )dyN ,							(9)
			G0
где ω(yN / Hi )	- многомерная функция			плотности вероятности				(ФПВ) (функция

правдоподобия)выборки yN приусловиисправедливостигипотезы Hi ,i =1 или 0,∫∫∫ ∫

- N -мерный интеграл по подпространству G0 или G1 ,Pпобн = P (γ1 / H1 )-вероятность правильного обнаружения, Pпотсц - вероятность правильного принятия решения об

отсутствии сигнала в принятой выборке (цели). Причём, пары Pлтр - Pпотсц и Pпц - Pпобн составляют полную группу событий, то есть

Pлтр +Pпотсц =1 ,

Pпц +Pпобн =1.

Алгоритм обнаружителя (алгоритм принятия решения), обозначим его обеспечивать заданное качество работы устройства. Поэтому была введен функционал π (δ), являющийся численным показателем качества работы устройства обнаружителя. Тогда оптимальный алгоритм обнаружения должен удовлетворять следующему условию:

(12)

Рассмотрим алгоритмы обнаружения использующие различные критерии оптимальности.

Байесовский обнаружитель

Критерий Байеса носит также название критерия минимума среднего риска. Средний риск определяется как

	1	1
	R = ∑∑π jk P (H jγk ),							(13)
	j=0 k =0
π - матрица потерь, определяемая как
			π		π			(14)
	π =			01		00	,	(14)
			π10		π11
где π00	- потери при правильном принятии решения об отсутствии сигнала в принятой
выборке, π01 - потери при ложной тревоге,			π10 - потери при пропуске цели, π11 - потери при
правильном обнаружении.
Введём	обозначения: Pлтр =α ,Pпц = β ,				соответственно,			Pпотсц =1−α , Pпц =1−β ;

вероятность того, что гипотеза H0 будет верна P(H0 ), вероятность того, что будет верна гипотеза H1 - P(H1 )=1−P(H1 ), так как P(H1 )+ P(H0 )=1. Тогда совместные вероятности наступления событий γi и Hi , i =1 или 0равны:

P (H0 /γ0 )= P (γ0 H0 )P (H0 1)= P(H0 )( −α),

P(H0	/γ1 )= P(γ1	H0 )P(H0 )= P(H0 )α ,
P (H1	/γ1 )= P(γ1	H1 )P(H1 )1= P(H1 )( −β),
P (H1	/γ0 )= P (γ0 H1 )P (H1 )= P(H1 )β .
Тогда, средний риск равен (распишем выражение (13)):
1	1

R = ∑∑π jk P (H jγk )=π00 P (H0 γ0 )+π01P (H0 γ1 )+π10 P (H1 γ0 )+π11P (H1 γ1 )= j=0 k =0

=π00 P (γ0 / H0 )P (H0 )+π01P (γ1 / H0 )P (H0 )+π10 P (γ0 / H1 )P (H1 )+π11P (γ1 / H1 )P (H1 )=

=π00 (1−α)P(H0 )+π01αP(H0 )+π10 βP(H1 )+π11 (1−β)P(H1 )=

		=π00 P (H0 )+π11P (H1 )+α (π01 −π00 )P (H0 )+β (π10 −π11 )P (H1 ).			(15)
Вероятность ложной тревоги из (10) можно выразить с помощью (9) как
			α =1− ∫∫∫ ∫ω(yN / H0 )dyN .		(16)
			G0
Подставим (7) и (16) в (15):
R =π00 P(H0 )+π11P(H1 )+(π01 −π00 )P(H0 )+
+	∫∫∫		(π10 −π11 )P (H1 )ω(yN / H1 )−(π01	−π00 )P (H0 )ω(yN / H0 ) dyN .	(17)
	∫∫∫		∫
	G0
					12

Из критерия Байеса следует, что необходимо синтезировать такой алгоритм, который минимизирует средний риск:

δ N R	= 0 .	(18)
δyN

Следовательно, брея производную от выражения (17) получим

δ N R = (π10 −π11 )P (H1 )ω(yN / H1 )−(π01 −π00 )P (H0 )ω(yN / H0 )= 0.										(19)
δyN
Из уравнения (19) легко можно выразить выражение для Байесовского обнаружителя
	ω(yN /		H1 )		≥<		(π01 −π00 )P	(H0 )	,	(20)
							(π10 −π11 )P	(H1 )
	ω(yN /		H0 )
	ω(yN /		H0 )
где
	Λ(yN )=						ω(yN / H1 )	-		(21)
	Λ(yN )=						ω(yN / H0 )	-		(21)
							ω(yN / H0 )
называется отношением правдоподобия,
	С		=	(π01 −π00 )P (H0 )				-		(22)
	С	Б	=	(π10		−π11 )P (H1 )		-		(22)
		Б		(π10		−π11 )P (H1 )
байесовский порог.
				Λ(yN )≥<СБ .						(23)

Правило (23) (или (20), что одно и тоже) работает следующим образом: решение о наличии или отсутствии сигнала в принятой выборке принимается на основе сравнения отношения

правдоподобия (логарифма отношения правдоподобия) с некоторым порогом С . Решение

γ1 принимается, когда отношение правдоподобия больше или равно «≥» порогу, решение

γ0 принимается, если отношение правдоподобия меньше «<» порогового значения

Из критерия Байеса вытекает, как его частный случай, критерий идеального наблюдателя. Для получения порога по критерию идеального наблюдателя в СБ полагается, что при принятии правильно решения потери отсутствуют, т.е. π00 =π11 =0 , а потери за

неправильно принятые решения одинаковы π01 =π10 =π . Тогда порог для					критерия
идеального наблюдателя равен
С		=	P (H0 )	,	(24)
С	ИН	=	P (H1 )	,	(24)
	ИН		P (H1 )
правило принятия решения выглядит как
Λ(yN )≥<СИН .					(25)

Критерий идеального наблюдателя (ИН) также носит названия критерия максимума апостериорной вероятности (МАВ) и критерия минимума вероятности ошибки. Покажем,

что критерий ИН действительно обеспечивает минимум вероятности ошибки. Раскроем

выражение (13), взяв во внимание условия π00 =π11 =0

и π01 =π10

=π :

R =π (P (γ1 H0 )+ P (γ0 H1 )).

(26)

Минимизируем выражение (26):

(

0 1 ))

(

0 )

(

1 )

[ ош ]

[ ]

( (

0 )

P γ

+ P γ

= min P γ H

+ P γ H

= min P ,

(27)

min R = min π

так как Pош = P (γ1

H0 )+ P (γ0

H1 ),

Pош - вероятность ошибки.

Константа

π ,

отвечающая

за

потери,

уходит

при

минимизации:

δN π

(P (γ1 H0 )+ P (γ0

H1 ))

δN (P (γ1

H0 )+ P (γ0

H1 ))

min π (P (γ1

H0 )+ P (γ0 H1 ))

=π

= 0

δyN

δ N (P (γ1 H0 )+ P (γ0 H1 ))

(

0 )

(

1 )

, соответственно

= 0

= min P

+ P

δyN

Выражение (27) доказывает, что критерий ИН обеспечивает минимум вероятности ошибки.

Одним из самых распространённых критериев обнаружения является критерий максимума отношения правдоподобия (21) (МП). В МП критерии полагается P (H0 )= P (H1 )= 0.5,

следовательно порог по МП равен

СМП =1 ,	(28)
Правило принятия решения имеет вид
Λ(yN )≥<СМП	(29)
или можно записать как
ω(yN / H1 )≥<ω(yN / H0 )	(30)
Критерий МП является оптимальным при минимуме априорной информации.

Подведём итог по каждому критерию:

1.Критерий Байеса является оптимальным, так как обеспечивает минимум среднего риска;

2.Критерий идеального наблюдателя является оптимальным по минимуму вероятности ошибки;

3.Критерий максимума отношения правдоподобия является оптимальным при минимуме априорной информации.

Отметим, наиболее часто алгоритм принятия решения реализуется не путём сравнения отношения правдоподобия с порогом, а путём сравнения натурального логарифма отношения правдоподобия с натуральным логарифмом от порога.

Запишем логарифм отношения правдоподобия:

	ω(y	N	/ H	)
ln			1		≥< ln C .	(31)
	ω(yN
			/ H1 )

Данная математическая запись не противоречит и эквивалентна (20) благодаря монотонности функции ln (x).

Пример Обнаружение детерминированного вещественного сигнала

Основываясь на (2) запишем ω(yN / H1 )с учётом независимости отсчётов принятой выборки и линейного преобразования функции плотности вероятности (ФПВ) ω(yN / H1 ) реализации

выборки yi

= xi +ni в ФПВ шума

wш (yi − xi ) выборки

ni = yi

− xi

−(y −x )2

−∑(yi −xi )2

ω(y

)

− x )=

i=1

/ H

2σш

2σш .

∏

ш i

2πσш

i=1

2πσш

ω(yN / H0 )- представляет собой ФПВ шума, поэтому:

−∑yi2

ω(y

ω(y /

(y )=

−yi

i=1

/ H

e2σш

e 2σ

ш .

∏

∏ ш i

2πσш

i=1

2πσш

Перепишем выражение (31):

−∑ (yi −xi )2 −yi2

−∑ 2 yixi −xi2

−∑

i=1

(yN /

H1 )

i=1

2 yixi − xi

2σ2

= ln

= ln e

i=1

≥< ln C ,

(yN /

2σш2

0 )

Так как ∑xi2 = Es - энергия сигнала, то окончательно получим:

i=1

∑yixi ≥<σш2 ln C +

(32)

i=1

Обозначим

λ = ∑yixi ,

(33)

i=1

λ- корреляционная сумма принятой выборки и опорного сигнала( опорный сигнал – синтезированный на приёмной стороне сигнал на основании знаний о переданном сигнале,

вданном случае мы обладаем всем объёмом знаний о переданном сигнале, поэтому переданный и опорный сигнал равны) . Также λ можно назвать накопленной статистикой. Введём относительный порог равный

С =σ 2 ln C +

(34)

отн	ш	2
		2

То есть относительный порог является некоторым математическим преобразованием над абсолютным порогом.

С учётом введённых обозначений:

λ ≥<Cотн .

(35)

Обнаружение детерминированного сигнала с известной начальной фазой по комплексной огибающей

В лабораторной работе требуется обнаружить сигнал, используя его комплексную огибающую. Рассмотрим кратко переход от непрерывного узкополосного сигнала к комплексной огибающей.

Уравнение наблюдения (38), представляет собой аддитивную смесь полезного сигнала с случайным доплеровским сдвигом xa (t) и квазибелый гауссовский шум nа (t)с нулевым

средним (m = 0) и дисперсией σш2 .
yа (t)= xa (t)+nа (t).	(36)

Длясигналасизвестнойначальнойфазой xа (t)= cos(ω0t +ϕ(t)), ϕ(t) - фазоваямодуляция.

Проведём

(

математическое

преобразование

над вышенаписанным выражением:

a (

)

(

))

(

)

= cos

t +ϕ

= Re e jϕ(t )e jω0t

= Re x

e jω0t ,

где x

(t)= e jϕ(t)

- комплексная огибающая сигнала xa (td ).

Также можно выделить комплексные огибающие сигнально шумовой смеси yа (t) - y(t) и шума nа (t) - n(t). Теперь запишем уравнение наблюдения в терминах комплексных

	Тд		Тд	Тд
огибающий и в дискретном времени x (t )→xi ,			y (t )→ yi	, n(t)→ni , где Тд	- интервал
дискретизации
	yi = xi +ni ,				(37)
где xi - комплексная огибающая полезного сигнал,			ni - комплексная огибающая		квазибелого
гауссовского шума с нулевым средним	(m = 0)	и дисперсией σш2 .
Представим комплексные огибающие yi и xi		в виде квадратур:
	yi = yiRe + jyiIm ,				(38)
	xi = xiRe + jxiIm .				(39)
Запишем ФПВ w(yi / H1 ) с	учётом	независимости		отсчётов принятой	выборки и
линейного преобразования w(yi / H1 )	реализации выборки yi			= xi +ni в ФПВ шума wш (yi − xi )
выборки ni = yi −xi :
	N		N
w(yN / H1 )=∏w(yi		/ H1 )=∏wш (yi − xi ),			(40)
	i=1		i=1

Далее, пользуясь формулами (38) и (39), продолжим формулу (40), приняв во внимание независимость отсчётов вещественной и мнимой части шума.

(yi − xi )

w(yN / H1)=∏wш

=∏wш (yiRe − xiRe )wш (yiIm − xiIm )=

i=1

2 N

−∑(yiRe −xiRe )2 −∑(yiIm −xiIm )2

i=1

2σш2

i=1

(41)

2πσш

w(yN / H0 )

имеет

вид:

w(yN / H0 )=∏w(yi / H0 )=∏wш

(yi )=∏wш (yiRe − xiRe )wш (yiIm − xiIm )=

i=1

2 N

−∑(yiRe )2 −∑(yiIm )2

i=1

2σш2

i=1

(42)

2πσш

Запишем на основании выражений (41) и (42) отношение правдоподобия

2 N

−∑(yiRe −xiRe )2

−∑(yiIm −xiIm )2

i=1

2σ2

Λ(yN )=

ω(yN / H1 ) =

−∑(yiRe −xiRe )

−∑(yiIm −xiIm )

+∑(yiRe )

+∑(yiIm )

2πσш2

= e

2σш2

i=1

ω(yN / H0 )

2 N

−∑(yiRe )2 −∑(yiIm )2

i=1

2σш2

i=1

2πσш2

(43)

Рассмотрим числитель показателя степени экспоненты в выражении (43) подробнее

−∑(yiRe − xiRe )2 −∑(yiIm − xiIm )2 +

∑(yiRe )2

+∑(yiIm )2

= ∑(2 yiRexiRe +2 yiImxiIm − xi2Re − xi2Im )

i=1

(44)

имеет

место

−∑(xi2Re + xi2Im )= −∑(

2 )= −Es ,

i=1

2∑(yiRexiRe + yiImxiIm )=

2Re

∑(yixi* ) , * - символ комплексного сопряжения.

i=1

Тогда отношение правдоподобия:

−Es +2Re

∑(yixi* )

i=1

Λ(yN )= e

2σш2

(45)

Логарифм отношения правдоподобия

−Es + 2Re ∑(yixi* )

ln Λ

(

N )

i=1

(46)

2σш

следовательно, правило принятия решения примет вид:

Re ∑(yixi* )	≥<σш2	lnC + Es .		(47)
N
i=1			2

Из выражения (47) делаем вывод, что решение о наличии или отсутствии сигнала в принятой выборке принимается не по корреляционной сумме, как в случае с вещественным сигналом (см. формулу (32)), а по вещественной части корреляционной суммы.

Пользуясьранеевведённымиобозначениями (33),(34)можнопереписатьправилопринятия решения (47) в более компактном виде:

Re(λ)≥<Сотн .

(48)

Обнаружение детерминированного сигнала с случайной начальной фазой по комплексной огибающей

Рассмотрим случай сигнала со случайным смещением по фазе полезной составляющей (выделение комплексных огибающих проходит также, как описано в предыдущем пункте):

y	= xejϕ0	+n .	(49)
i	i	i

Последовательно выделим вещественные и мнимые части комплексной огибающей полезного смещённого на ϕ0 сигнала и принятой выборки:


Re(xie jϕ0	)= xiRe cosϕ0		− xiIm sinϕ0		,	(50)
Im(xie jϕ0	)= xiRe cosϕ0		+ xiIm sinϕ0		,	(51)
yiRe = xiRe cosϕ0		−xiIm sinϕ0		+niRe	,	(52)
yiIm = xiIm cosϕ0		+xiRe sinϕ0		+niIm .		(53)

Используя полученные результаты (см. (50) - (53)), запишем отношение правдоподобия:

Nsample

2 N

−

∑

(yiRe −xiRe cosϕ0 +xiIm sinϕ0 )2 −

∑ (yiIm −xiIm cosϕ0 −xiRe sinϕ0 )2

i=1

2σш2

i=1

Λ(yN )=

2πσш

2 N

−∑(yiRe )2

−∑(yiIm )2

2σш2

i=1

2πσш2

Nsample

−

∑

(yiRe −xiRe cosϕ0 +xiRe sinϕ0 )2 − ∑

(yiIm −xiRe cosϕ0 −xiRe sinϕ0 )2

+∑(yiRe )2

+∑(yiIm )2

i=1

= e

2σш2

(54)

Рассмотрим числитель показателя степени экспоненты в выражении (54) подробнее

− xiRe cosϕ0 + xiIm sinϕ0 )2

(yiIm

− xiIm cosϕ0 − xiRe sinϕ0 )2

−∑(yiRe

−∑

+ ∑ yi2Re

+∑ yi2Im

i=1

=−∑N (yi2Re + xi2Re cos2 ϕ0 + xi2Im sin2 ϕ0 −2yiRexiRe cosϕ0 + 2yiRexiIm sinϕ0 −2xiImxiRe cosϕ0 sinϕ0 )− i=1

−∑N (yi2Im + xi2Im cos2 ϕ0 + xi2Re sin2 ϕ0 −2yiImxiIm cosϕ0 −2yiImxiRe sinϕ0 + 2xiImxiRe cosϕ0 sinϕ0 )+ i=1

N N

+∑ yi2Re +∑ yi2Im = i=1 i=1

=−∑N (xi2Re cos2 ϕ0 + xi2Im sin2 ϕ0 −2yiRexiRe cosϕ0 + 2yiRexiIm sinϕ0 )− i=1

N	(xi2Im cos2 ϕ0	+ xi2Re sin2 ϕ0 −2yiImxiIm cosϕ0 −2yiImxiRe sinϕ0 ).	(55)
−∑
i=1

Проведём мат. преобразования над формулой (55):

−∑

(xi2Re cos2 ϕ0

+ xi2Im sin2 ϕ0

+ xi2Im cos2 ϕ0

+ xi2Re sin2

ϕ0 )= −∑

2 ,

i=1

(−2yiRexiRe cosϕ0 +2yiRexiIm sinϕ0 −2yiImxiIm cosϕ0

−2yiImxiRe sinϕ0 )= −2Re

−∑

∑yixi*e− jϕ0

i=1

Запишем получившееся в итоге выражение:

−2Re

(56)

−∑

∑ yixi*e− jϕ0

Упростим (56):

i=1

= cosϕ0

∑yixi*e− jϕ0

∑yixi*

+sinϕ0

Re − j∑yixi*

i=1

(57)

= cosϕ0 Re

∑yixi*

+sinϕ0 Im ∑yixi*

i=1

Введём замену в (57):

∑(yixi* )=

∑(yixi* )

e jψ

(58)

i=1

Im ∑iN1 (yixi* )

где ψ = arctg = .

Re ∑iN1 (yixi* )

После замены (57) имеет вид:

= cosϕ0

+sinϕ0

e jψ

∑yixi*e− jϕ0

∑(yixi* )

e jψ

∑(yixi* )

i=1

= ∑(yixi* )cos(ψ −ϕ0 ).

i=1

(59)

Следовательно, после всех математических и арифметических преобразований отношение правдоподобия Λ(yN ) имеет следующее формульное представление:

2 )−2

−∑(

∑(yixi* )

cos(ψ −ϕ0 )

i=1

Λ(yN )= e

2σш2

(60)

Nsample

(

2 )= Es . Тогда получим:

В (60) имеет место равенство ∑

i=1

−Es

∑(yixi* )

cos(ψ −ϕ0 )

Λ(yN )= e

i=1

2σш2

σш2

(61)

Предположим, что случайная фаза ϕ0 распределена по равномерному закону на интервале

[0;2π] . Исходя из этого предположения усредним отношение правдоподобия по ϕ0 .

Λ(yN )

−Es

= e2σш2

2Es

= e2σш2

21π 2∫0π e

		N
	−	∑(yixi* )	cos(ψ −ϕ0 )
		i=1
e		σ2		=
e			ш	=
			ш

−∑(yixi* )cos(ψ −ϕ0 ) i=1

σ2	dϕ0	,	(62)
ш

где 1/(2π) - функция плотности вероятности случайной величины ϕ0 .

Заметим, что интеграл в выражении (62) равен модифицированной функции Бесселя первого рода нулевого порядка:

∑(yixi* )

cos(ψ −ϕ0 )

2π

i=1

∑(yixi

)

∫0

σш2

dϕ0 = I0

i=1

2π

σш2

Тогда отношение правдоподобия будет иметь вид:

			−Es			∑(yixi* )
Λ(y		) = e					N
	N		2σш2	I	0		i=1		≥< C .
							i=1

						σ2
								ш

следовательно, правило принятия решения примет вид:

N			Es
			Es

∑(yixi* )	≥< I0−1	Ce2σш2		σш2	,

i=1
i=1

(63)

(64)

(65)

где I0−1 (x)- функция,обратнаямодифицированнойфункцииБесселяпервого роданулевого порядка.

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лаб 3

#
06.06.202654.5 Кб01.xmcd
#
06.06.202682.61 Кб02 графики.xmcd
#
06.06.202614.88 Кб0SF_KORR_M_PSP_OBNARUZlabanekoh.sa
#
06.06.202615.99 Кб0вероятности.xlsx
#
06.06.202699.31 Кб0лаб3 отчёт некогерентные обнаружители.docx
#
06.06.2026474.75 Кб0Обнаружение_детерминированных_сигналов_на_фоне_белого_гауссовского.pdf