наибольшее отклонение от МО, среднеквадратическое отклонения (СКО), мода, медиана, корреляция.
Более подробную информацию о характеристиках СВ и формулы их расчёта рекомендуется посмотреть в [1].
|
|
|
Линейные и нелинейные преобразования СВ |
|
|
|||||||||
Если |
СВ X |
с известной ФПВ WX (x) |
подвергается такому линейному или |
|||||||||||
нелинейному преобразованию, что СВ после преобразования равна |
Y = (X ), |
|||||||||||||
( ) |
– известная функция преобразования СВ |
X |
|
в |
Y , то ФПВ СВ |
Y |
можно |
|||||||
определить по следующему алгоритму [2,3]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
Найти обратную функцию ( ), такую что |
X = (Y )(необходимо выразить |
||||||||||||
|
X через Y , используя зависимость Y = (X )); |
|
|
|
||||||||||
2. |
Если функция |
X = (Y ) однозначна, то ФПВ СВ Y рассчитывается как |
||||||||||||
|
|
|
|
WY (y) =WX ( (y)) |
(y) |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
Если функция |
X = (Y ) неоднозначна (то есть выразить X через Y |
можно |
|||||||||||
|
несколькими способами) , то ФПВ СВ Y |
рассчитывается как |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
l |
( l |
(y)) |
|
(y) |
, |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
WY (y) = WX |
|
l |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где l |
– количество функций X = (Y ) |
с помощью которых можно выразить X |
||||||||||||
через Y , используя зависимость Y = (X ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Зная WY ( y ) |
можно определить такие характеристики СВ Y как МО mY , дисперсию |
|||||||||||||
2 |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y , СКО Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Однако,
Y = (X
Y |
|
|
Y |
|
|
||
m |
= |
|
yW |
|
|
− |
|
вышеописанные ) и X (x), как
mY = (x)WX
−
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
Y ( |
) |
Y |
|
Y |
|
Y |
|
(y)dy , 2 |
= |
|
y2W |
y dy − m2 |
, |
|
= 2 . |
|||
−
характеристики можно найти, зная только функцию
(x)dx , Y2 = 2 (x)WX (x)dx − mY2 , Y = 
Y2 .
−
21
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
ФРВ |
FY ( y) |
можно вычислить с помощью |
WY ( y ) |
как |
FY (y) = |
|
WY (v)dv |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
помощью общего правила |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
F |
(y) = P(Y y) = P( (X ) x). |
|
|
|
||
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
или с
Случайные процессы
Если каждому значению t T , где T – некоторое множество действительных
чисел, поставлена в соответствие случайная величина СВ |
X t |
, то говорят, что на |
множестве T задана случайная функция. Если параметр t – это время, то такая случайная функция называется случайным процессом. То есть, случайный процесс (СП) – это семейство случайных величин X (w,t ), заданных на одном и том же
пространстве элементарных событий , зависящих от параметра t T . Часто СП обозначают просто X (t ).
Если зафиксировать t = t0 T , СП X (w,t ) обращается в СВ X (w,t0 ), называемую сечением СП.
Если зафиксировать элементарное событие w = w0 , то СП X (w,t ) обращается в X (w0 ,t ), где X (w0 ,t ) – реализация СП (конкретный вид, который принял СП в результате испытания).
СП делят на
1.Дискретные СП с дискретным временем.
2.Дискретные СП с непрерывным временем.
3.Непрерывные СП с дискретным временем.
4.Непрерывные СП с непрерывным временем.
Внастоящей лабораторной работе рассматриваются только непрерывные СП с дискретным и непрерывным временем.
СП |
X (t ) |
считается |
определённым на |
интервале |
времени |
|||||
произвольном числе |
n и для любых моментов времени |
tk , |
||||||||
интервале |
известна |
n -мерная ФПВ |
WX (x1 |
, x2 |
, |
, xn ;t1 |
,t2 , |
|||
FX (x1, x2 , |
, xn ;t1,t2 , |
,tn ) = P(X (t1 ) x1, X (t2 ) x2 , |
, X (tn ) xn |
|||||||
Часто рассматривают одномерную ФПВ W |
X ( |
x,t |
) |
|
|
|
X |
|||
|
|
и ФРВ СП |
F |
|||||||
(0,T ), если |
при |
||
k =1...n |
на |
этом |
|
,tn ) |
или |
|
ФРВ |
). |
|
|
|
(x,t ). |
|
|
|
Числовые характеристики СП, в отличие от числовых характеристик СВ, в общем виде представляют собой функции, а не числа.
22
Так, МО СП |
X (t ) |
называется неслучайная функция |
mX (t ), которая при любом |
фиксированном значении аргумента t |
равна МО соответствующего сечения СП: |
mX (t ) = M X (t ) |
, M – оператор определения МО. |
|
|
|
|
Дисперсией СП |
|
2 |
X (t ) называется неслучайная функция X (t ), которая при любом |
||
фиксированном значении аргумента t |
равна дисперсии соответствующего сечения |
||||
СП: |
2 |
|
|
, D – оператор определения дисперсии. СКО определяется |
|
X (t ) = D X (t ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
как
|
|
(t ) = |
|
2 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
X |
|
.
Для определения взаимосвязи между двумя различными сечениями СП используется корреляционная функция.
Корреляционная функция СП X K X (t1,t2 ), которая при каждой соответствующих сечений
(t ) – неслучайная |
|
паре значений |
t1 |
|
X ( |
функция двух аргументов
иt2 равна корреляции
t1 ) |
и |
X (t2 ): |
KX (t1 |
,t2 ) = M X (t1 )X (t2 ) − mX (t1 )mX (t2 ). |
|
|
|
|
Для определения степени зависимости сечений двух СП используют взаимную корреляционную функцию.
Взаимная корреляционная функция СП |
X (t ) и Y (t ) – неслучайная функция двух |
||||||||||||||||
независимых |
аргументов |
K XY (t1,t2 ), которая при каждой паре значений |
t1 и |
t2 |
|||||||||||||
равна |
корреляции |
|
( |
соответствующих |
сечений |
X (t1 ) |
и |
Y (t2 ): |
|||||||||
|
XY ( 1 |
2 ) |
|
|
( 1 ) |
|
2 ) |
|
X ( 1 ) Y ( |
2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
K |
t ,t |
|
= M X |
t |
Y |
t |
|
− m |
t m t |
|
. |
|
|
|
|
|
|
Подробнее о характеристиках СП и их свойствах см. в [1].
Важным классом СП являются стационарные СП, характеристики которых не меняются с течением времени.
СП называется стационарным в узком смысле, если все его характеристики зависят не от значений аргументов, а только от их взаимного расположения
FX (x1, x2 , , xn ;t1 + h,t2 + h, ,tn + h) = F (x1, x2 , , xn ;t1,t2 , ,tn ),
для любых n 1 |
, h 0 , t1,t2 , |
,tn T . |
СП называется стационарным в широком смысле, если его МО, дисперсия постоянны mX (t ) = mX , X2 (t ) = X2 , а корреляционная функция зависит только от разности аргументов K X (t1,t2 ) = K X (t2 − t1 ) = K X ( ), где = t2 − t1 .
23
Из стационарности СП в узком смысле следует стационарность в широком смысле. Обратное утверждение неверно.
Большинство стационарных СП обладают свойством эргодичности, что важно для практики. Если СП является эргодическим, то это значит, что по одной, достаточно длинной отдельной реализации можно судить о всех свойствах СП также как по любому количеству реализаций. То есть, характеристики СП, такие как МО и корреляционная функция, могут быть определены как средние по времени для одной реализации достаточно большой продолжительности. Подробнее в [1,3].
Статистическое распределение выборки |
|
|
|
Пусть над СВ X проводится ряд независимых опытов, в каждом из которых СВ |
X |
||
принимает некоторое значение. Пусть СВ X принимает n1 раз значение |
x1 , n2 |
раз |
|
– значение x2 , …, nk |
раз – значение xk . При этом n = n1 + n2 + + nk |
– объём |
|
выборки, значения x1 , |
x2 ,…, xk – варианты СВ X . |
|
|
Операция расположения значений СВ по неубыванию называется ранжированием
статистических данных. Полученным таким образом последовательность |
x |
, |
x |
, |
|
(1) |
|
(2) |
|
…,
x(n)
значений СВ
X
называется вариационным рядом.
Числа ni |
, показывающие сколько раз встречаются варианты |
xi |
в ряде наблюдений, |
называются частотами, а отношение их к объёму выборки – относительными
* |
|
|
|
частотами pi |
|
|
|
* |
|
n |
|
= |
i |
, |
|
pi |
n |
||
|
|
|
|
k |
|
|
|
где n = ni . |
|
|
|
i=1 |
|
|
|
Перечень вариантов и соответствующих им частот или относительных частот называется статистическим распределением выборки или статистическим рядом. Статистическое распределение выборки является оценкой неизвестного распределения.
Если число значений СВ |
X |
велико или СВ |
X |
непрерывна, составляют |
интервальный статистический ряд. Все варианты СВ X в этом случае разбивают на промежутки, которые обычно берут одинаковыми по длине h . Для определения
длины интервала |
h обычно используют следующую формулу |
||
|
h = |
xmax − xmin |
, |
|
|
||
|
|
1 + log2 n |
|
24
где
x |
− x |
max |
min |
– разница между наибольшим и наименьшим значением признака,
m =1+ log2 n – число интервалов.
За начало первого интервала рекомендуется брать величину
xнач
= xmin
− h /
2
.
ni
в данном случае рассчитывается как количество наблюдений, попавших в
каждый интервал. |
|
|
Экспериментальной (эмпирической) ФРВ называется функция |
||
определяющая для каждого значения |
x |
относительную частоту события |
|
|
Fn* (x) = p* (X x) = |
nx |
, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n |
|
|
где n |
– объём выборки, nx |
– число наблюдений меньших |
x . |
||
F |
* |
(x) |
|
|
|
n |
|
|
X x |
||
,
Гистограммой частот (относительных частот) называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h , а высоты равны отношению ni / h – плотность частоты или
p |
* |
|
|
i |
|
h |
|
– плотность относительной частоты.
Более подробная информация и примеры рассмотрены в [1].
Список литературы
1.Д. Письменный. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. – 3-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008. – 288 с. – (Высшее образование).
2.Тихонов В.И., Шахтарин Б.И., Сизых В.В. Случайные процессы. Примеры и задачи. Том 1. –Случайные величины и процессы: Учебное пособие для вузов/ Под редакцией В.В. Сизых. – 2-е изд., стереотип. – М.: Горячая линия–Телеком, 2015. – 400с.: ил.
3.Тихонов, В.И. Статистическая радиотехника. – М.: «Советсткое радио»,1966.
25