3.Произведение белого гауссовского шума и детерминированного сигнала (мультипликативный белый гауссовский шум – МБГШ):
u (t ) = 
b1 + b2t n(t ),
n(t ) – стационарный MБГШ с нулевым МО и дисперсией
Зафиксируем одно k -ое сечение случайного процесса (10)
2 .
(10)
u (tk ) = 
b1 + b2tk n(tk ).
По сути, выражение выше – это линейное преобразование СВ n(tk ), в результате которого получается СВ u (tk ). Это значит, что сохраняется алгоритм действий, описанный для примера (1).
Одномерные ФПВ и ФРВ СП (10) в k -ом сечении равны
|
|
) |
(u,t |
k |
|
u(t |
|
|
|||
|
k |
|
|
|
|
F |
) |
(u,t |
k |
) |
|
u(t |
|
|
|
||
k |
|
|
|
|
|
) = |
|
1 |
|
e |
2 |
2 |
|
|
|
2 |
b + b t |
k |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
u |
|
|
= |
1 + erf |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
2 |
b + |
||
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
||
−u |
2 |
|
|
(b +b t |
|
1 |
2 |
b t |
k |
2 |
|
) |
k |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
(11)
(12)
Подставляя заданные значения |
tk |
= kTд |
и параметров по варианту в (11) и (12), |
|||||
можно рассчитать одномерные ФПВ и ФРВ СП u (t ) и построить их графики. |
||||||||
МО и |
дисперсия СП u (t ) в |
k |
-ом |
сечении равны |
mu (tk ) = 0 , дисперсия – |
|||
2 |
|
2 |
(b1 + b2tk ), СКО – |
b1 |
+ b2tk |
|
(МО осталось такими же, как и у процесса |
|
u (tk ) = |
|
|
||||||
n(t )). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Лабораторное задание
1.Снять гистограмму (экспериментальная ФПВ) и экспериментальную ФРВ заданных сечений для всех трёх исследуемых СП. Сравнить их с рассчитанными в домашнем задании.
2.Сравнить рассчитанные в домашнем задании и полученные в ходе эксперимента МО и дисперсию заданных сечений всех трёх СП.
11
Рекомендации к выполнению лабораторной работы
Необходимо запустить программу «Spectr-2» двойным нажатием левой кнопки мыши по исполняемому файлу Spectr2.exe. В открывшемся окне следует выбрать пункт меню «Файл» - «Загрузить систему». Далее в папке выбрать файл «Синусшум». После выполнения данных действий необходимо выбрать пункт меню «Система» - «Свойства». Откроется окно «Параметры системы», в которое требуется ввести данные (см. рисунок 1). Частота дискретизации вносится в
соответствии с вариантом. Размер пачки равен 1024 для всех вариантов.
Рисунок 1 – Параметры системы
После проведения всех заданных в лабораторном задании экспериментов над Схема1.sa требуется открыть и провести соответствующее заданию эксперименты для схем «Схема2» и «Схема3».
Настройка первой схемы
Исследование статистических характеристик аддитивной смеси гармонического сигнала и белого гауссовского шума
На рисунке 2 приведена схема первого эксперимента, посвящённого исследованию характеристик СП, предоставляющего собой сумму детерминированного гармонического сигнала и АБГШ. Цифрами на рисунке 2 отмечены следующие функциональные блоки:
1.Блок 1 «Гармонич. сигнал» – генератор гармонического сигнала, формирующий гармонический сигнал с заданными параметрами.
2.Блок 2 «Генератор шума» отвечает за формирование белого гауссовского шума.
3.Блок 3 «Сумматор» – сумматор, на который поступают гармонический сигнал и белый гауссовский шум.
12
4.Блок 4 «Статистический анализ» осуществляет статистическую обработку поданного на него сигнала; в результате обработки в окне этого блока отображается гистограмма, экспериментальная ФРВ, спектральная плотность мощности (СПМ) и автоковариация.
5.Блок 5 – осциллограф, благодаря которому можно посмотреть осциллограммы полученных сигналов. Таких блоков в схеме 3: для отображения осциллограммы гармонического сигнала, шума и сигнальношумовой смеси.
Рисунок 2 – Схема исследования статистических характеристик смеси гармонического сигнала и белого гауссовского шума
Настройка блоков производится до запуска системы или при её остановке. Чтобы открыть диалоговое окно интересующего блока необходимо щёлкнуть по нему левой кнопки компьютерной мыши два раза. На рисунках 3, 4 приведен вид диалогового окна блоков 1, 2 и 3 с примерами настройки их параметров. Настройка этих генератора гармонических колебаний (блок 1) производится согласно варианту.
Рисунок 3 – Диалоговое окно блока «Гармонич. сигнал»
При настройке генератора шума все параметры кроме дисперсии устанавливаются в соответствии с рисунком 4. Значение дисперсии вносится исходя из варианта.
13
Рисунок 4 – Диалоговое окно блока «Генератор шума»
Внешний вид диалогового окна настройки блока 5 «Статистический анализ» приведён на рисунке 5. Рекомендации по его настройке следующие:
1. |
Количество испытаний оставить равным 65536. |
|||
2. |
Нижний предел рассчитывается как m − 4 |
, а верхний как m + 4 , где |
||
|
|
|
|
|
|
СКО, m – рассчитанное МО, ( = 2 , 2 |
– рассчитанная дисперсия). |
||
–
3.Шаг выбирается равным размеру пачки – 1024.
4.В окно «пропустить» вносятся временные положения сечений исследуемого СП в отсчётах: k по варианту. Значение «0» соответствует самому первому сечению t1 .
Рисунок 5 – Диалоговое окно блока «Статистический анализ»
Настройка второй схемы
На рисунке 6 приведена схема второго эксперимента, посвящённого исследованию характеристик СП, предоставляющего собой сумму детерминированного пилообразного сигнала и АБГШ. По составу блоков схема второго эксперимента отличается только блоком «Пилообразн.», который отвечает за формирование пилообразного сигнала. Этот блок отмечен на рисунке 6 символом «*».
14
Рисунок 6 – Схема исследования статистических характеристик смеси одного периода пилообразного сигнала и белого гауссовского шума
Настройка блока «Пилообразн.» производится в соответствии с вариантом (см. пример настройки на рисунке 7).
Рисунок 7 – Диалоговое окно блока «Пилообразн.»
Настройка блоков «Генератор шума» производится в соответствии с рисунком 4 (все параметры кроме дисперсии) и вариантом (значение дисперсии).
Рекомендации по настройке блока «Статистический анализ» следующие:
1.
2.
Количество испытаний оставить равным 65536. |
|
||||
Нижний предел рассчитывается как m − 4 , а верхний |
как m + 4 , где |
||||
СКО, m – рассчитанное МО ( = |
2 |
, |
2 |
– рассчитанная дисперсия). |
|
|
|
||||
–
3.Шаг выбирается равным размеру пачки – 1024.
4.В окно «пропустить» вносятся временные положения сечений исследуемого СП в отсчётах: k по варианту. Значение «0» соответствует самому первому сечению t1 .
Пример настройки приведён на рисунке 8.
15
Рисунок 8 – Диалоговое окно блока «Статистический анализ» (2)
Настройка третьей схемы
На рисунке 9 приведена схема третьего эксперимента, посвящённого исследованию характеристик СП, предоставляющего собой произведение детерминированного пилообразного сигнала и МБГШ.
Схема состоит из следующих блоков:
1.Блок 1 «Пилообразн.» отвечает за формирование пилообразного сигнала b2t , t = kTд .
2. |
Блок 2 |
«Пост. напряж.» формирует постоянное напряжение с уровнем b1 . |
|
3. |
Блок 3 |
«Сумматор» выполняет сложение формируя b1 + b2t , t = kTд . |
|
4. |
Блок 4 |
«Квадратный корень» завершает формирвоание детирминированного |
|
|
сигнала |
b1 + b2t , t = kTд . |
|
5.Блок 5 «Генератор шума» отвечает за формирование белого гауссовского шума.
6.Блок 6 Квадратный корень» вычисляет 
b1
7.Блок 7 «Перемножитель» осуществляет
.
умножение шума на
b1
. Это
сделано для того, чтобы при необходимости можно было исследовать шум с постоянной дисперсией для этой схемы.
8. Блок 8 «Перемножитель» перемножает отсчёты детерминированного
пилообразного сигнала
b + b t |
|
1 |
2 |
и белого гауссовского шума.
9.Блок 4 «Статистический анализ» осуществляет статистическую обработку поданного на него сигнала.
Настройка блоков 1 и 2 производится в соответствии с вариантом. В блок 1 вносится значение bmax в качестве параметра «Амплдитуда», в блок 2 – b1 в качестве
параметра «Напряжение». Пример настройки блока 2 приведён на рисунке.
В блок 5 «Генератор шума» вносится значение дисперсии по варианту, а остальные параметры настраиваются согласно рекомендациям для второго эксперимента.
16
Рисунок 9 – Схема исследования статистических характеристик мультипликативной смеси одного периода пилообразного сигнала и белого гауссовского шума
Рекомендации по настройке блока «Статистический анализ» следующие:
1.Количество испытаний оставить
2.Нижний предел рассчитывается СКО, m – рассчитанное МО, (
равным 65536. |
|
||||
как m − 4 , а верхний |
как m + 4 , где |
||||
= |
2 |
, |
2 |
– рассчитанная дисперсия). |
|
|
|
||||
–
3.Шаг выбирается равным размеру пачки – 1024.
4.В окно «пропустить» вносятся временные положения сечений исследуемого СП в отсчётах: k по варианту. Значение «0» соответствует самому первому сечению t1 .
Пример настройки приведён на рисунке 10.
17
Рисунок 10 – Диалоговое окно блока «Статистический анализ» (3)
Эксперимент
После настройки блоков для каждой схемы проводится экспериментальное построение характеристик СП: ФРВ и ФПВ (гистограмма). Для этого выполняется ряд следующих действий:
1.Запускается система с помощью кнопки в виде зелёной стрелки на панели элементов в левом верхнем углу 
(см. рисунок 11).
2.С помощью двойного щелчка левой кнопкой компьютерной мыши по блоку «Статистический анализ» открывается диалоговое окно, в котором отображаются гистограмма и экспериментальная ФРВ. Нажимается кнопка 
для паузы.
3.По гистограмме и экспериментальной ФРВ проверяется соответствие рассчитанных числовых характеристик исследуемого сечения СП (МО и дисперсия) полученным.
4.Полученные графики сохраняются в отчёт.
5.Далее необходимо перенастроить параметр «Пропустить» блока «Статистический анализ» для исследования характеристик следующего сечения. Для изменения параметров системы требуется сначала остановить её работу с помощью кнопки 
на панели инструментов.
6.После перенастройки блока «Статистический анализ» пункты 1-4 повторяются.
Вышеописанный алгоритм повторяется пока не будут исследованы статистические характеристики всех заданных по варианту сечений СП.
18
Рисунок 11 – Панель инструментов «Спектр-2
Содержание отчёта
Отчёт должен содержать:
1.Оформленный титульный лист. На нём должно быть указано полное наименование образовательного учреждения, кафедры, дисциплины. А также название лабораторной работы, ФИО и группа студента, выполняющего лабораторную работу, ФИО и должность проверяющего преподавателя, год выполнения лабораторной работы.
2.В отчёте необходимо написать свой вариант и цель работы.
3.Домашнее задание.
4.Заготовки к выполнению работы в виде таблиц, пустых осей и т.д., если это необходимо.
5.Выполнение лабораторной работы (схемы, графики и анализ полученных результатов)
6.Выводы.
Отчёт может быть оформлен как в рукописном, так и в печатном виде.
Контрольные вопросы
1.Дайте определение случайной величины.
2.Дайте определение ФПВ и ФРВ случайной величины.
3.Какие основные числовые характеристики СВ существуют? Как они вычисляются?
4.Как получить ФПВ случайной величины после её линейного/нелинейного преобразования?
5.Что такое случайный процесс?
6.Какие основные характеристики у случайного процесса?
7.Что такое сечение случайного процесса?
8.Что такое реализация случайного процесса?
9.Какие случайные процессы называются стационарными случайными процессами?
10.Какие случайные процессы называются эргодическими случайными процессами?
11.Что такое гистограмма? Как она строится?
12.Что такое экспериментальная ФРВ? Как она строится? 13.Поясните схемы эксперимента.
19
Теоретический материал
Случайные величины
Случайной величиной X называется пространстве элементарных событий событию w ставит в соответствие число
числовая функция, определённая на, которая каждому элементарному X (w), то есть X = X (w), w .
(Случайное событие – это любой исход опыта, которые может произойти или не произойти. А элементарное событие w – это неразложимые и взаимоисключающие исходы опыта. Множество всех элементарных событий называется пространством элементарных событий .)
Случайная величина (СВ), принимающая конечное, пили счётное множество значений, называется дискретной. Если множество случайных значений СВ несчётно, то СВ является непрерывной.
Полной вероятностной характеристикой СВ является закон распределения – соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений СВ и вероятностями её появления в этих областях.
Универсальной характеристикой СВ, которая используется для описания и дискретных, и непрерывных СВ, является функция распределения вероятности (ФРВ). ФРВ СВ X – это вероятность одновременного выполнения неравенств
X x .
F |
(x) = P (X |
X |
|
x)
,
где
x
– значения СВ
X
.
Для дискретной СВ задают закон распределения, который записывается как
PX (xi ) = P (X = xi ) = pi , i =1...n .
Важной характеристикой непрерывной СВ является плотность распределения вероятностей (ФПВ), которая определяется как
W |
(x) = |
X |
|
F |
(x) |
X |
|
x |
|
.
Тогда
FX
x (x) = WX
−
(v)dv
.
Также важно знать числовые характеристики СВ, которые характеризуют отдельные существенные свойства закона распределения СВ. Важнейшие среди них: математическое ожидание (МО) – центр распределения СВ, дисперсия –
20