Добавил:

Osti Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Криптографические протоколы

Файл:

Лекции / Лекция 2 - Математический базис КП.pptx

Скачиваний:

Добавлен:

04.06.2026

Размер:

1.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

2. Решение системы линейных уравнений на основе китайской теореме об остатках

m1, m2 , , mr	для .		i j
Пусть числа такие что
Тогда система уравнений	x a1	mod m1 ;
	x a2	mod m2
			;


(2.6)	x ar	mod mr

имеет целочисленное решение и при этом, если два числа

данной системы, то они удовлетворяютx' x'' mod Мсравнен

M m1 m2 mr

gcd mi , m j 1

x' x"

иразличнве решения

(2.7)

где

То есть система уравнений имеет единственное решение в классе вычетов по модулю М.

Доказательство. Докажем однозначность решения по					mod M m1 m2 mr
Доказательство. Докажем однозначность решения по					Предположим, что
есть два решения системы (2.6)		и	. Обозначим	x'	x"
есть два решения системы (2.6)		и	. Обозначим	, тогда y удовлетворяет
y x' x"
системе
	y O mod m1	;
	y O mod m2
	y O mod m2	;	y O mod M
			y O mod M

	y O mod mr
	y O mod mr
	m1 , m2 , ..., mr
так как	– взаимно простые. Отсюда и следует, что
	x' x'' mod M

Покажем теперь, как сконструировать хотя бы одно решение x.

M i M	gcd mi , M i 1
mi	M i Ni 1mod mi
	M i Ni 1mod mi

Обозначим	M i M	. Очевидно, что	gcd mi , M i 1
Обозначим	mi	. Очевидно, что			, поэтому существует обратный
		-1	-	,	M i Ni 1mod mi
элемент Ni к Mi по mod mi, т. е. Mi			= Ni	,	, который может быть

найден по алгоритму Евклида для нахождения обратных элементов.

Положим теперь

x ai Mi N i mod M ( a1M1 N1 a2 M2 N2 ar Mr Nr )mod M

i 1

Данное решение будет решением системы (2.6). Действительно, так как mi делит Mj ,i j , видно, что все слагаемые будут равны нулю по mod mi, за исключением i-го слагаемого.

Тогда получаем	x ai M i Ni mod mi			, при i = 1, 2, … , r ,
	, 1	и поэтому x = a mod m
		i	i

т. е. x – решение системы (2.6).

Пример решения системы уравнений

x 2 mod 3

x 3mod 5x 2 mod 7

1. M 3 5 7 105

2. M1 105 / 3 35, M2 105 / 5 21, M3 105 / 7 15

3. N1 2, N2 1, N3 1,

4. x ( 2 35 2 3 21 1 2 15 1) 23mod 105

Подставляя 23 в систему, убеждаемся в правильности решения

3.Цепные дроби

•

Цепная дробь [a0 , a1, , an ]

определяется как

формальная сумма

n 1

Числа a0 , a1, , ak k=0,1,…..,n называются неполными

частными цепной дроби

•

а величины k [ak , ak 1, , an ]

k=0,1,…..,n называются полным частными цепной дроби.

• Цепная дробь, полученная отбрасыванием всех элементов после некоторого номера k, называется k- ой подходящей

дробью

[a0 , a1, a2 , ak , ak 1, , an ]

Пример цепной дроби

[ 3, 2,1, 4] 3	1		47
[ 3, 2,1, 4] 3		1	13
2		1	13
2
	1 1
		4
Неполные частные имеют вид			a 0 3 a 1 2			a 2 1			a		3 4
полные частные имеют вид			0 [ 3, 2,1, 4] 3					1				47
полные частные имеют вид			0 [ 3, 2,1, 4] 3				2		1			13
									1			13
								1		1
								1		1
		[2,1, 4] 2		1	14					4
				1

	1		1	1	5
			1	4

2 [1, 4] 1 14 54

3 [4] 4

Пример подходящих дробей

•

0 [ 3] 3

	1	[ 3, 2] 3 1			5
	1	2				2
		2				2
2	[ 3, 2,1] 3				1		8
2	[ 3, 2,1] 3				1		3
		2			1		3
		2			1
3 [ 3, 2,1, 4] 3					1			47
3 [ 3, 2,1, 4] 3					1			13
			2		1			13
			2
				1 1
					4

Вычисление цепной дроби

Достаточно выписать Алгоритм Евклида для чисел P иQ, и взять столбец , полученный при этом целых частных в

качестве неполных частных искомой дроби			P	173
173 281 0 173			Q	281
173 281 0 173
281 173 1 108
173 108 1 65	P	173 [0,1,1,1,1,1,1, 21]
108 65 1 43	P

	Q	281
65 43 1 22	Q	281
65 43 1 22
43 22 1 421

22 21 1 1

21 1 21 0

• Подходящие дроби можно представить рациональными

числами

k=0,1,…..,n .

a0a1 1

ak Pk 1 Pk 2

для

k 2

ak Qk 1 Qk 2

Свойства:

P Q

Q ( 1)n 1

Если a [a0 , a1, , a , ],

то

n n 1

n 1

0 2 2k a 2k 1 3 1

PnQn 2 Pn 2Qn ( 1)

n 1

3. (PnQn ) 1

Если

a [a ,a , ,a , ], то

4. 1 Q0 Q1 Q2

0 1

QnQn 1 1

Если P0 1, то P1

n n 1

( 1)n 1

QnQn 1

Qn 1Qn 1

Применение цепных дробей

1.Для приближения действительных чисел рациональными с наилучшим приближением.

2.Для сокращения обыкновенных дробей

3.Для решения диофантовых уравнений с двумя неизвестными.

4. Для решения сравнений первой степени ax b(mod m) .

П.1 Любая подходящая дробь	k	[a , a	, , a ], k 0,1, 2
	k	0 1	k

является наилучшим приближением к действ. числу

a[a0 , a1, , an , ].

Воснове практического применения используется свойство

1 Для нахождения наилучшего

a n n 1 n Q Q

приближения с точностьюn 1 n ∆, рассматриваются знаменатели тех подходящих дробей, для которых