Добавил:

Osti Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Криптографические протоколы

Файл:

Лекции / Лекция 2 - Математический базис КП.pptx

Скачиваний:

Добавлен:

04.06.2026

Размер:

1.39 Mб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Лекция 1 Математический базис КП

1.Введение в учебную дисциплину Криптопротоколы 1 Теоремы Ферма и Эйлера.

2.Китайская теорема об остатках

3.Цепные дроби.

4.Квадратичнве вычеты

5.Генерирование простых чисел

Изучено в прошлом семестре (асимметричные криптосистемы)

•Модульная арифметика

•Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида (нахождение обратного элемента по модулю)

•Теоремы Эйлера и Ферма

•Методы быстрого возведения в степень

•Понятие односторонней функции

•Системы с открытыми ключами Эль-Гамаля, РША, Диффи-Хеллмана.

Планируется изучить в этом семестре

•Математический базис КП

•Анализ стойкости КС РША

•КС Рабина, Уильямса, Голдвассера-Микали

•Квантовый компьютер и КС устойчивые к атакам на основе квантового компьютера.

•Постквантовая криптография, КС Мас-Элис,и др.

•Гомоморфное шифрование, криптосистема Пэйе

•Криптопротоколы:

--скрытое вычисление точек интереса

--разделение секрета

--дистанционное электронное голосование

--доказательства с нулевым разглашением секрета

--поручительство

--распределения ключей

• Российская система дистанционного электронного голосования

Литература по курсу

1. В.И.Коржик, Яковлев В.А.

“Основы криптографии“, СПб, ИЦ Интермедиа. 2016. (в библиотеке)

2.В.И.Коржик, Просихин В.П., Яковлев В.А.

“Основы криптографии“, СПбГУТ- СПб, 2014. (в библиотеке, в том числе в электронном виде)

Дополнительная

2. Черемушкин А. В.

Криптографические протоколы. Основные свойства и уязвимости : учеб. пособие для студ. учреждений высш. проф. образования. — М.: Издательский центр «Академия», 2009. — 272 с

• 1. Математический базис криптопротоколов

1. Малая теорема Ферма	a p 1 1mod p
Если p – простое число и p не делит a, то

Доказательство. Заметим, что 0, a, 2a, … , (p – 1)a различны по

i a j a mod p mod p. В противном случае, если предположить, что , при

, тоi (i –j j)a = 0mod p и поэтому p делит (i - j)a . Но поскольку p не делит a и i, j < p , то сделано неверное предположение, и тогда числа

0, a, 2a, … , (p – 1)a составляют всего лишь перестановку чисел

1, 2, … , p - 1. Следовательно, справедливо следующее равенство:

или Сокращая обе получаем : ap-1

a 2a p 1 a a p 1 p 1 !mod p

1 2 ( p 1) ( p 1)!mod p

a p 1 p 1 !mod p p 1 !mod p

стороны тождества на (p-1)!

-1 = 0 mod p .

Функция Эйлера

Определение 3. Пусть n – целое натуральное число, тогда

функцией Эйлера

называется количество целых

n #

n; gcd b, n

и взаимно простых с n,

неотрицательных чисел, меньших n

т. е.:

#{X

}

где

означает количество элементов множества X.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ………..

Свойства:

(1)

( p

) p

n 1

, если р –простое число.

2 p

n p 1

sили

2 1

s 1

4. Функция Эйлера мультипликативна

( p1 1) ( p2 1) ( ps 1)

( p1

)

Другая запись свойства 4

n p1

...pr

n 1

Теорема Эйлера (обобщение теоремы Ферма)

Если gcd(a,m) = 1 , то a m 1mod, m где m – функция Эйлера [1].

Теорема Ферма – это частный случай теоремы Эйлера. Действительно, если m = p – простое число, то по теореме Эйлера p p 1, что и дает утверждение теоремы Ферма: ap-1 = 1 mod p.

Утверждение 1. (Полезное для ускорения вычисления

степени по модулю.) Если gcd(a, m) = 1, , то

a n' mod m [3].a n mod m

n' n mod m

n=pq, n p 1 q 1 p, q =?

Утверждение 2. (Полезное для анализа стойкости криптосистем с открытым

ключом.) Пусть	n p q	–p,простыеq	числа.	p q	Тогда числа p
	, где
и q можно найти, если известно n и			n p 1 q 1

Доказательство. Будем рассматривать p, q как пару неизвестных целых чисел, для которых задано их произведение p q , знаяn произведение и функцию Эйлера от него , можно найти сумму этих чисел

где b – nнекоторое1 n целоеp q 1числоp 1. q 1 p q 2b

Два числа, сумма которых равна 2b , а произведение равно n, являются очевидно корнями уравнения (теорема Виета). Тогда корни квадратного уравнения и есть необходимыеx 2 2bx n 0числа p и q:


p b b2 n2 ; q b b2				n2
Сложность решения этого уравнения –

O log 3 n