Лабораторная работа № 16
Численное решение задачи Коши для системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
1.Задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Задачей Коши или задачей с начальными условиями для системы обыкно-
венных дифференциальных уравнений (ОДУ) называется задача построения решения системы уравнений (16.1)
dx (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
, , x |
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
f |
|
(t, x |
, x |
|
|
|
|
) |
|
||||
|
|
1 |
2 |
n |
|
|||||||||||
dt |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dx |
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, , x |
|
|
|
|||
2 |
|
f |
|
(t, x |
|
, x |
|
|
|
) |
, |
|||||
dt |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
1 |
|
|
2 |
|
|
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, , x |
|
|
|
||
|
n |
|
f |
|
(t, x |
|
, x |
|
|
|
) |
|||||
|
|
n |
|
2 |
n |
|||||||||||
dt |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(16.1)
на некотором промежутке a<t≤b, удовлетворяющего заданным начальным условиям для каждой неизвестной функции
(0) |
(0) |
(0) |
. |
|
|
|
|
|
(16.2) |
x1 (a) x1 |
, x2 (a) x2 |
, ..., xn (a) xn |
|
|
|
|
|
||
В дальнейшем предполагается, что функции |
i |
1 |
2 |
n |
|
(i=1,2,…,n) опреде- |
|||
|
|
|
|
f |
(t, x |
, x |
, , x |
) |
|
лены и непрерывны в рассматриваемой области. |
|
|
|
|
|||||
Если на промежутке [a, b] задана равномерная сетка: |
|
|
|||||||
ωh={xn=a+nh, n=0, 1, 2, …, l}, где h=(b–a)/l. |
|
|
|
(16.3) |
|||||
то приближенное решение задачи Коши для системы ОДУ можно построить,
применяя расчетные формулы, полученные для одиночного уравнения, к каж-
дому уравнению системы.
Рассмотрим решение системы ОДУ на примере системы из двух уравне-
ний, которую запишем в виде (16.4)
87
dx(t) |
|
f (t, x, y), |
||
|
dt |
|||
|
|
|||
|
|
|
|
|
dy(t) |
g(t, x, y). |
|||
|
dt |
|||
|
|
|||
|
|
|
||
(16.4)
Начальные условия для неизвестных функций:
x(a) x |
(0) |
, |
|||
|
|
||||
|
|
(0) |
|
||
y(a) y |
. |
||||
|
|
||||
(16.5)
Обозначим сеточную функцию, являющуюся приближенным решением первого уравнения системы, через u(tn)=un, а сеточную функцию для второго уравнения системы через w(tn)=wn. Тогда расчетные формулы для метода Эйле-
ра имеют вид (16.6).
u |
|
u |
|
hf t |
,u |
|
, w |
, |
u |
|
x |
(0) |
, |
|||
n 1 |
n |
n |
0 |
|
|
|||||||||||
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
w |
|
w hg t |
|
,u |
, w |
, |
w |
y |
(0) |
, |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
n 1 |
|
n |
n |
|
n |
n |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
(16.6)
где n=0, 1, 2, …, l–1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Метод Эйлера имеет погрешность первого порядка [3], т.е. погрешность |
|||||||||||
для |
каждой функции |
в точке |
tn можно оценить, как |
n un xn |
M n h и |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
y |
w y |
n |
M y h . Здесь M x |
и M y |
некоторые постоянные величины. |
|
||||||
n |
|
n |
|
n |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
Расчетные формулы для четырехэтапного метода Рунге-Кутта, применяе- |
|||||||||||
мого к системе (16.4) с начальными условиями (16.5), приведены в (16.7). |
||||||||||||
u0 |
x |
(0) |
, |
|
|
|
|
w0 y |
(0) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
k1,n
k |
2,n |
|
k3,n
k |
4,n |
|
hf
hf
hf
hf
t |
n |
, |
||
|
|
|||
|
|
|
|
|
t |
n |
|||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
n |
|||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
t |
n |
|||
|
|
|||
un , wn |
, |
|
|
|||
|
h |
, u |
|
|
k |
, w |
|
|
1,n |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
n |
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
||
h2 , un k22,n , wn
h, un k3,n , wn
|
m |
|
|
||
|
1,n |
|
|
||
|
2 |
, |
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
, |
|
|
m2,n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
||
m3,n , |
|
|
|
||
m1,n
m2,n
m3,n
m4,n
hg t |
n |
, |
|
|
|
||
|
|
|
|
hg t |
n |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hg t |
n |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
hg t |
n |
||
|
|
||
un , wn ,
h , un k1,n
2 2
h2 , un k22,n
h, un k3,n ,
,wn
,wn
wn
|
m1,n |
|
, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(16.7) |
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
m2,n |
|
, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m3,n , |
|
|
|
||
88
u |
|
u |
|
|
1 |
(k |
2k |
n 1 |
n |
|
|||||
|
|
|
6 |
1,n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2,n |
2k |
3,n |
|
k |
4,n |
) |
|
|
.
w |
w |
1 |
(m |
2m |
2m |
|
|||||
n 1 |
n |
6 |
1,n |
2,n |
3,n |
|
|
|
|
|
m |
) |
4,n |
|
.
Четырехэтапный метод Рунге-Кутта имеет погрешность четвертого поряд-
ка [3], т.е. погрешность для каждой функции в точке tn можно оценить, как
n |
un |
xn |
M n h |
|
и n |
wn yn |
M n h |
|
. Здесь |
Mn |
и |
M n некоторые постоянные |
x |
|
|
x |
4 |
y |
|
y |
4 |
|
x |
|
y |
величины.
Расчетные формулы трехшагового метода Адамса указаны в (16.8)
|
un 1 |
un |
h |
23 f |
tn ,un , wn 16 f tn 1,un 1, wn 1 5 f tn 2 |
,un 2 |
, wn 2 |
|
, u0=x(0), |
||||||||||||||
|
12 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(16.8) |
|
w |
w |
|
h |
23g t |
,u |
, w 16g t |
|
,u |
|
, w |
5g t |
|
,u |
|
, w |
|
, |
w0=y(0) |
||||
|
|
n 1 |
n 1 |
n 2 |
n 2 |
|
|||||||||||||||||
|
n 1 |
n |
|
12 |
|
n |
n |
n |
|
n 1 |
|
|
n 2 |
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Для начала вычислений методом Адамса необходимо, используя метод |
||||||||||||||||||||||
Рунге-Кутта, найти значение сеточных функций в точках t1 |
и t2. |
||||||||||||||||||||||
|
Трехшаговый метод Адамса имеет погрешность третьего порядка [3], т. е |
||||||||||||||||||||||
погрешность для каждой неизвестной функции в точке tn |
можно оценить, как |
||||||||||||||||||||||
n |
un xn |
|
M n h |
|
и |
n |
wn yn M n h |
. Здесь Mn |
и |
M n |
некоторые постоянные |
||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
y |
|
|
y |
3 |
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
величины.
2. Практическая оценка погрешности решения ОДУ. Правило Рунге
Оценку погрешности можно выполнить, сравнивая значения сеточных функций, полученных с различными шагами сетки, на правом конце отрезка.
Обычно значения шага сетки различаются в два раза. Тогда оценки погрешно-
стей имеют вид:
2xm
y
2m
x2m xm
2n 1
y2m ym
2n 1
(16.9)
.
89
Здесь x – оценка погрешности для значения x2m на правом конце отрезка, а 2m
y – оценка погрешности для значения y2m. Значение показателя степени n 2m
принимается равным порядку погрешности метода.
3. Оформление результатов вычислений
Результаты вычислений сеточных функции размещаются в таблицах 16.1 и
16.2. Таблица 16.1 содержит значения сеточных функций un и wn, которые опре-
деляются с помощью метода Рунге-Кутта. Таблица 16.2 заполняется отдельно для метода Эйлера и метода Адамса. В методе Адамса значения неизвестных
|
функций в точке |
|
0 берется из начальных условий, а в точках 1 и |
t |
2 использу- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
||
|
ются результаты из табл. 16.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 16.1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение системы ОДУ методом Рунге-Кутта |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление функции un |
|
|
Вычисление функции wn |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
tn |
|
k1,n |
|
|
k2,n |
|
k3,n |
|
k4,n |
|
un |
|
m1,n |
m2,n |
m3,n |
|
m4,n |
|
wn |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
t0 |
|
k1,0 |
|
|
k2,0 |
|
k3,0 |
|
k4,0 |
|
u0 |
|
m1,0 |
m2,0 |
m3,0 |
|
m4,0 |
|
w0 |
||||||||||
1 |
|
t1 |
|
k1,1 |
|
|
k2,1 |
|
k3,1 |
|
k4,1 |
|
u1 |
|
m1,1 |
m2,1 |
m3,1 |
|
m4,1 |
|
w1 |
||||||||||
|
… |
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
… |
… |
… |
|||||||||||||||||
m-1 |
|
tm-1 |
|
k1,m-1 |
|
k2,m-1 |
|
k3,m-1 |
|
k4,m-1 |
|
um-1 |
|
m1,m-1 |
m2,m-1 |
m3,m-1 |
|
m4,m-1 |
|
wm-1 |
|||||||||||
|
m |
|
tm-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
um |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wm |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 16.2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Решение системы ОДУ методами Эйлера и Адамса |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод Эйлера |
|
|
|
|
Метод Адамса |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
n |
|
tn |
|
f(tn,un,wn) |
|
|
|
un |
|
g(tn,un,wn) |
|
wn |
|
un |
|
|
wn |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
t0 |
|
f(t0,u0,w0) |
|
|
|
u0 |
|
g(t0,u0,w0) |
|
w0 |
|
u0 |
|
|
w0 |
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
t1 |
|
f(t1,u1,w1) |
|
|
|
u1 |
|
g(t1,u1,w1) |
|
w1 |
|
u1 |
|
|
w1 |
|
|
||||||||||
|
… |
|
… |
|
|
|
|
… |
|
|
|
… |
|
|
|
… |
|
… |
|
… |
|
|
… |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m-1 |
tm-1 |
f(tm-1,u m-1,w m-1) |
um-1 |
g(tm-1,u m-1,w m-1) |
wm-1 |
um-1 |
wm-1 |
m |
tm-1 |
|
um |
|
wm |
um |
wm |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Задания для самостоятельного выполнения
1.Для двух разбиений отрезка интегрирования, границы которого указаны в варианте задания, с m=10 и m=20 вычислить приближенное значение сеточ-
ной функции для соответствующей системы ОДУ с заданными начальными условиями, используя методы Эйлера, Рунге-Кутта и Адамса см. (16.6), (16.7) и (16.8). Вычисления выполнять с 5 десятичными знаками.
2.Оформить результаты расчетов в виде таблиц 16.1 и 16.2, адаптированных к условиям задачи.
3.Оценить значения погрешности полученного решения для каждой сеточной функции, используя правило Рунге.
4.Построить и включить в отчет графики сеточных функций, полученных различными методами для m=20.
5.Пример выполнения задания
Задание
1. Вычислить приближенное решение задачи Коши для системы ОДУ
x x ye |
|
|
t |
|
t |
y |
xe |
с начальными условиями
x(0) 0, |
|
|
1, |
y(0) |
|
при двух разбиениях отрезка [0,4] с m=10 и m=20, используя методы Эйле-
ра, Рунге-Кутта и Адамса.
2.Оформить результаты расчетов в виде таблиц 16.1 и 16.2, адаптированных к условиям задачи.
3.Оценить погрешность решения на правом конце отрезка, используя правило Рунге.
4.Построить и включить в отчет графики сеточных функций, полученных различными методами для m=20.
91
Результаты вычислений
Численное решение системы обыкновенных дифференциальных уравне-
ний выполняется в соответствии с расчетными формулами (16.6), (16.7) и
(16.8).
Результаты решения системы методом Эйлера и методом Адамса разме-
щаются в табл. 16.3 для случая m=10 и табл. 16.4 для m=20. Форма таблиц соот-
ветствует табл. 16.2.
Результаты решения системы методом Рунге-Кутта размещаются в табл. 16.5 для случая m=10 и табл. 16.6 для m=20. Форма таблиц соответствует табл. 16.1.
Таблица 16.3
Решение ОДУ методами Эйлера и Адамса для m=10
|
|
|
Метод Эйлера |
|
Метод Адамса |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
tn |
fn |
un |
gn |
wn |
un |
wn |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0,4 |
0,27032 |
0,4 |
-0,59673 |
1 |
0,26102 |
0,92122 |
2 |
0,8 |
-0,16605 |
0,50813 |
-1,13086 |
0,76131 |
0,32232 |
0,69702 |
3 |
1,2 |
-0,34865 |
0,44171 |
-1,46652 |
0,30896 |
0,29186 |
0,35473 |
4 |
1,6 |
-0,35830 |
0,30225 |
-1,49704 |
-0,27764 |
0,21430 |
-0,07048 |
5 |
2 |
-0,27754 |
0,15893 |
-1,17432 |
-0,87646 |
0,13625 |
-0,48700 |
6 |
2,4 |
-0,17003 |
0,04791 |
-0,52811 |
-1,34619 |
0,07231 |
-0,85423 |
7 |
2,8 |
-0,07460 |
-0,02010 |
0,33060 |
-1,55744 |
0,02719 |
-1,10529 |
8 |
3,2 |
-0,00815 |
-0,04995 |
1,22529 |
-1,42520 |
0,00102 |
-1,19075 |
9 |
3,6 |
0,02765 |
-0,05320 |
1,94720 |
-0,93508 |
-0,01160 |
-1,10424 |
|
|
|
-0,04214 |
|
-0,15620 |
|
|
10 |
4 |
|
|
-0,01514 |
-0,84012 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
92
Таблица 16.4
Решение ОДУ методами Эйлера и Адамса для m=20
|
|
|
Метод Эйлера |
|
Метод Адамса |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
tn |
fn |
un |
gn |
wn |
un |
wn |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0,2 |
0,61873 |
0,2 |
-0,24428 |
1 |
0,16266 |
0,98007 |
2 |
0,4 |
0,31382 |
0,32375 |
-0,48297 |
0,95114 |
0,26103 |
0,92107 |
3 |
0,6 |
0,08248 |
0,38651 |
-0,70427 |
0,85455 |
0,31038 |
0,82477 |
4 |
0,8 |
-0,08232 |
0,40301 |
-0,89691 |
0,71370 |
0,32319 |
0,69527 |
5 |
1 |
-0,18998 |
0,38654 |
-1,05073 |
0,53431 |
0,31082 |
0,53791 |
6 |
1,2 |
-0,25091 |
0,34855 |
-1,15721 |
0,32417 |
0,28226 |
0,35871 |
7 |
1,4 |
-0,27550 |
0,29836 |
-1,20993 |
0,09273 |
0,24469 |
0,16484 |
8 |
1,6 |
-0,27340 |
0,24326 |
-1,20490 |
-0,14926 |
0,20352 |
-0,03604 |
9 |
1,8 |
-0,25309 |
0,18858 |
-1,14087 |
-0,39024 |
0,16261 |
-0,23594 |
10 |
2 |
-0,22166 |
0,13797 |
-1,01944 |
-0,61841 |
0,12453 |
-0,42692 |
11 |
2,2 |
-0,18475 |
0,09363 |
-0,84505 |
-0,82230 |
0,09085 |
-0,60133 |
12 |
2,4 |
-0,14661 |
0,05668 |
-0,62485 |
-0,99131 |
0,06230 |
-0,75221 |
13 |
2,6 |
-0,11027 |
0,02736 |
-0,36839 |
-1,11628 |
0,03906 |
-0,87349 |
14 |
2,8 |
-0,07767 |
0,00531 |
-0,08728 |
-1,18996 |
0,02090 |
-0,96028 |
15 |
3 |
-0,04989 |
-0,01023 |
0,20540 |
-1,20742 |
0,00734 |
-1,00904 |
16 |
3,2 |
-0,02734 |
-0,02020 |
0,49565 |
-1,16634 |
-0,00224 |
-1,01774 |
17 |
3,4 |
-0,00994 |
-0,02567 |
0,76922 |
-1,06721 |
-0,00854 |
-0,98594 |
18 |
3,6 |
0,00270 |
-0,02766 |
1,01232 |
-0,91336 |
-0,01221 |
-0,91482 |
19 |
3,8 |
0,01122 |
-0,02712 |
1,21228 |
-0,71090 |
-0,01389 |
-0,80712 |
|
|
|
-0,02488 |
|
-0,46844 |
|
-0,66704 |
20 |
4 |
|
|
-0,01411 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
93
Таблица 16.5
Решение ОДУ методом Рунге-Кутта для m=10
|
|
|
Вычисление функции un |
|
|
Вычисление функции wn |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
tn |
k1,n |
k2,n |
k3,n |
k4,n |
un |
m1,n |
m2,n |
m3,n |
m4,n |
wn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0,4 |
0,24749 |
0,26199 |
0,14712 |
0 |
0 |
-0,09771 |
-0,06046 |
-0,15634 |
1 |
1 |
0,4 |
0,14260 |
0,05221 |
0,06080 |
-0,00076 |
0,26102 |
-0,15576 |
-0,24221 |
-0,20927 |
-0,28648 |
0,92122 |
2 |
0,8 |
-0,00365 |
-0,04674 |
-0,04265 |
-0,06705 |
0,32232 |
-0,28694 |
-0,34848 |
-0,32505 |
-0,37142 |
0,69702 |
3 |
1,2 |
-0,06859 |
-0,08118 |
-0,07999 |
-0,08246 |
0,28074 |
-0,37284 |
-0,39976 |
-0,38954 |
-0,39773 |
0,36279 |
4 |
1,6 |
-0,08306 |
-0,07925 |
-0,07961 |
-0,07170 |
0,20184 |
-0,39989 |
-0,38793 |
-0,39255 |
-0,36126 |
-0,02874 |
5 |
2 |
-0,07175 |
-0,06138 |
-0,06237 |
-0,05148 |
0,12310 |
-0,36383 |
-0,31488 |
-0,33359 |
-0,26777 |
-0,41576 |
6 |
2,4 |
-0,05127 |
-0,04019 |
-0,04124 |
-0,03136 |
0,06131 |
-0,27033 |
-0,19211 |
-0,22197 |
-0,13200 |
-0,73718 |
7 |
2,8 |
-0,03108 |
-0,02204 |
-0,02290 |
-0,01559 |
0,02039 |
-0,13415 |
-0,03901 |
-0,07531 |
0,02461 |
-0,94226 |
8 |
3,2 |
-0,01534 |
-0,00916 |
-0,00975 |
-0,00516 |
-0,00236 |
0,02321 |
0,12025 |
0,08325 |
0,17735 |
-0,99863 |
9 |
3,6 |
-0,00497 |
-0,00141 |
-0,00175 |
0,00063 |
-0,01208 |
0,17691 |
0,26055 |
0,22869 |
0,30211 |
-0,89737 |
10 |
4 |
|
|
|
|
-0,01386 |
|
|
|
|
-0,65445 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
94
Таблица 16.6
Решение системы ОДУ методом Рунге-Кутта m=20
|
|
|
Вычисление функции un |
|
|
Вычисление функции wn |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
tn |
k1,n |
k2,n |
k3,n |
k4,n |
un |
m1,n |
m2,n |
m3,n |
m4,n |
wn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0,2 |
0,16097 |
0,16287 |
0,12826 |
0 |
0 |
-0,02210 |
-0,01779 |
-0,03979 |
1 |
1 |
0,2 |
0,12795 |
0,09694 |
0,09845 |
0,07153 |
0,16266 |
-0,03973 |
-0,06118 |
-0,05700 |
-0,07791 |
0,98007 |
2 |
0,4 |
0,07128 |
0,04767 |
0,04882 |
0,02882 |
0,26103 |
-0,07788 |
-0,09783 |
-0,09393 |
-0,11292 |
0,92107 |
3 |
0,6 |
0,02862 |
0,01153 |
0,01236 |
-0,00170 |
0,30988 |
-0,11293 |
-0,13057 |
-0,12713 |
-0,14343 |
0,82535 |
4 |
0,8 |
-0,00185 |
-0,01346 |
-0,01289 |
-0,02205 |
0,32233 |
-0,14347 |
-0,15810 |
-0,15525 |
-0,16823 |
0,69673 |
5 |
1 |
-0,02216 |
-0,02933 |
-0,02898 |
-0,03424 |
0,30956 |
-0,16829 |
-0,17934 |
-0,17718 |
-0,18631 |
0,54032 |
6 |
1,2 |
-0,03432 |
-0,03804 |
-0,03786 |
-0,04017 |
0,28073 |
-0,18641 |
-0,19342 |
-0,19205 |
-0,19697 |
0,36238 |
7 |
1,4 |
-0,04022 |
-0,04139 |
-0,04133 |
-0,04152 |
0,24301 |
-0,19709 |
-0,19980 |
-0,19927 |
-0,19978 |
0,16999 |
8 |
1,6 |
-0,04154 |
-0,04093 |
-0,04096 |
-0,03970 |
0,20181 |
-0,19992 |
-0,19820 |
-0,19854 |
-0,19462 |
-0,02917 |
9 |
1,8 |
-0,03971 |
-0,03793 |
-0,03802 |
-0,03588 |
0,16098 |
-0,19477 |
-0,18871 |
-0,18989 |
-0,18171 |
-0,22718 |
10 |
2 |
-0,03588 |
-0,03344 |
-0,03356 |
-0,03097 |
0,12306 |
-0,18186 |
-0,17169 |
-0,17368 |
-0,16155 |
-0,41613 |
11 |
2,2 |
-0,03096 |
-0,02824 |
-0,02838 |
-0,02565 |
0,08959 |
-0,16170 |
-0,14783 |
-0,15054 |
-0,13495 |
-0,58849 |
12 |
2,4 |
-0,02563 |
-0,02291 |
-0,02304 |
-0,02040 |
0,06128 |
-0,13510 |
-0,11808 |
-0,12140 |
-0,10297 |
-0,73738 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
95 |
|
|
|
|
|
13 |
2,6 |
-0,02039 |
-0,01783 |
-0,01795 |
-0,01555 |
0,03829 |
-0,10310 |
-0,08361 |
-0,08742 |
-0,06688 |
-0,85689 |
14 |
2,8 |
-0,01553 |
-0,01326 |
-0,01337 |
-0,01128 |
0,02037 |
-0,06700 |
-0,04582 |
-0,04995 |
-0,02813 |
-0,94223 |
15 |
3 |
-0,01126 |
-0,00933 |
-0,00942 |
-0,00768 |
0,00703 |
-0,02823 |
-0,00619 |
-0,01050 |
0,01174 |
-0,99001 |
16 |
3,2 |
-0,00766 |
-0,00608 |
-0,00616 |
-0,00476 |
-0,00238 |
0,01167 |
0,03367 |
0,02938 |
0,05115 |
-0,99832 |
17 |
3,4 |
-0,00475 |
-0,00350 |
-0,00357 |
-0,00249 |
-0,00853 |
0,05111 |
0,07220 |
0,06809 |
0,08852 |
-0,96683 |
18 |
3,6 |
-0,00248 |
-0,00155 |
-0,00159 |
-0,00081 |
-0,01209 |
0,08850 |
0,10785 |
0,10408 |
0,12235 |
-0,89680 |
19 |
3,8 |
-0,00080 |
-0,00014 |
-0,00017 |
0,00037 |
-0,01369 |
0,12237 |
0,13920 |
0,13592 |
0,15131 |
-0,79101 |
20 |
4 |
|
|
|
|
-0,01386 |
|
|
|
|
-0,65369 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
96