а11 / Числ_мет_лабораторный_практикум_ч2_27_41

Лабораторная работа № 11

Решение систем нелинейных уравнений

где хотя бы одна функция fi(x) (i=1, 2, …, n) нелинейная. Обычно для решения систем нелинейных уравнений применяются итерационные методы.

Если ввести n-мерный вектор x=[x1, x2, …, xn], представляющий собой со-

вокупность всех аргументов, и вектор F(x)=[f1(x), f2(x), …, fn(x)], координатами которого являются функции системы, то система уравнений может быть запи-

сана в виде (11.2)

Вектор ξ=[ξ1, ξ2, …, ξn] является вектором-корнем, если подстановка его в исходную систему (11.2) превращает ее в тождество (11.3).

В общем случае для систем нелинейных уравнений проблема отделения корней не имеет удовлетворительного решения. В случае систем, состоящих из двух уравнений с двумя неизвестными, отделение корней можно выполнить графическим методом. Например, для системы вида (11.4)

26

следует построить графики функций f1(x,y)=0 и f2(x,y)=0, а затем приближенно определить координаты точек их пересечения. После отделения корней их зна-

чения можно уточнить одним из итерационных методов.

Метод простой итерации

Метод простой итерации применим к системам, которые предварительно приведены к каноническому виду

или в векторной форме

x=Φ(x). (11.6)

где Φ(x)=[φ1(x), φ2(x), …, φn(x)].

Если известен вектор x(0)=[x1(0), x2(0), …, xn(0)], то последующие приближе-

ния вычисляются по формулам (11.7).

или в векторной форме (11.8)

x(p+1)=Φ(x(p)). (11.8)

Для метода простой итерации можно сформулировать достаточное условие сходимости [1].

i, (i=1, 2, …, n) имеют непрерывные частные производные по всем своим ар-

гументам, тогда метод простых итераций сходится к решению системы уравне-

ний (11.5) если частные производные функций i,(x) (i=1,2,…,n) удовлетворяют в указанном кубе условию (11.9)

27

Результаты вычислений отдельно для каждого корня уравнения следует расположить в табл. 11.1. Итерации обычно заканчивают, если некоторая норма вектора x( p) x( p 1) окажется меньше заданной абсолютной погрешности ε.

Таблица 11.1

Уточнение корня методом простой итерации

Метод Ньютона основан на определении малых поправок ε(p) к известному приближенному значению корня x(p). Новое приближение для корня вычисляет-

ся как x(p+1)=x(p)+ε(p).

28

лора и отбрасывая нелинейные члены, для определения поправок ε(p) получаем систему линейных алгебраических уравнений:

где W(x(p)) – матрица Якоби для системы функций fi(x) (i=1, 2, …, n), которые предполагаются непрерывно-дифференцируемыми.

Если матрица Якоби неособенная, то итерационная формула метода Нью-

тона для системы нелинейных уравнений (11.2) может быть записана в виде

В случае системы из двух уравнений с двумя неизвестными x и y (11.4)

матрицу Якоби можно записать в виде (11.13)

и система (11.10) может быть переписана в следующем виде:

29

Применяя правило Крамера и, учитывая, что ε1(p)= x(p+1)–x(p) и ε2(p)=y(p+1)–y(p), получим расчетные формулы метода Ньютона (11.15) для системы (11.4)

Итерационный процесс может быть организован также на базе формулы

(11.11), что требует вычисления обратной матрицы для матрицы Якоби систе-

мы функций fi(x), (i=1, 2, …, n). Для системы из двух уравнений применяются формулы (11.15), (11.16) и (11.17). Метод Ньютона сходится, если начальное приближение выбрано удачно и матрица Якоби невырожденная [1]. На практи-

30

Результаты вычислений для каждого корня уравнения размещаются в табл. 11.2.

Таблица 11.2

Уточнение корня методом Ньютона

2.Задания

1.Для указанной в варианте задания (см. табл. 11.5) системы нелинейных уравнений в заданном прямоугольнике [a≤x≤b; α≤y≤β] графически выполнить отделение корней и выбрать начальные приближения для их значений. График функций включить в отчет.

2.Привести систему уравнений к каноническому виду для метода простой итерации и проверить выполнение условий сходимости в окрестностях каждого корня.

3.Используя метод простой итерации, вычислить значения всех найденных корней с максимальной абсолютной погрешностью 110-5.

4.Вычисления выполнять с 6 десятичными знаками.

5.Проверить правильность решения, подставив значения корней в исходное уравнение.

6.Оформить результаты вычислений в виде табл. 11.1.

7.Для указанной в варианте задания (см. табл. 11.6) системы нелинейных уравнений (см. табл. 11.6) в заданном прямоугольнике [a≤x≤b; α≤y≤β] графически выполнить отделение корней и выбрать начальные приближения для их значений. График функций включить в отчет.

31

8.Используя метод Ньютона, вычислить значение каждого найденного корня с максимальной абсолютной погрешностью 110-6.

9.Вычисления выполнять с 7 десятичными знаками.

10.Оформить полученные результаты итераций в виде табл. 11.2 11.Проверить правильность решения, подставив значения корней в исходное

уравнение.

3. Пример выполнения задания

Пример 1. Метод простой итерации

В прямоугольнике [-2≤x≤2; -2≤y≤2] вычислить корни системы нелинейных уравнений с погрешностью 110-5.

Отделение корней.

Отделение корней выполняется графически. Для этого строятся графики функций f1(x,y)=0 и f2(x,y)=0, а затем приближенно определяются прямоуголь-

ники, содержащие только одну точку пересечения, т.е. один корень. Для систе-

мы (11.19) графики приведены на рис.11.1. Из рисунка видно, что единствен-

ный корень системы лежит внутри прямоугольника [–0,5≤x≤0; 0≤y≤1].

2x–sin(0,5x–0,5y)=0

2у–cos(0,5x+0,5y)=0

Рис.11.1 Отделение корней системы (11.17).

32

Преобразование системы к каноническому виду

Оставляя слева от знака равенства неизвестные x и y и перенося оставшие-

ся члены уравнений в правую часть, получим (11.20)

Проверка сходимости

Вычисляем частные производные функций φ1(x,y) и φ2(x,y).

1 (x, y) 0,25cos(0,5x 0,5y)

x

1 (x, y) 0,25cos(0,5x 0,5y)

y

2 (x, y) 0,25sin(0,5x 0,5y)

x

2 (x, y) 0,25sin(0,5x 0,5y)

y

Вычислим суммы модулей частных производных φ1(x,y) и φ2(x,y). Очевид-

но справедливы оценки для рассматриваемого прямоугольника

1 (x, y) 1 (x, y) 0,5 cos(0,5x 0,5y) 0,5 ,x y

Максимальное значение суммы меньше или равно 0,5 и условие (11.9) вы-

полняется с q≤0,5.

Если оценка производных вызывает затруднения, то можно вычислить их значения в вершинах прямоугольника, содержащего точку пересечения графи-

ков, и использовать полученные данные для проверки условий сходимости.

Например, для вершины с координатами x=0, y=0 имеем (11.21).

33

а для вершины x=–0,5 и y=1 (11.22)

Условия сходимости выполняются. Для остальных вершин проверка про-

изводится аналогично. В тех случаях, когда условия сходимости не выполняют-

ся, следует выбрать другой канонический вид для метода простых итераций.

Уточнение корня

Для уточнения корня принимается начальное значение x0=–0,2 и y0=0,5, а

затем применяется итерационная процедура, основанная на каноническом виде системы (11.20). Результаты вычислений оформляются в виде табл. 11.1 (см.

табл. 11.3).

Таблица 11.3

Уточнение корня методом простой итерации для x0=–0,2 и y0=0,5.

34

Подстановка полученных значений корней в исходные уравнения дает f1(x,y)≈4 10-7 и f2(x,y)≈6 10-8.

Пример 2. Метод Ньютона.

Вычислить значения корней системы (11.23).

Для отделения корней системы строятся графики функций f1(x,y)=0 и f2(x,y)=0 (11.23). Графики приведены на рис.11.2. Из рисунка видно, что един-

ственный корень системы лежит внутри прямоугольника [1≤x≤2; 1≤y≤2].

Вычисление матрицы Якоби

Матрица Якоби для системы (11.23) имеет вид (11.24)

Матрицы A(x,y) и B(x,y) соответственно равны (11.25).

35